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第15 讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共19 小题）
1．如图，已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于
、
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在轴上，直线
交轴于
点
，且
在点
右侧．记
，
的面积为
，
．
（1）若直线
的斜率为
，求以线段
为直径的圆的面积；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得
，解得
，所以抛物线的方程为
，
由已知设直线
的方程为
，
与抛物线
联立可得，
，所以
，
则线段
，则以线段
为直径的圆的半径为8，故圆的面积为
；
（2）设
，
，
，
，
，
，重心
，
，
令
，
，则
，由直线
过点
，故直线
的方程为
，代
入
，可得
，
所以
，即
，所以
，
又由于
，
，重心
在
轴上，故
，
所以
，
，
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所以直线
的方程为
，可得
，
，
由于点
在焦点
的右侧，故
，
故
，
令
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
取得最小值
，此时
．
2．如图，已知点
为抛物线
的焦点．过点
的直线交抛物线于
，
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
的右侧．记
，
的面积分别为
，
．
（Ⅰ）求
的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求
的最小值及此时点
的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：
，
，
抛物线的准线方程为
；
（Ⅱ）设
，
，
，
，
，
，重心
，
，
令
，
，则
，
由于直线
过
，故直线
的方程为
，
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代入
，得：
，
，即
，
，
，
又
，
，重心在
轴上，
，
，
，
，
，
直线
的方程为
，得
，
，
在焦点
的右侧，
，
，
令
，则
，
，
当
时，
取得最小值为
，此时
．
3．已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为椭圆
的右顶点，过点
的直线
与
交于
、
两点（均异于
，直线
、
分别交直线
于
、
两点，证明：
、
两点的纵坐标之积为定值，并求
出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、
为焦点的抛物线为
，如图，过点
的直线与
交于
、
两点，点
在
上，并使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在
的右侧，设
、
的面积分别为
、
，是否存在锐角
，使得
成立？请说明理由．
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【解答】解：（1）依题意，得
，且
，
，
，
椭圆
的方程为
．
（2）证法
由椭圆
的方程可知
．
若直线
的斜率不存在，则直线
，
，
，
直线
、
的方程分别为
、
，易得
，
，
、
两点的纵坐标之积为
．
若直线的斜率存在，则可设直线
，
联立椭圆的方程，得
．
设
，
，
，
，
则
，
，
直线
的方程为
，
点
的纵坐标
．
同理，点
的纵坐标
．
所
以
综上，
、
两点的纵坐标之积为定值
．
证法2：设直线的方程为
，
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联立椭圆的方程，得
．
设
，
，
，
，
则
，
，
直线
的方程为
，
点
的纵坐标
．
同理，点
的纵坐标
．
所
以
，
故
、
两点的纵坐标之积为定值
．
证法3：由椭圆
的方程可知
．
设
，
，则直线
的方程为
，
由联立椭圆的方程，得
，
由韦达定理可得
，即
．
，
于是点
的坐标为
，
同理，点
的坐标为
，
，
、
、
三点共线，
，
故
，
化简得
．
即
、
两点的纵坐标之积为定值
．
证法4：由椭圆
的方程可知
．
若直线的斜率不存在，则直线
，
，
，
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直线
、
的方程分别为
、
．可得
，
，
、
两点的纵坐标之积为
．
若直线的斜率存在，则可设
，
，
这里
，
，
，
，
，
、
、
三点共线，
，故
，
化简整理得
，注意到直线的斜率存在，
，
于是便有
，化简得
，
又直线
的方程为
，可得点
的纵坐标
，
同理，点
的纵坐标
，
所以，
．
即
、
两点的纵坐标之积为定值
．
（3）不存在．
理由如下：
显然，抛物线
的方程为
．
方法1：设
，
，
则直线
方程可为
，
由可得
故
（注：这里
表示点
的纵坐标，余类似），
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，
．
重心
在
轴上，
，即
，
，
进而
，
．
进一步可得直线
，
，
，
又
在焦点
的右侧，
，即
．
因
此
当
（注意到
，即
时，取等号，即有
（※）．
若存在锐角
，使得
成立，则
，即
，
这与（※）矛盾．
因此，不存在锐角
，使得
成立．
方法2：设
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
，即
，即
，
同理可得
，
