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第1⻚（共75⻚）
猫⽼师整理历年武汉调考解答题汇编（导数三⻆⽴体⼏何）
⼀．解答题（共50 ⼩题）
1．在△ABC 中，∠BAC 的⻆平分线交BC 于点D，AC＝AD＝1，AB＝3．
（1）求cos∠BAD；
（2）求△ABC 的⾯积．
2．在△ABC 中，它的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B＝
，b＝
．
（Ⅰ）若cosAcosC＝，求△ABC 的⾯积；
（Ⅱ）试问
＝1 能否成⽴？若能成⽴，求此时△ABC 的周⻓；若不能成⽴，请说明理由．
3．平⾯凸四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝3，AB＝4．
（1）若∠ABC＝45°，求CD；
（2）若BC＝2
，求AC．
第2⻚（共75⻚）
4．在凸四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，AD＝3，AB＝4．
（1）若∠ABC＝45°，求CD；
（2）若∠BCD 的⻆平分线交对⻆线BD 于点E，求BC+CE+CD 的最⼤值．
5．在①
；②
sinC+cosC＝
；③⾯积S＝
这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问
题中，并回答问题．
问题：在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，A 为锐⻆，a＝6，b＝4
sinB，且____，
求△ABC 的周⻓．
6．在平⾯凸四边形ABCD 中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，
．
（1）求cos∠DBA．
（2）求CD ⻓．
第3⻚（共75⻚）
7．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sinAsin2A＝（1﹣cosA）（1﹣cos2A）．
（1）求⻆A；
（2）若△ABC 的⾯积
，求cosB．
8．如图，△ABC 内⼀点P 满⾜PB⊥PC，AC＝BP＝2．
（1）若AB＝
，PC＝
，求sin∠ACP 的值；
（2）若AB＝
，sin∠ACP＝
，求AP 的⻓．
9．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
＝
，
（Ⅰ）求A 的⼤⼩；
（Ⅱ）若a＝6，求b+c 的取值范围．
第4⻚（共75⻚）
10．如图，在平⾯四边形ABCD 中，
．
（1）当
时，求△ACD 的⾯积．
（2）当
时，求tan∠ACB．
11．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满⾜acosC+
asinC＝b+2c．
（1）求⻆A；
（2）D 为BC 边上⼀点，DA⊥BA，且BD＝4DC，求cosC．
12．在△ABC 中，AB＝2，D 为AB 中点，
．
（1）若BC＝
，求AC 的⻓；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC 的⻓．
第5⻚（共75⻚）
13．设△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且有
．
（1）求⻆A；
（2）若BC 边上的⾼
，求cosBcosC．
14．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A；
（2）从①
、②
这两个式⼦中选择⼀个，并求出其值．
注：如果选择两个式⼦分别解答，按第⼀个解答计分．
15．设△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．
（1）求⻆A；
（2）若a＝7，且△ABC 的内切圆半径
，求△ABC 的⾯积S．
第6⻚（共75⻚）
16．已知△ABC 三个内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求sinC 的值；
（2）若△ABC 的⾯积
，且
，求△ABC 的周⻓．
17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥平⾯ACC1A1，∠CAA1＝60°，AB＝AA1＝1，AC＝2．
（1）证明：AA1⊥B1C；
（2）求⼆⾯⻆A﹣B1C﹣B 的余弦值．
第7⻚（共75⻚）
18．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，CD⊥平⾯PAD，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，M 为棱PC 上⼀点．
（Ⅰ）若BM⊥CD，证明：BM∥平⾯PAD；
（Ⅱ）若PA＝PD＝AD＝2，且PA∥平⾯BMD，求直线PC 与平⾯BMD 所成⻆的正弦值．
19．如图，四边形ABCD 是边⻓为
的菱形，对⻆线BD＝4，F 为CD 的中点，CE⊥平⾯BCD，CE＝2．现
沿BD 将△ABD 翻折⾄△A1BD 的位置，使得平⾯A1BD⊥平⾯CBD，且点A1和E 在平⾯BCD 同侧．
（1）证明：A1F∥平⾯BCE；
（2）求⼆⾯⻆A1﹣BF﹣E ⼤⼩的正弦值．
第8⻚（共75⻚）
20．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．
（1）证明：平⾯PAD⊥平⾯ABCD；
（2）求直线PA 与平⾯PBD 所成⻆的正弦值的最⼤值．
21．在如图所示的多⾯体中，点E，F 在矩形ABCD 的同侧，直线ED⊥平⾯ABCD，
平⾯BCF⊥平⾯ABCD，且△BCF 为等边三⻆形，ED＝AD＝2，AB＝
．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求平⾯ABF 与平⾯ECF 所成锐⼆⾯⻆的余弦值．
第9⻚（共75⻚）
22．如图，圆台上底⾯圆O1半径为1，下底⾯圆O2半径为
，AB 为圆台下底⾯的⼀条直径，圆O2上点
C 满⾜AC＝BC，PO1是圆台上底⾯的⼀条半径，点P，C 在平⾯ABO1的同侧，且PO1∥BC．
（1）证明：O1O2∥平⾯PAC；
（2）若圆台的⾼为2，求直线PB 与平⾯PAC 所成⻆的正弦值．
23．如图，在四⾯体ABCD 中，△ABC 是正三⻆形，△ACD 是直⻆三⻆形，∠ABD＝∠CBD，并且AB＝BD
＝2，点E 在棱BD 上．
（1）证明：平⾯ACD⊥平⾯ABC；
（2）若⼆⾯⻆D﹣AC﹣E 的正切值为
，求
的值；
（3）点M、N 分别是线段AB、BC 上的动点，求△DMN 周⻓的最⼩值．
第10⻚（共75⻚）
