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第24 讲 定值问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共19 小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线
过点
，且点
在
轴上的
射影恰为该双曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线
的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆
的一个焦点
作与
轴不垂直的任意直线”交椭圆于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
为定值，且定值是
”．命
题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线
，过该圆锥曲线焦点
的弦
，
的垂
直平分线与焦点所在的对称轴的交点
，
的长度与
、
两点间距离的比值．试类
比上述命题，写出一个关于抛物线
的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一
般性命题（不必证明）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线
的方程为
点
，且点
在
轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
双曲线
的一个焦点为
可得
的另一个焦点为
（1 分）
由
（3 分）
，又
，所以
（4 分）
双曲线的方程为
（Ⅱ）关于抛物线
的类似命题为：过抛物线
的焦点
作与
轴不垂直的任意
直线
交抛物线于点
，
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
为定值，
定值是2（6 分）
证明如下：由于直线与
轴不垂直，可设直线
的方程为
联立方程
可得
由题意
与
有两个交点
，
，则
，△
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设
，
，
，
则
，
，
线段
的中点
的坐标
（8 分）
的垂直平分线
的方程为
令
可得，
即
，
（9 分）
（10 分）
（Ⅲ）过圆锥曲线
的焦点
作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线
交于
，
两点，
线段
的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点
，则
为定值，定值是
（其中
是圆锥曲线
的离心率）（13 分）
（法二）由题意可设双曲线
的方程为
（1 分）
由已知可得
（3 分）
解可得，
双曲线的方程为
（4 分）
（Ⅱ），（Ⅲ）同法一
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆
过点
，且点
在
轴的射影恰为该椭圆的一个焦点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
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（Ⅱ）过椭圆
的一个焦点
作与轴不垂直的任意直线交椭圆于
、
两点，
线段
的垂直平分线交轴于点
，则
是否为定值，若为定值，求出该
定值，若不为定值，说明理由．
【解答】解：
中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆
过点
，
且点
在
轴的射影恰为该椭圆的一个焦点
，
设椭圆方程为
，
把
代入，得：
，
整理，得
，
解得
，或
，
椭圆
的方程为
（4 分）
“过椭圆
的一个焦点
作与
轴不垂直的任意直线交椭圆于
、
两点，
线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
为定值，且定值是4”
（5 分）
证明如下：
由于与
轴不垂直，可设直线的方程为
①当
时，由
．
依题意与
有两个交点
、
，所以△
．
设
，
，
，
，
则
，
，
所以线段
的中点
的坐标为
，
（7 分）
的垂直平分线
的方程为：
．
令
，解得
，即
，
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所以
．
（9 分）
又
，
（10 分）
所以
．
（11 分）
②
时，易得结论成立．
综上所述，结论成立．^
（12 分）
3．已知椭圆
，离心率
分别为左、右焦点，椭圆
上
一点
满足
，且△
的面积为1．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点．过点
且平行于的
直线交椭圆于点
，
，证明：
为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率
，得：
，
所以
，
椭圆
上一点
，满足
，
所以点
为圆：
与椭圆
的交点，
联立方程组解得
，
所以
，
解得：
，
，所以柯圆
的标准方程为：
．
方法二：由椭圆定义；
，
，
得到：
，即
，又
，得
，
所以椭圆
的标准方程为：
．
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（2）证明：设直线
的方程为：
．
得
，
，
设
过
点
且
平
行
于
的
直
线
方
程
：
，
．
4．已知椭圆
的离心率为
，上顶点
到直线
的
距离为3．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作直线
与椭圆
相交于
，
两点，且
，求
直线方
程；（注意用两种方法作答，每种方法4 分）
（3）设直线过点
且与椭圆
相交于
，
两点，不经过点
，证明：直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值．
【解答】解：（1）
椭圆
的离心率为
，上顶点
到直线
的距离为3，
，解得
，
，
椭圆
的方程为：
．
（2）方法一（点差法），
设
，
，
，
，