为
的重心，
，
，且
．
，
．
，
设
，则
，不妨设
，
在焦点
的右侧，
，
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而
，即
，
，进而
，即
．
因此，
，
当且仅当
，即
时，取等号，即有
（※）．
若存在锐角
，使得
成立，则
，
即
与（※）矛盾，
因此，不存在锐角
，使得
成立．
4．已知双曲线
的焦距为
，其中一条渐近线的方程为
．以双
曲线
的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为
，过原点
的动直线与椭圆
交于
、
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若点
为椭圆的左顶点，
，求
的取值范围；
（Ⅲ）若点
满足
，求证
为定值．
【解答】（Ⅰ）解：
双曲线
的焦距为
，
，
，①
一条渐近线的方程为
，
，②
由①②解得
，
，
椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）解：
点
为椭圆的左顶点，
，
，
设
，
，由
，得
，
，
，
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，解得
，
，
，
设
，
，则
，
，
，
又
，
，
，
，
，
的取值范围是
．
（Ⅲ）证明：由
，知
在线段
垂直平分线上，
由椭圆的对称性知
，
关于原点对称，
①若
、
在椭圆的短轴顶点上，则点
在椭圆的长轴顶点上，
此时
．
②当点
，
，
不是椭圆的顶点时，设直线的方程为
，
则直线
的方程为
，设
，
，
由
，解得
，
，
，
用
代换
，得
，
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，
综上所述：
．
5．已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，且经过点
，
为椭圆上的动点，以
为圆心，
为半径作圆
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若圆
与
轴有两个交点，求点
横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆定义得
，
（1 分）
即
，
（3 分）
．又
，
．
（5 分）
故椭圆方程为
．
（6 分）
（2）设
，
，则圆
的半径
，
（7 分）
圆心
到
轴距离
，
（8 分）
若圆
与
轴有两个交点则有
即
，
（9 分）
化简得
．
（10 分）
为椭圆上的点
，
（11 分）
代入以上不等式得
，
解得
．
（12 分）
，
（13 分）
．
（14 分）
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，且椭圆
上
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的点
满足
，
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）作直线垂直于
轴，交椭圆
于点
，
，点
是椭圆
上异于
，
两点的任意
一点，直线
，
分别与
轴交于
，
两点，判断
是否为定值，若是，求
出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意得：
，
．
由椭圆定义知
，
又
，则
，
在
△
中
，
，
由
余
弦
定
理
得
：
，
即
，解得
，
又
，
故所求椭圆方程为
．
（2）依题意得知：
，
两点关于
轴对称，
设
，
，
，
，则
，
，
则
，
，
，同理
，
又直线
的方程为
，
由
得点
的横坐标
，
同理直线
的方程为
，
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由
得点
的横坐标
，
，为定值．
7．已知椭圆
的左右焦点坐标为
，且椭圆
经
过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设点
是椭圆
上位于第一象限内的动点，
，
分别为椭圆
的左顶点和下顶点，
直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求四边形
的面积．
【解答】解：（1）因为椭圆焦点
坐标为
，且
过点
，
所以
所以
，
（3 分）
从而
，
故椭圆的方程为
．
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（6 分）
（2）设点
，
，
，
，
因为
，且
，
，
三
点共线，所以
，解得
，
所以
（8 分）
同
理
得
，
（10 分）
因
此
，
，
（12 分）
因为点
，
在椭圆上，所
以
，即
，
代入上式
得
：
．
四边形
的面积为2 ．
（14 分）
8．在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
，
是单位圆
上的任意一点，设
，
，
是椭圆
上异于顶
点的三点且满足
，求证：直线
与
的斜率乘积为定值．
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【解答】解：（1）由题意得，
，解得
，
．
故椭圆方程为
；
证明：（2）令
，
，
，
，
则由
，可知
，
，
故
，
整理得
．
又
，
，
，
故
，
故
．
9．在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
，
是单位圆
上的任意一点，设
，
，
是椭圆
上异于顶
点的三点且满足
，探讨
是否为定值？若是定值，求出该定
值；若不是定值，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得