24．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAC⊥平⾯ABC，PA＝PC＝4，AB⊥BC，D，E 分别为PC，AC 中点，
且BD⊥AC．
（1）求
的值；
（2）若AC＝4，求⼆⾯⻆E﹣BD﹣C 的余弦值．
25．如图，在图1 的等腰直⻆三⻆形ABC 中，AB＝CB＝3，边AB，AC 上的点E，F 满⾜
＝
＝，将
三⻆形AEF 沿EF 翻折⾄三⻆形PEF 处，得到图2 中的四棱锥P﹣EFCB，且⼆⾯⻆P﹣EF﹣B 的⼤⼩
为60°．
（1）证明：平⾯PBC⊥平⾯EFCB；
（2）求直线BE 与平⾯PFC 所成⻆的正弦值．
第11⻚（共75⻚）
26．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底⾯和上底⾯分别是边⻓为4 和2 的正⽅形，侧棱CC1上点E 满
⾜
．
（1）证明：直线A1B∥平⾯AD1E；
（2）若CC1⊥平⾯ABCD，且CC1＝3，求直线BB1与平⾯AD1E 所成⻆的正弦值．
27．如图，在边⻓为4 的正三⻆形ABC 中，E，F 分别为边AB，AC 的中点．将△AEF 沿EF 翻折⾄△A1EF，
得到四棱锥A1﹣EFCB，P 为A1C 的中点．
（1）证明：FP∥平⾯A1BE；
（2）若平⾯A1EF⊥平⾯EFCB，求直线A1F 与平⾯BFP 所成的⻆的正弦值．
第12⻚（共75⻚）
28．如图MA⊥平⾯ABC，BC⊥AC，F 是线段BC 上的动点，E 是MC 的中点，已知AM＝AC．
（1）证明：平⾯AEF⊥平⾯MBC；
（2）若AM＝AC＝2，BC＝2
，N 在线段MB 上．
（i）求点C 到平⾯AEB 的距离；
（ii）是否存在点N，使得平⾯NAC 与平⾯AEB 夹⻆的余弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，
请说明理由．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯四边形ABCD 满⾜
，
，∠ABC＝90°，棱PD
上的点E 满⾜PE＝2DE．
（1）证明：直线CE∥平⾯PAB；
（2）若
，
，且PA＝PC，求直线CE 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值．
第13⻚（共75⻚）
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是平⾏四边形，PA＝PB，DA＝DB＝
，AB＝2，PD＝1，
点E，F 分别为AB 和PB 的中点．
（1）证明：CF⊥PE；
（2）若PE＝1，求直线CF 与平⾯PBD 所成⻆的正弦值．
31．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧⾯ABB1A1⊥底⾯ABC，AB＝BB1＝2，AC＝2
，∠B1BA＝60°，点
D 是棱A1B1的中点，
，DE⊥BC．
（1）证明：AC⊥BB1；
（2）求直线BB1与平⾯DEA1所成⻆的正弦值．
第14⻚（共75⻚）
32．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，
BC＝1，CD＝2，点A 在平⾯PCD 内的投影恰好是△PCD 的重⼼G．
（1）求证：平⾯PAB⊥平⾯PBC；
（2）求线段PA 的⻓及直线DG 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝1，PD⊥平⾯PAB．
（1）求证：AB⊥平⾯PAD；
（2）求PC 的⻓；
（3）若PD＝1，求直线PA 与平⾯PCD 所成⻆的正弦值．
第15⻚（共75⻚）
34．已知函数g（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝g（x）在点（e，g（e））处的切线⽅程；
（2）设f（x）＝
，证明f（x）恰有两个极值点x1和x2，并求f（x1）+f（x2）的值．
35．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的最⼩值；
（Ⅱ）证明：当0＜a≤1 时，f（x）≥lna 恒成⽴．
36．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x+a（1﹣cosx）．
（1）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线⽅程；
（2）若存在正实数t，使得当x∈（﹣t，t）时，有对xf（x）≥0 恒成⽴，求a 的值．
第16⻚（共75⻚）
37．已知函数f（x）＝（x﹣a）2+2sinx﹣．
（1）证明：f（x）有唯⼀极值点；
（2）讨论f（x）的零点个数．
38．已知函数f（x）＝2（x﹣2）lnx+ax2﹣1．
（1）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）若f（x）≥0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
39．已知函数f（x）＝a|lnx|+x+
，g（x）＝ex+e﹣x﹣a|ln（ax）|﹣
，其中a＞0．
（1）当a＝1 时，求
的值；
（2）讨论g（x）的零点个数．
第17⻚（共75⻚）
40．定义在
上的函数f（x）＝（x﹣k）sinx．
（1）当
时，求曲线y＝f（x）在点
处的切线与两坐标轴所围成的三⻆形的⾯积；
（2）将f（x）的所有极值点按照从⼩到⼤的顺序排列构成数列{xn}，若f（x1）+f（x2）＝0，求k 的值．
41．已知函数f（x）＝x（1﹣alnx）+1（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若关于t 的⽅程lnt﹣（m﹣1）t+1＝0 有两个不相等的实根t1，t2，求证：|
﹣
|＜e+
+2﹣2m．
42．函数f（x）＝ax+2bx+e2，其中a，b 为实数，且a∈（0，1）．
（注e＝2.71828⋯为⾃然对数的底数）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）已知对任意b＞4e2，函数f（x）有两个不同零点，求a 的取值范围．
第18⻚（共75⻚）
43．已知函数f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）当f（x）恰有⼀个极值点x0时，求实数k 的值，使得f（x0）取最⼤值．
44．已知关于x 的⽅程ax﹣lnx＝0 有两个不相等的正实根x1和x2，且x1＜x2．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）设k 为常数，当a 变化时，若x1kx2有最⼩值ee，求常数k 的值．
