专题14 分配问题
例1．将18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3 个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名
额互不相等，则不同的分配方法种数为( )
A．96
B．114
C．128
D．136
【解析】
不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，
12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共
种方法，再对应分配给学校有
,选
B.
例2．北京某大学为第十八届四中全会招募了30 名志愿者（编号分别是1，2 ，，30 号），现从中任
意选取6 人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较
大的在另一组，那么确保6 号、15 号与24 号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）
A．25 B．32 C．60 D．100
【解析】
6 号、15 号与24 号放在一组，则其余三个编号要么都比6 小，要么都比24 大，比6 小时，有
10
3
5
C
种
选法，都比24 大时，有
20
3
6
C
种选法，合计30 种选法，6 号、15 号与24 在选厅时有两种选法，所以
选取的种数共有
60
2
)
20
10
(
种，故正确选项为C.
例3．学校决定把12 个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要
求每个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1 个名额, 二(2)班至少2 个名额，…… ，则分配方
案有( )
A．10 种
B．6 种
C．165 种
D．495 种
【解析】
根据题意，先在编号为2、3、4 的3 个班级中分别分配1、2、3 个名额，编号为1 的班级里不分配；再将
剩下的6 个名额分配4 个班级里，每个班级里至少一个，
分析可得，共
种放法，即可得符合题目要求的放法共10 种，
故答案为A
例4．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配
到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．24
【解析】
将分配方案分为甲分配到
班和甲不分配到
班两种情况：
①甲分配到
班：有
种分配方案；
②甲不分配到
班：有
种分配方案；
由分类加法计数原理可得：共有
种分配方案.
故选：
.
例5．
名医生和
名护士被分配到
所学校为学生体检，每校分配名医生和
名护士，不同的分配方法
共有 （ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
分两个步骤：先分配医生有
种方法，再分配护士有
，由分步计数原理可得：
，
应选答案：D．
例6．
名大学生被分配到
所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
将
人分为
人、人、人的三组，共有：
种分法，
将三组安排到
所学校共有
种分法，
由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有
种.
故选：
.
例7．将5 名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配
一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ）
A．60
B．80
C．150
D．360
【解析】
分成甲校分配
名教师和
名教师两种情况：
甲校分配
名教师时，共有：
种分配方案
甲校分配
名教师时，共有：
种分配方案
不同的分配方案共有：
种
本题正确选项：
例8．2019 年10 月17 日是我国第6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有
五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院
，医生乙只能分配到医院
或医院
，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分
配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18 种
B．20 种
C．22 种
D．24 种
【解析】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1 人，则乙必在医院B，当医院B 只有1 人，则共有
种不同
分配方案，当医院B 有2 人，则共有
种不同分配方案，所以当医院A 只分配1 人时，
共有
种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2 人，当乙在医院A 时，共有
种不同分配方案，当乙不在A 医院，
在B 医院时，共有
种不同分配方案，所以当医院A 分配2 人时，
共有
种不同分配方案；
共有20 种不同分配方案.
故选：B
例9．把
名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配名且甲班必须分配名，则不同的分配方
法有 （ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
根据题意，分2 步进行分析：
①、由于每个班至多分配1 名且甲班必须分配1 名，先在3 名新生中任选一人，安排到甲班，
有
种情况，
②、在剩下的3 个班级中任选2 个,安排剩下的2 名新生,有
种情况，
则有3×6=18 种不同的分配方法；
本题选择C 选项.
例10．某公司将5 名员工分配至3 个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须
分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【解析】解：如果5 人分成1,1,3 三组，则分配方法有：C2
2C3
1 A3
3 种，
如果5 人分成1,2,2 三组，则分配方法有：C2
2C3
2 A3
3 种，
由加法原理可得：不同分配方法数为C2
2C3
1 A3
3+C2
2C3
2 A3
3=36
种.
本题选择C 选项.