，解得
，
．
椭圆
的方程为
；
（2）
是定值，等于9．
证明如下：令
，
，
，
，
由
，得
，
，
故
，
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整理得：
，
又
，
，
，故
，
得
．
．
故
，
则
．
故
是定值，等于9．
10．定义：在平面内，点
到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离．在
平面直角坐标系
中，已知圆
及点
，动点
到圆
的距离与到
点的距离相等，记
点的轨迹为曲线
．
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线
不与坐标轴重合）与曲线
交于不同的两点
，
，点
在曲线
上，且
，直线
与
轴交于点
，设直线
，
的斜率分别为
，
求
．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知：点
在圆内且不为圆心，圆
及点
，动点
到圆
的距离与到
点的距离相等，故
，
所以
点的轨迹为以
、
为焦点的椭圆，（2 分）
设椭圆方程为
，则
，
所以
，故曲线
的方程为
．（5 分）
（Ⅱ）设
，
，
，
，则
，
，则直线
的斜率为
，又
，所以直线
的斜率是
，记
，设直线
的
方
程
为
，
由
题
意
知
，
，
由
得
：
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．
，
，由题意知，
，
所以
，（9 分）
所以直线
的方程为
，令
，得
，即
，
．
可得
．（11 分）
所以
，即
．（12 分）
（其他方法相应给分）
11 ．已知椭圆
的离心率为
，且过点
，动直线
交椭圆
于不同的两点
，
，且
为坐标原点）
（1）求椭圆
的方程．
（2）讨论
是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知
，
所以
，整理，得
，①
又点
在椭圆上，所以有
，②
由①②联立，解得
，
，
故所求的椭圆方程为
．
（2）
为定值，理由如下：
设
，
，
，
，由
，
可知
．
联立方程组
，消去
，化简得
，
由△
，
得
，
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由根与系数的关系，得
，
，③
由
，
，
得
，
整理，得
．
将③代入上式，得
．
化简整理，得
，即
．
12．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别为椭圆的上、下
顶点，
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过
的直线交椭圆于
，
两点，求
的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点
的直线与椭圆交于点
（点
异于点
，与
轴交于点
（点
异于坐标原点
，直线
与
交于点
．证明：
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别为椭圆的上、下顶点，
到直线
的距离为
．
，
，
，解得
，
椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）
的斜率不存在时，
，解得
，
，
；
的斜率存在时，设直线
，代入椭圆方程可得
，
设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
．
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综上可得
的取值范围是
，
；
（Ⅲ）证明：
椭圆的右顶点
，
，
设直线
，
，则
，
联立
，得
，
，
，
设点
，直线
的方程为
，
、
、
三点共线，
则有
，
，
，
，
又
，
，
将
代入，得：
，
，
，
，
．
即
为定值1．
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13．已知椭圆
经过点
，且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于异于点
的两点
、
，且直线
与直线
的斜率之和为
，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过
，所以
，①
因为离心率为
，所以
，②
又
，③
由①②③，解得
，
，
所以椭圆的方程为
．
（Ⅱ）设
，
，
，
，
联立
，得
，
，
，则
，
，
因为直线
与直线
的斜率之和为
，
所以
，所以
，①
所以
，
把①代入，得
，
所以
，
化简得
，
因为直线不过点
，
所以
，即
，所以
，
所以直线方程为
，
所以直线过定点
．
14．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
上的点和椭圆
上点的最小距离为1．
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（1）求椭圆
的方程；
（2）已知椭圆
的上顶点为
，点
，
是
上的不同于
的两点，且点
，
关于原
点对称，直线
，
分别交直线于点
，
．记直线
与
的斜率分别为
，
．
①求证：
为定值；
②求
的面积的最小值．
【解答】解：（1）由题知
，又
，
，
．
故椭圆的方程为
；
（2）①设
，
，则
，
点
，
关于原点对称，则
，
，
；
②直线
的方程为
，令
，得
，
直线
的方程为
，令
，得
，
，
由
，
，
，
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即
的最小值为
，
的面积的最小值为
．