45．已知函数
，其中k＞0．
（1）证明：f（x）恒有唯⼀零点；
（2）记（1）中的零点为x0，当
时，证明：f（x）图像上存在关于点（x0，0）对称的两点．
第19⻚（共75⻚）
46．已知
，其中a，b，c∈R．
（1）若b＝c＝0，讨论f（x）的单调性；
（2）已知x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＜x2，证明：x2（ax1﹣1）＜b＜x1（ax2﹣1）．
47．已知函数f（x）＝（x2+mx+n）ex．
（1）若m＝n＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若m＝a+b+2，n＝a2+b2+2，且f（x）有两个极值点，分别为x1和x2（x1＜x2），求
的最⼩值．
第20⻚（共75⻚）
48．已知函数
．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）证明：f（x）是其定义域上的增函数；
（3）若f（x）＞ax，其中a＞0 且a≠1，求实数a 的值．
49．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2．
（1）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）讨论f（x）的单调性．
50．已知f（x）＝﹣f′（1）x2+x+2lnx．
（1）求f′（1）并写出f（x）的表达式；
（2）证明：f（x）≤x﹣1．
第21⻚（共75⻚）
猫⽼师整理历年武汉调考解答题汇编（导数三⻆⽴体⼏何）
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共50 ⼩题）
1．在△ABC 中，∠BAC 的⻆平分线交BC 于点D，AC＝AD＝1，AB＝3．
（1）求cos∠BAD；
（2）求△ABC 的⾯积．
【解答】解：（1）因为∠BAC 的⻆平分线交BC 于点D，AC＝AD＝1，AB＝3，
设CD＝x，由于
，可得BD＝3x，BC＝4x，
在△ADC 中，由余弦定理可得：x2＝12+12﹣2×1×1×cos∠CAD，①
在△ABD 中，由余弦定理可得：9x2＝12+32﹣2×1×3×cos∠BAD，②
因为∠CAD＝∠BAD，
所以由①②可得：
＝
，整理解得x＝
，可得BD＝
，
所以cos∠BAD＝
＝
＝．
（2）由（1）可得BC＝
，
由余弦定理可得cos ∠BAC＝
＝
＝﹣
，可得sin∠BAC＝
＝
，
可得S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝
＝
．
2．在△ABC 中，它的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B＝
，b＝
．
第22⻚（共75⻚）
（Ⅰ）若cosAcosC＝，求△ABC 的⾯积；
（Ⅱ）试问
＝1 能否成⽴？若能成⽴，求此时△ABC 的周⻓；若不能成⽴，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由B＝
，可得A+C＝
，
所以cos（A+C）＝cosAcosC﹣sinAsinC，即
，
⼜因为cosAcosC＝，所以sinAsinC＝，
因为
，
所以
，
所以
＝
；
（Ⅱ）假设
能成⽴，所以a+c＝ac，
由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB，
所以6＝a2+c2+ac，所以（a+c）2﹣ac＝6，
故（ac）2﹣ac﹣6＝0，解得ac＝3 或ac＝﹣2（舍），
此时a+c＝ac＝3，不满⾜
，
所以假设不成⽴，故
不成⽴．
3．平⾯凸四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝3，AB＝4．
（1）若∠ABC＝45°，求CD；
（2）若BC＝2
，求AC．
【解答】解：（1）连接BD，Rt△BAD 中，AB＝4，AD＝3，∠BAD＝90°，∠ABC＝45°，
所以sin∠ABD＝，cos∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝sin（45°﹣∠ABD）＝
×（
）＝
，
Rt△BCD 中，CD＝5×
＝
；
（2）连接AC，由（1）知，BD＝5，sin∠ABD＝，cos∠ABD＝，
Rt△BCD 中，由BC＝2
，BD＝5，得CD＝
，
所以sin∠CBD＝
，cos∠CBD＝
，
第23⻚（共75⻚）
所以cos∠ABC＝cos（∠ABD+∠CBD）＝
＝
，
△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝16+20﹣2×
＝20，
所以AC＝2
．
4．在凸四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，AD＝3，AB＝4．
（1）若∠ABC＝45°，求CD；
（2）若∠BCD 的⻆平分线交对⻆线BD 于点E，求BC+CE+CD 的最⼤值．
【解答】解：如图，
（1）∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5，
在△ABD 中，sin∠ABD＝
＝，cos∠ABD＝
＝，
∵∠ABC＝45°，∴sin∠CBD＝sin（45°﹣∠ABD）＝
（cos∠ABD﹣sin∠ABD）＝
×
＝
，
在△BCD 中，由正弦定理得，
＝
，
∴CD＝5×
×
＝
；
（2）设BC＝x，CD＝y，
在△BCD 中，由余弦定理得BD2＝x2+y2﹣2xy×（﹣）＝x2+y2+xy＝25，
∴（x+y）2﹣xy＝25，∴xy＝（x+y）2﹣25，
∵xy≤
，∴（x+y）2﹣25≤
，∴0＜x+y≤
，
∵CE 为△BCD 的⻆平分线，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，
∵S△BCE+S△CDE＝S△BCD，
∴
•x•CE×
+
•y•CE×
＝•x•y×
，∴CE＝
，
第24⻚（共75⻚）
∴BC+CE+CD＝
+x+y＝
＝
＝2（x+y）﹣
，
∵z＝2（x+y）﹣
在（0，
]上为增函数，
∴当x+y＝
时，
BC+CE+CD＝2（x+y）﹣
取得最⼤值为
．
5．在①
；②
sinC+cosC＝
；③⾯积S＝
这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问
题中，并回答问题．
问题：在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，A 为锐⻆，a＝6，b＝4
