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第17 讲 直线的斜率问题
一．解答题（共18 小题）
1．已知椭圆
，过点
且不过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，直线
与直
线
交于点
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）若
垂直于
轴，求直线
的斜率；
（Ⅲ）试判断直线
与直线
的位置关系，并说明理由．
2．设椭圆
的焦距为
，且经过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
且不过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，直线
与直线
交于点
，试判
断直线
与直线
的位置关系，并说明理由．
3．如图，
，
分别是椭圆
的左右顶点，
为其右焦点，2 是
与
的等
差中项，
是
与
的等比中项．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
是椭圆
上异于
，
的动点，直线过点
且垂直于
轴，若过
作直线
垂直于
，
并交直线于点
．证明：
，
，
三点共线．
4．已知椭圆
的焦点在
轴上，
是
的左顶点，斜率为
的直线交
于
，
两点，
点
在
上，
．
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（Ⅰ）当
，
时，求
的面积；
（Ⅱ）当
时，求
的取值范围．
5．已知椭圆
的右焦点为
，左顶点为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条相互垂直的直线分别与椭圆
交于（不同于点
的）
，
两点．试判断直线
与
轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
6．已知椭圆
过点
，
为椭圆的半焦距，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过点
作两条相互垂直的直线
，
与椭圆
分别交于另两点
，
，若线段
的中点在
轴上，
求此时直线
的方程．
7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知双曲线
的右焦点
到双曲线
的
一条渐近线
的距离为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）如图，过圆
上一点
作圆
的切线与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，
以
为直径的圆经过双曲线
的右顶点
，求直线的方程．
8．已知双曲线
的右顶点为
，右焦点为
，点
为坐标原点，直线
与
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轴交于点
，且与一条渐近线交于点
，又
，过点
的直线
与双曲线右支交于点
，
，点
为点
关于
轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断
，
，
三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形
面积的最小值．
9．设椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
交于
，
两点，点
的坐标为
．
（1）当与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）设
为坐标原点，证明：
．
10．在直角坐标系
中，曲线
与直线
交于
，
两点．
（Ⅰ）当
时，分别求
在点
和
处的切线方程．
（Ⅱ）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？（说明理由）
11．在直角坐标系
中，曲线
与直线
交于
，
两点．
（1）当
时，分别求
在点
和
处的切线方程；
（2）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？说明理由．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，且
也是抛物线
的焦点，
为椭圆
与抛物线
在第一象限的交点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆
交于
，
两点，问是否在
轴上存在一点
，使得当
变动时，总有
？说明理由．
13．一个圆经过点
，且和直线
相切．
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）已知点
，设不垂直于
轴的直线与轨迹
交于不同的两点
、
，若
轴是
的角平
分线，证明直线过定点．
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14．设抛物线
的焦点为
，直线与抛物线交于
，
两点．
（1）若过点
，且
，求的斜率；
（2）若
，且的斜率为
，当
时，求在
轴上的截距的取值范围（用
表示），并证明
的平分线始终与
轴平行．
15．如图，若
是抛物线
上的一定点
不是顶点），动弦
、
分别交
轴于
、
两点，
且
．证明：直线
的斜率为定值．
16．已知倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点
，与抛物线
相交于
、
两点，且
．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）过点
的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
，线段
和
的中点分别为
、
．如果直线
与
的倾斜角互余，求证：直线
经过一定点．
17．已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
、
和
、
，记得到的平行四边
形
的面积为
．
（1）设
，
，
，
，用
、
的坐标表示点
到直线
的距离，并证明
；
（2）设
与
的斜率之积为
，求面积
的值．
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18．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，下顶点为
．已知椭圆
的短
轴长为
，且椭圆
过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线与椭圆
交于异于点
的两点
，
，且直线
与
的斜率之和等于2，证明：
直线经过定点．
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