例11．将7 名应届师范大学毕业生分配到3 所中学任教.（最后结果用数字表示）
（1）4 个人分到甲学校，2 个人分到乙学校，1 个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校安排4 个人，一所学校安排2 个人，一所学校1 个人，有多少种不同的分配方案？
（3）其中有两所学校都各安排3 个人，另一所学校安排1 个人，有多少种不同的分配方案？
【解析】
（1）
（种）
（2）
（种）
（3）
（种）
例12．按下列要求分配6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1 份1 本,1 份2 本,1 份3 本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2 本,一人得3 本;
（3）平均分成三份,每份2 本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2 本;
（5）分成三份,1 份4 本,另外两份每份1 本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外两人每人得1 本;
（7）甲得1 本,乙得1 本,丙得4 本.
【解析】
（1）无序不均匀分组问题.先选本有
种选法;再从余下的
本中选
本有
种选法;最后余下的
本全
选有
种选法.故共有
(种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有
.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是
种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为
,
,
,
,
,
,若第一步取了
,第二步取了
,第三步取了
,记该种分法为(
,
,
),则
种
分法中还有(
,
,
),(
,
,
),(
,
,
),(
,
,
),(
,
,
),共有
种
情况,而这
种情况仅是
,
,
的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
.
（4）有序均匀分组问题.在
题的基础上再分配给
个人,共有分配方式
(种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有
(种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在
题的基础上再分配给
个人,共有分配方式
(种).
（7）直接分配问题.甲选本有
种选法,乙从余下
本中选本有
种选法,余下
本留给丙有
种选法,
共有
(种)选法.
例13．有甲、乙、丙、丁、戊
位同学，求：
（1）
位同学站成一排，有多少种不同的方法？
（2）
位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
（3）将
位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
【解析】
（1）
＝120．
（2）
位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻
故有
(1)∵a5+b5−a2b3−a3b2
¿a5−a2b3+b5−a3b2
¿a2(a3−b3)−b2(a3−b3)
¿(a2−b2)(a3−b3)
¿(a−b)2(a2+ab +b2)(a+b)．
（3）人数分配方式有①
有
种方法
②
有
种方法
所以，所有方法总数为
种方法
例14．从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6 名作“夺冠之路”的励志报告．
（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？
（2）若将6 名冠军分配到5 个院校中的4 个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配
方法？
【解析】
（1）6 个名额没有差异，所以选择隔板法，（2）首先先从5 个院校选择4 个院校，然后将6 名冠军分组，
3111，或是2211，两种情况，最后再分配乘以A4
4
.
试题解析：（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．
所以选择隔板法，C5
3=10 6 分
（2）从5 个院校中选4 个，再从6 个冠军中，先组合，再进行排列，有
种分
配方法． 12 分
例15．将4 名大学生分配到A、B、C 三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇
A 的概率为 （用数字作答）
【解析】
将4 名大学生分配到A、B、C 三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为C4
2 A3
3=36 ，每个
乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A 的个数是A3
3=6 ,所以概率是
P= 6
36 =1
6
例16．安排3 名支教老师去6 所学校任教，每校至多2 人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作
答）
【解析】210
例17．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6 个小队在校园最具有代表
性的3 个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1 支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作
答）
【解析】
（1）若按照
进行分配有
种方案；
（2）若按照
进行分配有
种方案；
（3）若按照
进行分配有
种方案；
由分类加法原理，所以共有
种分配方案．
例18．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安
排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不
同的分配方法总数为 ．
【解析】
试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，
①当有二所医院分2 人另一所医院分1 人时，总数有
种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一
组有
种；②有二所医院分1 人另一所医院分3 人.有
种.故满足条件的分法共有
种.
例19．某学校要将4 名实习教师分配到3 个班级，每个班级至少要分配1 名实习教师，则不同的分配方案
有_______种.
【解析】
第一步取两个教师作为一组共有
种取法，第二步将三组教师分配到3 个班级共有
种安排方
法，所以根据分步乘法计数原理知，共有
种不同的安排方法,故填
.
例20．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少
分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答）
【解析】
若甲校2 人，乙、丙、丁其中一校2 人，共有
种，
若甲校3 人，乙、丙、丁每校1 人，共有
则不同的分配方案共有
+
种
故答案为660