sinB，且____，
求△ABC 的周⻓．
【解答】解：因为
，代⼊a＝6，得
，
⼜A 为锐⻆，
故
，
若选①，
，
由
，得bc＝15．
⼜a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣bc＝36，
可得（b+c）2﹣3bc＝36，得b+c＝9．
所以△ABC 周⻓为a+b+c＝15．
若选②，
，即
．
化简得
，即
，解得
．
故
，此时△ABC 为等边三⻆形，周⻓为3a＝18，
若选③，
，得
．
⼜a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣bc＝36，
可得（b+c）2﹣3bc＝36，得b+c＝8．
所以△ABC 周⻓为a+b+c＝14．
6．在平⾯凸四边形ABCD 中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，
．
（1）求cos∠DBA．
第25⻚（共75⻚）
（2）求CD ⻓．
【解答】解：（1）在平⾯凸四边形ABCD 中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，
．
如图所示：
在△ABD 中，利⽤正弦定理：
，
故：
，
整理得：
，
所以：
．
当
时，AD＞BD，满⾜条件，
当
时，∠ABD 接近135°，故根据，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，与三⻆形内⻆和定理
⽭盾，故舍去；
故：
．
（2）根据（1）的结论，
，
故：cos∠DBC＝cos（135°﹣∠ABD）＝
．
利⽤余弦定理：CD2＝BC2+BD2﹣2•BC•BD•cos∠DBC＝
，
解得：CD＝7．
7．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sinAsin2A＝（1﹣cosA）（1﹣cos2A）．
（1）求⻆A；
（2）若△ABC 的⾯积
，求cosB．
【解答】解：（1）因为sinAsin2A＝（1﹣cosA）（1﹣cos2A），
所以2sin2AcosA＝（1﹣cosA）×2sin2A，
第26⻚（共75⻚）
因为A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以cosA＝1﹣cosA，
即cosA＝，
所以A＝
；
（2）因为
，
所以
bcsinA＝
，
所以
×
＝
，
整理得，3bc＝8b2﹣9a2，①
⼜cosA＝
＝，
所以b2+c2﹣a2＝bc，②
①+②×9 得，b2﹣6bc+9c2＝0，
所以（b﹣3c）2＝0，
即b＝3c，代⼊②中，可得a2＝7c2，
所以cosB＝
＝
＝﹣
．
8．如图，△ABC 内⼀点P 满⾜PB⊥PC，AC＝BP＝2．
（1）若AB＝
，PC＝
，求sin∠ACP 的值；
（2）若AB＝
，sin∠ACP＝
，求AP 的⻓．
【解答】解：（1）∵PB⊥PC，BP＝2．PC＝
，∴BC＝
＝
，
在Rt△PBC 中，sin∠PCB＝
＝
，cos∠PCB＝
＝
，
在△ABC 中，cos∠ACB＝
＝
，∴sin∠ACB＝
＝
，
∴sin∠ACP＝sin（∠ACB﹣∠PCB）＝sin∠ACB•cos∠PCB﹣cos∠ACB•sin∠PCB
第27⻚（共75⻚）
＝
×
﹣
×
＝
．
（2）在△APC 中，由正弦定理
＝
，
得sin∠APC＝
＝
，
在△APB 中，由余弦定理得cos∠APB＝
＝
＝
，
∵PB⊥PC，∴∠APC+∠APB＝270°，
∴sin∠APC＝﹣cos∠APB，
∴
＝﹣
，∴AP＝
．
9．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
＝
，
（Ⅰ）求A 的⼤⼩；
（Ⅱ）若a＝6，求b+c 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
＝
＝
，
∴sinA＝
cosA，即tanA＝
，
∵0＜A＜π，
∴A＝
；
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a＝6，
由余弦定理得：36＝b2+c2﹣2bccos
＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，
（当且仅当b＝c 时等号成⽴），
∴（b+c）2≤4×36，
⼜b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
则b+c 的取值范围是（6，12]．
10．如图，在平⾯四边形ABCD 中，
．
（1）当
时，求△ACD 的⾯积．
（2）当
时，求tan∠ACB．
第28⻚（共75⻚）
【解答】解：（1）当
时，在△ABC 中，
，
由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，
即
，解得
，
所以
，
因为
，则
，
⼜
，
所以△ACD 的⾯积是
．
（2）在△ABC 中，由正弦定理得
，
即
，
在△ACD 中，由正弦定理得
，即
，
则
，整理得
，
因为
，
所以
，
因
为
，
所
以
．
11．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满⾜acosC+
asinC＝b+2c．
（1）求⻆A；
（2）D 为BC 边上⼀点，DA⊥BA，且BD＝4DC，求cosC．
第29⻚（共75⻚）
【解答】解：（1）∵acosC+
asinC＝b+2c，
∴由正弦定理可得，sinAcosC+
，
∵A+B+C＝π，
∴sinAcosC+
＝sin（A+C）+2sinC＝sinAcosC+cosAsinC+2sinC，
∴
sinAsinC＝cosAsinC+2sinC，
∵sinC≠0，
∴
，即
，
⼜∵0＜A＜π，
∴
．
（2）由（1）可知，A＝
，
∴
，
在△CAD 中，
，在△BAD 中，
，
⼜∵sin∠ADB＝sin∠ADC，BD＝4CD，
∴c＝2b，
∴由余弦定理可得，a＝
，
∴
，
∴cosC＝
．
12．在△ABC 中，AB＝2，D 为AB 中点，
．
（1）若BC＝
，求AC 的⻓；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC 的⻓．
【解答】解：（1）在△BDC 中，cos∠BDC＝
＝
，
cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，
在△ADC 中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC＝4，
∴AC＝2；
（2）法⼀：设AC＝x，BC＝y，
C.