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，
，
为
的中点，
，
两式相减可得
，
即
，
，
，
直线方程为
，即
；
方法二：易知直线
的斜率存在，不妨设为
，
则直线
的方程为
，即
，
由
，消
可得
，
，
设
，
，
，
，
，
，
为
的中点，
，
，
解得
，
即直线
为
，即
；
（3）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程为
，且
，
设
，
，
，
．
由
得
，
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，
，
由（1）得
，
，
，
，
，
（定值）．
5．已知椭圆
，
的离心率等于
，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆
的左右顶点分别为
，
，过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点，是否存在定直线
，使得
与
的交点
总在直线
上？若存在，求出
一个满足条件的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）
椭圆
，
的离心率等于
，点
在椭
圆上．
，解得
，
，
．
椭圆
的方程为
．
（2）当
轴时，
，
，直线
、
的方程分别为
，
．
分别化为：
，
．联立解得
．猜测常数
．
即存在定直线
，使得
与
的交点
总在直线
上．
证明：当直线的斜率存在时，设的方程为：
，
，
，
，
，
．
联立
，化为
．
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，
．
，
，
，三点
，
，
共线．
，
由于
，
，
，要证明三点
，
，
共线．
即证明
．即证明
，
而
，
成立．
存在定直线
，使得
与
的交点
总在直线
上．
综上可知：存在定直线
，使得
与
的交点
总在直线
上．
6．在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，上顶点
在直线
上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆
交于
，
两点
，
不是椭圆
的顶点）．点
在椭圆
上，且
，直线
与
轴、
轴分别交于
，
两点．
设直线
，
的斜率分别为
，
，问是否存在实数，使得
？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由；
求
面积的最大值．
【解答】解：
上顶点
在直线
上，
，
由
得
，即
，
椭圆
的方程为
；
存在实数，使得
．
设
，
，
，
，则
，
直线
的斜率
，
，
直线
的斜率
，
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设直线
的方程为
，由题意知
，
，
由
得
，
，
由题意知
，
，
直线
的方程为
，令
，得
，即
，
，
即
，
存在常数
使得结论成立．
直线
的方程
，
令
，得
，
即
，由
知
，
，
的面积为
由于
，
当且仅当
时等号成立，此时
取得最大值
，
面积的最大值为
．
7．已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆
的右焦点，
是右准线
与
轴的交点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
上顶点
的直线交椭圆另一点
，交
轴于点
，若
，求直
线的方程；
（3）设点
，过点
且斜率不为零的直线
与椭圆
交于
，
两点，直线
与
直线
交于点
，试问
是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理
由．
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【解答】解：（1）由题意可知，
，由
，解得
，
，
所以
，
所以椭圆
的方程：
；
（2）由（1）知
，设
，
，由
，
，
，
得
，
所以
，
代入椭圆方程得
，解得
．所以
，
，
因此的方程为：
；
（3）设直线
的方程
，
，
，
，
，
联立方程组
，消去
，整理得：
，
则，
，
，
所以
，
直线
的方程为
，又
，
令
，则
，
所以点
的坐标为
，
即
，所以
．
因此
为定值，定值为0．
8．已知椭圆
的右焦点为
，过
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于
、
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两点，线段
的中垂线
交
轴于点
．
（1）若
，求
点坐标；
（2）问：
是否为定值．
【解答】解：（1）
椭圆
的右焦点为
，
过
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于
、
两点，
，设
，
由椭圆的第二定义得：
，
解得
，
，
在椭圆
上，
，解得
，
，
或
，
．
（2）设直线的方程为
，不妨取
，
，
把
，
代入直线
，得
，
直线的方程为
，
联立
，得
，
解得
，
，
，
，
，
的中点
，
，
直线
的方程为
，
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令
，得
，
，
，
，
故
为定值
．
9．已知椭圆
的离心率为
，
、
是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的一个动点，且△
面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点
作与
轴不垂直的直线
交椭圆于
，
两点，第一象限点
在椭圆上且满足
轴，连接
，
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，探索
是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
【解答】解：（1）
椭圆的离心率为
，△
面积的最大值为
，