15．在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆
的左、右顶点为
、
，右焦
点为
．设过点
的直线
、
与椭圆分别交于点
，
、
，
，其中
，
，
．
（1）设动点
满足
，求点
的轨迹；
（2）设
，
，求点
的坐标；
（3）设
，求证：直线
必过
轴上的一定点（其坐标与
无关）．
【解答】解：（1）设点
，则：
、
、
．
由
，得
，化简得
．
故所求点
的轨迹为直线
．
（2）将
分别代入椭圆方程，以及
，
，
得
、
，
直线
方程为：
，即
，
直线
方程为：
，即
．
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联立方程组，解得：
，
所以点
的坐标为
．
（3）点
的坐标为
直线
方程为：
，即
，
直线
方程为：
，即
．
分别与椭圆
联立方程组，同时考虑到
，
，
解得：
、
．
（方法一）当
时，
直线
方程为：
，
令
，可得
，
即为
，
令
，解得：
．此时必过点
；
当
时，直线
方程为：
，与
轴交点为
．
所以直线
必过
轴上的一定点
．
（方法二）若
，则由
及
，得
，
此时直线
的方程为
，过点
．
若
，则
，直线
的斜率
，
直线
的斜率
，得
，所以直线
过
点．
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因此，直线
必过
轴上的点
．
16．已知
是椭圆
的左顶点，斜率为
的直线交
于
、
两点，点
在
上，且
．
（1）当
时，求
的面积；
（2）当
时，求
的值．
【解答】解：（1）设
，
，由题可知
，
，
因为
，
可得
，
故直线
的方程为
，
联立
，得
，
解得
或
，
所以
，
所以
．
（2）由题意可得
，
设直线
的方程为
，
联立
，得
，
所以
，即
，
所以
，
同理可设直线
的方程为
，
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解得
，
由
，得
，
即
，
即
，
因为
，所以
，
所以
．
17．已知椭圆
的离心率为
，右焦点
．过点
作斜率为
的直线，交椭圆
于
、
两点，
是一个定点．如图所示，连
、
，分别交椭圆
于
、
两点（不同于
、
，记直线
的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）在直线的斜率
变化的过程中，是否存在一个常数
，使得
恒成立？若存
在，求出这个常数
；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设
，由题意
，
．解得
，
．
椭圆
的方程为
．
（5 分）
（Ⅱ）存在常数
．
设
，
，
，
，
，
，
，
．
联立
，可得
于是
，
．
直线
的斜率
，联立
，可得
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则
，进一步可得
．
将
代入，则
同理可得
．
则
，
由
，
两式相减可得，
综上可知，存在常数
．
（15 分）
18．已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
，
经过椭圆的左焦点
斜率为
的直线与椭圆交于
、
两点，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
，延长
，
分别与椭圆交于
、
两点，直线
的斜率为
，
求
的值及直线
所经过的定点坐标．
【解答】解：（1）依题意，得
，解得
，
在椭圆中，
．
椭圆
的标准方程为：
（4 分）
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
，显然
，
，
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故直线
的方程为
，代入椭圆方程，消去
得：
，
由韦达定理得：
，
代入直线
的方程得
，
，
，
，则
，
即
，
，同理得
，
显然
，
两点坐标均满足直线
的方程，
所以直线
的方程为
，
，且直线
过定点
，
（12 分）
19．已知椭圆
的离心率为
，以
的四个顶点为顶点的四边形的
面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
是直线
上不同于点
的任意一点，
若直线
，
分别与椭圆相交于异于
，
的点
、
，试探究，点
是否在以
为直径的圆内？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
，
，又
，由此解得
，
．
所以椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）点
在以
为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得
，
．设
，
．
点在椭圆上，
． ①
又点
异于顶点
、
，
．
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由
、
、
三点共线可以得
．
从而
，
，
．
． ②
将①代入②，化简得
．
，
，于是
为锐角，从而
为钝角，
故点
在以
为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得
，
．设
，
，
，
，
则
，
，又
的中点
的坐标为
，
依题意，计算点
到圆心
的距离与半径的差
③
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
而两直线
与
的交点
在直线
上，
，即
④
又点
在椭圆上，则
，即
⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得
．