X ?
-
y
E.
7/
A
D. 2
B
第30⻚（共75⻚）
在△ADC，△BDC 中，由正弦定理，可得
＝
，
＝
，
⼜sin∠ADC＝sin∠BDC，得
＝
，
在△BDC 中，由余弦定理得cos∠BCD＝
，
由∠BAC＝2∠BCD，有sin∠BAC＝sin2∠BCD＝2sin∠BCDcos∠BCD，
∴
＝2•
，整理得2y2＝x（y2+1）①，
⼜由cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，
＝﹣
，
整理得x2+y2＝6②，
联⽴①②得：x3﹣2x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x2+x﹣4）＝0
⼜
﹣1＜x＜
+1，故x＝
，
∴AC＝
．
法⼆：如图：构造等腰△ACE，则∠BCD＝∠E，
易知△EBC∽△CBD，故
＝
，
即
＝，∴a2＝1+b，
结合a2+b2＝2（CD2+AD2）＝6，
可解得b＝
．
13．设△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且有
．
（1）求⻆A；
（2）若BC 边上的⾼
，求cosBcosC．
【解答】解：（1）由题意得：
，
则
，
第31⻚（共75⻚）
有
，即
，
因为A∈（0，π），所以
；
（2）由
，则
，所以a2＝2bc，
有sin2A＝2sinBsinC，则
，
⼜
，则
．
14．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A；
（2）从①
、②
这两个式⼦中选择⼀个，并求出其值．
注：如果选择两个式⼦分别解答，按第⼀个解答计分．
【解答】解：（1）在△ABC 中，
，
，
由正弦定理可得：
，即tanA＝﹣3tanB；
同理
，
在△ABC 中有
，
解得tanA＝﹣1，
，
，
由0＜A＜π，得
．
（2）∵
，
，
，
∴
，
，
，
令
，b＝t，
，t＞0，
∴①
；
②
．
15．设△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．
第32⻚（共75⻚）
（1）求⻆A；
（2）若a＝7，且△ABC 的内切圆半径
，求△ABC 的⾯积S．
【解答】解：（1）由正弦定理得：2sinAcosB＝2sinC﹣sinB，
即2sinAcosB＝2sin（A+B）﹣sinB，
即2sinAcosB＝2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinB，
即2cosAsinB＝sinB．
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以
．
因为A∈（0，π），
所以
．
（2）△ABC ⾯积
，
代⼊a＝7，
和
，整理得：bc＝2（b+c）+14①，
由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，得：b2+c2﹣bc＝49，
即（b+c）2﹣3bc＝49②，
①②联⽴可得：
，解得：bc＝40 或bc＝0（舍去），
所以
．
16．已知△ABC 三个内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求sinC 的值；
（2）若△ABC 的⾯积
，且
，求△ABC 的周⻓．
【解答】解：（1）由
得，
＝
，
所以3sinBcosC﹣sinAcosC＝sinCcosA，
所以3sinBcosC＝sinAcosC+sinAsinC＝sin（A+C），
⼜sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，且sinB≠0，
所以cos
，
所以sinC＝
＝
，
（2）因为S＝
＝5
，
所以ab＝15，
第33⻚（共75⻚）
由余弦定理，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝a2+b2﹣10，
⼜c2＝6（a﹣b）2＝6（a2+b2）﹣180，
联⽴得a2+b2＝34，c＝2
，
，
所以△ABC 的周⻓为a+b+c＝8+2
．
17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥平⾯ACC1A1，∠CAA1＝60°，AB＝AA1＝1，AC＝2．
（1）证明：AA1⊥B1C；
（2）求⼆⾯⻆A﹣B1C﹣B 的余弦值．
【解答】（1）证明：连接A1C，在△A1AC 中，由余弦定理知，A1C2＝
+AC2﹣2AA1•ACcos∠A1AC，
∴A1C2＝1+4﹣2×1×2×cos60°＝3，
∴A1C2+
＝AC2，即AA1⊥A1C，
⼜A1B1⊥平⾯ACC1A1，AA1⊂平⾯ACC1A1，
∴A1B1⊥AA1，
∵A1B1∩A1C＝A1，A1B1、A1C⊂平⾯A1B1C，
∴AA1⊥平⾯A1B1C，
∵B1C⊂平⾯A1B1C，∴AA1⊥B1C．
（2）解：以A1为原点，A1A、A1C、A1B1所在直线分别为x、y、z 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则A1（0，0，0），A （1，0，0），C（0，
，0），B（1，0，1），B1（0，0，1），
∴
＝（﹣1，0，1），
＝（﹣1，
，0），
＝（﹣1，0，0），
＝（0，
，﹣1），
第34⻚（共75⻚）
设平⾯AB1C 的法向量为＝（x，y，z），则
，即
，
令x＝
，则y＝1，z＝
，∴
＝（