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，解得
，
，
故椭圆的方程为
．
（2）设
，
，
，
，
轴，
．
设直线
的方程为
，
联立直线
与椭圆方程
，化简整理可得，
，
由韦达定理可得，
，
，
，
，
故
为定值，定值为
．
10．已知椭圆
的离心率为
，过椭圆
的左焦点
且不与
坐标轴垂直的直线交椭圆
于
，
两点，且椭圆
截直线
所得弦长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求点
横坐标的取值范围；
（3）试问在
轴上是否存在一点
，使得
恒为定值？若存在，求出点
的坐标
及该定值；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）由题意椭圆过点
，且椭圆的离心率为
，
则满足方程组
，解得
，
，
所以椭圆方程为
，
（2）设直线
的方程为
，
联立方程
，
消去
整理得
，△
，
设点
，
，
，
，
，
，
的中点
，
，
则
，
所以
，
的垂直平分线
的方程为
，
令
得
，
因为
，
所以
，
所以点
的横坐标的取值范围为
．
（3）假设存在，设
，
．
结合第（2）问知：
，
所以
所以
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设
则
对任意
恒成立，
所以
，解得
，
，
所以存在点
，使得
为定值
．
11．在平面直角坐标系
中，椭圆
．
（1）若椭圆
的焦点在
轴上，求实数
的取值范围；
（2）若
，
①
是椭圆
上的动点，
点的坐标为
，求
的最小值及对应的点
的坐标；
②过椭圆
的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆
于
，
两点，线段
的垂
直平分线交
轴于点
，证明：
是定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）由题意得，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
；
（2）因为
，所以椭圆
的方程为
，
①设点
坐标为
，则
，
因为点
的坐标为
，
所以
，
，
所以当
时，
的最小值为
，此时对应的点
坐标为
；
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②由
，
，得
，即
，
从而椭圆
的右焦点
的坐标为
，右准线方程为
，离心率
，
设
，
，
，
，
的中点
，
，
则
，
，
两式相减得，
，即
，
令
，则线段
的垂直平分线的方程为
，
令
，则
，
因为
，所以
，
因为
．
故
，即
为定值
．
12．已知左焦点为
的椭圆过点
，过右焦点
分别作斜率为
，
的椭圆
的动弦
，
．设点
，
分别为线段
，
的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形
面积的最大值；
（3）若
，
①求证：直线
经过定点
，并求出定点
的坐标．
②求证：点
到直线
，
的距离的平方和为定值．
【解答】（1）解：由题意
，且右焦点
，
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，
．
所求椭圆方程为：
；
（2）解：设
，
，
，
，设
方程为
．
由
，得
．
，
．
三
角
形
面
积
，当且仅当
时，取等号；
（3）①证明：由题意，
，令直线
的斜率为
，则
的斜率为
，
设
，
，直线
的方程为
，
代入椭圆方程并化简得
．
，
．
；
同理可得
，
．
直线
的斜率
，
直线
的方程为
，
即
，此时直线过定点
；
②证明：直线
的方程为
，即
，
直线
的方程为
，即
．
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则点
到
距离的平方
，到
距离的平方
．
点
到直线
，
的距离的平方和为
，为定值．
13 ．已知椭圆
中，以
为中点的弦
所在直线的方程是
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
为椭圆
长轴上的一个动点，过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点，证明：
为定值．
【解答】解：（1）设
，
，
，
，则
，
两式相减得，
，
所以
，
即
．
又
所在直线的方程是
，所以
，
，
，
所以
，
．
故椭圆
的方程是
．
（2）设直线
交椭圆于
，
，
，
，
由
，消去
得，
．
因此
，
．
于是
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．
故
为定值，且为15．
14．如图，已知抛物线
的焦点
到直线
的距离为
．
是过抛物线
焦点
的动弦，
是坐标原点，过
，
两点分别作此抛物线的切线，两切
线相交于点
．
（1）求证：
．
（2）若动弦
不经过点
，直线
与准线相交于点
，记
，
，
的斜
率分别为
，
，
．问：是否存在常数
，使得
在弦
运动时恒成立？
若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：
，
由
到直线
的距离为
，
即
，故抛物线方程为
，
，依题意，设直线
方程为
，
联立
得：
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
；
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（2）将
代入
得
，
，
，
，
，
若有
成立，则有
解得
，
故存在
，使
成立．
15．已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，焦距为2，过
作斜
率存在且不为零的直线交
于
，
两点，且△
的周长为8．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知弦
的垂直平分线
交
轴于点
，求证：
为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以
，解得
，
由椭圆的定义可得△
的周长为
，
又因为△
的周长为8，
所以
，解得