，1，
），
同理可得，平⾯BB1C 的法向量为＝（0，1，
），
∴cos＜，＞＝
＝
＝
，
由图可知，⼆⾯⻆A﹣B1C﹣B 为锐⻆，
故⼆⾯⻆A﹣B1C﹣B 的余弦值为
．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，CD⊥平⾯PAD，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，M 为棱PC 上⼀点．
（Ⅰ）若BM⊥CD，证明：BM∥平⾯PAD；
（Ⅱ）若PA＝PD＝AD＝2，且PA∥平⾯BMD，求直线PC 与平⾯BMD 所成⻆的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：作BN∥AD 交CD 于点N，
因为CD⊥平⾯PAD，AD⊂平⾯PAD，
所以CD⊥AD，所以CD⊥BN，
因为BM⊥CD，BM∩BN＝B，BM，BN⊂平⾯BMN，
所以CD⊥平⾯BMN，因为CD⊥平⾯PAD，
所以平⾯PAD∥平⾯BMN，因为BM⊂平⾯BMN，
所以BM∥平⾯PAD；
（Ⅱ）解：取BC 的中点F，AD 的中点O，连结OF，OP，
因为CD⊥平⾯PAD，OF∥CD，所以OF⊥平⾯PAD，
因为AD，OP⊂平⾯PAD，所以OF⊥AD，OF⊥OP，
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
以O 为坐标原点，OA，OF，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建⽴空间直⻆坐标系如图所示，
设
，所以
，
因为
，所以
，
第35⻚（共75⻚）
所以
，
因为B（1，1，0），D（﹣1，0，0），所以
，
，
设
平
⾯
BMD
的
法
向
量
为
，
则
有
，
即
，
令x＝1，得y＝﹣2，
，所以
，
因为A（1，0，0），所以
，
所以
，即1﹣
＝0，解得
，
所以
，
，
则有
＝
．
所以直线PC 与平⾯BMD 所成⻆的正弦值为
．
19．如图，四边形ABCD 是边⻓为
的菱形，对⻆线BD＝4，F 为CD 的中点，CE⊥平⾯BCD，CE＝2．现
沿BD 将△ABD 翻折⾄△A1BD 的位置，使得平⾯A1BD⊥平⾯CBD，且点A1和E 在平⾯BCD 同侧．
（1）证明：A1F∥平⾯BCE；
（2）求⼆⾯⻆A1﹣BF﹣E ⼤⼩的正弦值．
第36⻚（共75⻚）
【解答】（1）证明：连接AC，交BD 于O，连接OA1，因为ABCD 是菱形，所以O 分别平分AC、BD，
且AC⊥BD，于是A1O⊥BD，
⼜因为平⾯A1BD⊥平⾯CBD，平⾯A1BD∩平⾯CBD＝BD，所以A1O⊥平⾯BCD，
因为CE⊥平⾯BCD，所以A1O∥CE，
⼜因为CE⊂平⾯BCE，A1O⊂平⾯BCE，所以A1O∥平⾯BCE，
⼜因为F 为CD 中点，所以OF∥BC，BC⊂平⾯BCE，OF⊄平⾯BCE，所以OF∥平⾯BCE，
⼜因为A1O∩OF＝O，所以平⾯A1OF∥平⾯BCE，
因为A1F⊂平⾯A1OF，所以A1F∥平⾯BCE．
（2）解：因为OD、OC、OA1、两两垂直，
建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
因为OB＝OD＝4，OA＝OC＝
＝3，CE＝2，
所以
＝（3，，0），
＝（2，3，2），
＝（2，0，3），
设平⾯A1BF 和平⾯EBF 的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令y＝﹣2，＝（1，﹣2，2），
，令v＝﹣6，＝（3，﹣6，﹣2），
设⼆⾯⻆A1﹣BF﹣E ⼤⼩的⼤⼩为θ，|cosθ|＝
＝
＝
，
sinθ＝
＝
．
所以⼆⾯⻆A1﹣BF﹣E ⼤⼩的正弦值为
．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．
第37⻚（共75⻚）
（1）证明：平⾯PAD⊥平⾯ABCD；
（2）求直线PA 与平⾯PBD 所成⻆的正弦值的最⼤值．
【解答】（1）证明：取AD 中点O，连PO，AC，BO，CO，
设AC 与BO 交于E，CO 与BD 交于F，连PE，PF．
在等腰梯形ABCD 中，由AO∥BC 且AO＝BC＝AB，
故四边形AOCB 为菱形，∴AC⊥BO．
⼜PA＝PC，且E 为AC 中点，∴AC⊥PE，⼜PE∩BO＝E，
∴AC⊥平⾯PBO．
⼜∵PO⊂平⾯PBO，∴AC⊥PO；同理，由四边形DOBC 为菱形，且PB＝PD，
∴BD⊥PO．
⼜直线AC 与BD 相交，∴PO⊥平⾯ABCD，
⼜∵PO⊂平⾯PAD，∴平⾯PAD⊥平⾯ABCD．
……（6 分）
（2）解：设PO＝t，过O 作OH⊥PF 交PF 于H，由BD⊥平⾯POC，故BD⊥OH．
⼜PF∩BD＝F，∴OH⊥平⾯PBD，
，故
．
⼜AD＝2OD，故点A 到平⾯PBD 的距离
．
设直线PA 与平⾯PBD 所成⻆的⼤⼩为θ．
则
＝
．
当且仅当
，即
时取等号，
故直线PA 与⾯PBD 所成⻆的正弦值的最⼤值为
．…（12 分）
第38⻚（共75⻚）
21．在如图所示的多⾯体中，点E，F 在矩形ABCD 的同侧，直线ED⊥平⾯ABCD，
平⾯BCF⊥平⾯ABCD，且△BCF 为等边三⻆形，ED＝AD＝2，AB＝
．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求平⾯ABF 与平⾯ECF 所成锐⼆⾯⻆的余弦值．
【解答】（1）证明：取BC 中点M，连接FM，
∵FB＝FC，∴FM⊥BC．
由平⾯BCF⊥平⾯ABCD，且交线为BC，
∴FM⊥平⾯ABCD．
⼜ED⊥平⾯ABCD，有ED∥FM，
∴E，D，F，M 四点共⾯．
∵ED⊥平⾯ABCD，AC⊂平⾯ABCD，
∴AC⊥ED．
⼜在矩形ABCD 中，
，
∴△ADC∽△MCD，
∴∠CAD＝∠CDM，
∵∠CDM+∠ADM＝90°，
∴∠CAD+∠ADM＝90°，
∴AC⊥DM．
⼜∵ED∩DM＝D，
第39⻚（共75⻚）
∴AC⊥平⾯EDMF．
∵EF⊂平⾯EDMF，∴AC⊥EF．
（2）解：以D 为坐标原点，
的⽅向为x，y，z 轴的正⽅向，建⽴如图所示的空间直⻆坐
标
系
．
则
有
：
．
设平⾯ABF 的法向量
．
，令z1＝1，则
．
设平⾯ECF 的法向量
．
，令z2＝1，则
∴
．
所以平⾯ABF 与平⾯ECF 所成锐⼆⾯⻆的余弦值为
．
22．如图，圆台上底⾯圆O1半径为1，下底⾯圆O2半径为
，AB 为圆台下底⾯的⼀条直径，圆O2上点
C 满⾜AC＝BC，PO1是圆台上底⾯的⼀条半径，点P，C 在平⾯ABO1的同侧，且PO1∥BC．
（1）证明：O1O2∥平⾯PAC；
（2）若圆台的⾼为2，求直线PB 与平⾯PAC 所成⻆的正弦值．
第40⻚（共75⻚）
【解答】（1）证明：在圆台O1O2中，取AC 中点M，连接O2M，PM，
由AB 为圆O2直径，点C 在圆O2上且AC＝BC，
可得AC⊥BC，
，
则O2M∥BC，且
，⽽PO1∥BC，PO1＝1，
于是PO1∥O2M，PO1＝O2M，
即四边形PO1O2M 为平⾏四边形，则PM∥O1O2，
⼜PM⊂平⾯PAC，O1O2⊄平⾯PAC，
所以O1O2∥平⾯PAC；
（2）解：由（1）知，PM∥O1O2，⽽O1O2⊥平⾯ABC，
则PM⊥平⾯ABC，⽽BC⊂⾯ABC，则PM⊥BC，
⼜AC⊥BC，AC∩PM＝M，AC，PM⊂平⾯PAC，
因此BC⊥平⾯PAC，⼜PC⊂平⾯PAC，则BC⊥PC，
故∠BPC 是直线PB 与平⾯PAC 所成的⻆，
显然AC⊂⾯ABC，PM⊥AC，PM＝O1O2＝2，
则
，
，
在Rt△PBC 中，
，
所以直线PB 与平⾯PAC 所成⻆的正弦值是
．
第41⻚（共75⻚）
23．如图，在四⾯体ABCD 中，△ABC 是正三⻆形，△ACD 是直⻆三⻆形，∠ABD＝∠CBD，并且AB＝BD
＝2，点E 在棱BD 上．
（1）证明：平⾯ACD⊥平⾯ABC；
（2）若⼆⾯⻆D﹣AC﹣E 的正切值为
，求
的值；
（3）点M、N 分别是线段AB、BC 上的动点，求△DMN 周⻓的最⼩值．
【解答】（1）证明：因为△ABC 是正三⻆形，且∠ABD＝∠CBD，AB＝BD，
所以△ABD≌△CBD，所以AD＝CD，
⼜△ACD 是直⻆三⻆形，所以∠ADC＝90°，
取AC 的中点O，连接OD，OB，则OD⊥AC，OB⊥AC，且OD＝AC＝1，OB＝
，
因为BD＝2，所以OB2+OD2＝BD2，即OD⊥OB，且∠ODB＝
，
⼜AC∩OB＝O，且AC，OB⊂平⾯ABC，
所以OD⊥平⾯ABC，
因为OD⊂平⾯ACD，所以平⾯ACD⊥平⾯ABC．
（2）解：连接OE，由（1）可得OD⊥AC，OE⊥AC，
所以∠DOE 就是⼆⾯⻆D﹣AC﹣E 的平⾯⻆，即tan∠DOE＝
，
所以sin∠DOE＝
，cos∠DOE＝，
所以sin∠OED＝sin（∠DOE+∠ODB）＝
×
+
×
＝
，
在△ODE 中，由正弦定理知，
，
所以DE＝
＝
＝，
所以
＝
＝．
第42⻚（共75⻚）
（3）解：将四⾯体ABCD 的侧⾯ABD 和侧⾯CBD 沿着BD 展开成如图所示的平⾯图形，
连接D1D2，与AB 和BC 分别相交于点M 和N，
此时△DMN 周⻓取得最⼩值，即线段D1D2的⻓，
在△ABD1中，设∠ABD1＝α，
，由余弦定理知，cosα＝
＝
＝，
所以sinα＝
，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2×
×
＝
，cos2α＝2cos2α﹣1＝2×
﹣1＝，
所以cos∠D1BD2＝cos（2α+
）＝cos2αcos
﹣sin2αsin
＝×
﹣
×
＝
，
由余弦定理知，
＝
+
﹣2BD1•BD2cos∠D1BD2＝22+22﹣2×2×2×
＝
，
所以D1D2＝
＝
＝
＝
，
故△DMN 周⻓的最⼩值为
．
24．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，平⾯PAC⊥平⾯ABC，PA＝PC＝4，AB⊥BC，D，E 分别为PC，AC 中点，
且BD⊥AC．
（1）求
的值；
第43⻚（共75⻚）
（2）若AC＝4，求⼆⾯⻆E﹣BD﹣C 的余弦值．
【解答】解：（1）作DF⊥AC 于F，连接DF，BF，如图所示：
∵平⾯PAC⊥平⾯ABC，平⾯PAC∩平⾯ABC＝AC，DF⊥AC，PE⊂⾯PAC，
∴DF⊥平⾯ABC，
∵DF∥PE，
∴PE⊥平⾯ABC，AC⊂平⾯ABC，
∴DF⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩DF＝D，BD，DF⊂平⾯BFD，
∴AC⊥平⾯BFD，BF⊂平⾯BFD，
∴AC⊥BF，
∵D，E 分别为PC，AC 中点，PA＝PC＝4，DF⊥AC，
∴AF＝3FC，
∵AB⊥BC，AC⊥BF，
∴AB2＝AF•AC，BC2＝FC•AC，
∴
；
（2）由
，BC＝BE＝CD＝ED＝2，取BD 中点为G，连接DG，CG，
第44⻚（共75⻚）
由△BED，△BCD 为等腰三⻆形，
故BD⊥EG，BD⊥CG，
则
∠
EGC
为
⼆
⾯
⻆
E
﹣
BD
﹣
C
的
平
⾯
⻆
.