，
所以
，
所以椭圆的方程为
．
（2）证明：设直线的方程为
，
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联立
，得
，
设
，
，
，
，
所以
，
，
设
的中点为
，
，
所以
，
，
当
时，线段
的垂直平分线的方程为
，
令
，得
，
所以
，
，
所以
，
当
时，直线的方程为
，
此时
，
，
所以
，
综上，
．
16．已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
．
（1）求圆
的标准方程；
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（2）若点
也在圆
上，且弦
长为8，求直线
的方程；
（3）直线交圆
于
，
两点，若直线
，
的斜率之积为2，求证：直线过一
个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线交圆
于
，
两点，若直线
，
的斜率之和为0，求证：直线的斜
率是定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）设圆的标准为
，把
代入得
，
故圆的标准方程为
．
（2）①
不存在时，根据题意，直线的方程为：
；
②
存在时，设直线的方程为：
，
联立方程
，则
，
所以
，
根据弦
长为8，可得
，
所以
，所以直线的方程为
，
综上所述，直线的方程为
或
；
（3）当
不存在时，设
，
，
直线
，
的斜率之积为2，
，
，即
，
点
在圆上，
，
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联立
，无解，舍去，
当直线存在时，设直线
，
，
，
，
，
①
联立方程
，
所以
，
代入①
得
，
化简得
，所以直线的方程为：
，所以过定点
．
（4）设直线
，
联立方程
，
所以
点的坐标为
，
同理
点的坐标为
．
所以
，
故直线的斜率是定值，且为
．
17．已知圆
的方程为
，直线
，设点
，
．
（1）若点
为
，试判断直线与圆
的位置关系；
（2）若点
在圆
上，且
，
，过点
作直线
，
分别交圆
于
，
两点，且直线
和
的斜率互为相反数．
①若直线
过点
，求直线
的斜率；
②试问：不论直线
的斜率怎样变化，直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，说明理由．
【解答】解：（1）当点
的坐标为
时，直线的方程为
，
圆心到直线的距离
，
直线与圆
相交．
（5 分）
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（2）①由点
在圆
上，且
，
，得
，即
．
由题意，
是圆的直径，所以点
的坐标为
，且
．
又直线
和
的斜率互为相反数，所以
（7 分）
直线
的方程为
，由
得：
，
解得：
或
，所以
直线
的斜率为
．
（10 分）
②记直线
的斜率为
，则直线
的方程为：
．
将
代入圆
的方程得：
，
化简得：
，
是方程的一个根，
，
，
由题意知：
，同理可得，
，
（13 分）
，
，
不论直线
的斜率怎样变化，直线
的斜率总为定值
．
（16 分）
18 ．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，直线
与椭圆
交于点
，
两点，当
，
是椭圆
的顶点，且△
的周长为6．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
，
，
在直线
上的射影分别为
，
，
，连接
，当
变化时，
证明直线
与
相交于一定点，并求出该定点的坐标；
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（3）设椭圆
的左顶点为
，直线
，
与直线
分别相交于点
，
，试问：
当
变化时，以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，
若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：当
时，直线的倾斜角为
，
由题意得
，解得
，
，
，
椭圆
的方程为
；
（2）由（1）知，
，
直线的方程为
，
设
，
，
，
，
由
，可得
．
．
当直线与
轴垂直时，可得
与
的交点为
的中点
，
当直线与
轴不垂直时，下面证明
过定点
，
由题意可知
，
，
，
．
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，即
过定点
，
同理可证
也过定点
，
直线
与
相交于一定点，该定点的坐标为
；
（3）由题意可得直线
的方程为
，
令
，得
点坐标为
，
同理可得
，
设
为以
为直径的圆上任意一点，则
，
以
为直径的圆的方程为
．
令
，则
．
即
，
即
，
即
．
即
，解得
或
．
即以
为直径的圆恒过
与
，
当
变化时，以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是定值6．
19．已知圆
的圆心为
，点
是圆
内一个定点，点
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线与半径
相交于点
．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）给定点
，若过点
的直线与轨迹
相交于
，
两点（均不同
于点
．证明：直线
与直线
的斜率之积为定值．
【解答】解：（1）如图，由已知，圆心
，半径
．
点
在线段
的垂直平分线上，则
，
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又
，
，
又
，
，
则动点
的轨迹
是以
为焦点，长轴长
的椭圆，
从而
，
故所求轨迹
方程为
；
（2）由已知，直线过点
，且不过点
，则斜率存在，
设
，将其代入
得
，则△
成立，
设
，
，
，
，则
，显然
，
设直线
与直线
的斜率分别为
，
，
则
即直线
与直线
的斜率之积为定值．
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