，
.
，
所以⼆⾯⻆E﹣BD﹣C 的余弦值为
．
25．如图，在图1 的等腰直⻆三⻆形ABC 中，AB＝CB＝3，边AB，AC 上的点E，F 满⾜
＝
＝，将
三⻆形AEF 沿EF 翻折⾄三⻆形PEF 处，得到图2 中的四棱锥P﹣EFCB，且⼆⾯⻆P﹣EF﹣B 的⼤⼩
为60°．
（1）证明：平⾯PBC⊥平⾯EFCB；
（2）求直线BE 与平⾯PFC 所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：∵
＝
＝，∴EF∥BC，
∵等腰直⻆△ABC 中，AB⊥BC，∴EF⊥AB，
在四棱锥P﹣EFCBk，EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB 为⼆⾯⻆P﹣EF﹣B 的平⾯⻆，即∠PEB＝60°，
⼜PE＝2，BE＝1，∴PB＝
＝
，
满⾜PE2＝BE2+PB2，
即BE⊥PB，⼜BE⊥BC，且PB∩BC＝B，∴BE⊥平⾯PBC，
∵BE⊂平⾯EFCB，∴平⾯PBC⊥平⾯EFCB．
（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，得EF⊥平⾯PBE，
∴EF⊥PB，
∵EF∥BC，∴BC⊥PB，即PB，EB，CB 两两垂直，
第45⻚（共75⻚）
以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BE 所在直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建⽴空间直⻆坐标
系，
则B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，
），F（2，1，0），
＝（0，1，0），
设平⾯PFC 的法向量＝（x，y，z），
＝（3，0，﹣
），
＝（1，﹣1，0），
，令y＝1，得＝（1，1，
），
设所求⻆为θ，则sinθ＝
＝
＝
．
故直线BE 与平⾯PFC 所成⻆的正弦值为
．
26．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底⾯和上底⾯分别是边⻓为4 和2 的正⽅形，侧棱CC1上点E 满
⾜
．
（1）证明：直线A1B∥平⾯AD1E；
（2）若CC1⊥平⾯ABCD，且CC1＝3，求直线BB1与平⾯AD1E 所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：延⻓D1E、DC，交于点M，连接MA 交BC 于N 点，连接D1N
第46⻚（共75⻚）
由
＝，得
＝，∴
＝，
∴CM＝4＝AB，∴BN＝CN，∴N 是BC 中点，
此时，A1D1∥B1C1∥BN，A1D1＝B1C1＝BN，
∴四边形A1BND1是平⾏四边形，∴A1B∥D1N，
∵D1N⊂平⾯AD1E，A1B⊄平⾯AD1E，
∴直线A1B∥平⾯AD1E；
（2）以C 为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
则B（0，4，0），B1（0，2，3），A（4，4，0），D1（2，0，3），E（0，0，2），
＝（0，﹣2，3），
＝（﹣2，﹣4，3），
＝（﹣4，﹣4，2），
设平⾯AD1E 的法向量＝（x，y，z），
则
，取x＝1，得＝（1，﹣2，﹣2），
设直线BB1与平⾯AD1E 所成⻆为θ，
则直线BB1与平⾯AD1E 所成⻆的正弦值为：
sinθ＝
＝
＝
．
27．如图，在边⻓为4 的正三⻆形ABC 中，E，F 分别为边AB，AC 的中点．将△AEF 沿EF 翻折⾄△A1EF，
得到四棱锥A1﹣EFCB，P 为A1C 的中点．
第47⻚（共75⻚）
（1）证明：FP∥平⾯A1BE；
（2）若平⾯A1EF⊥平⾯EFCB，求直线A1F 与平⾯BFP 所成的⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取A1B 的中点Q，连接PQ，EQ，
则有PQ∥BC，且PQ＝BC，⼜EF∥BC，且EF＝BC，
∴PQ∥EF，且PQ＝EF，
则四边形EFPQ 为平⾏四边形，则FP∥EQ，
⼜FP⊄平⾯A1BE，EQ⊂平⾯A1BE，∴FP∥平⾯A1BE．
（2）取EF 中点O，BC 中点G，
∵平⾯A1EF⊥平⾯EFCB，且交线为EF，∴A1O⊥平⾯EFCB，
∴OA1、OE、OG 两两垂直，
以O 为坐标原点，OE、OG、OA1所在直线分别为x，y，z 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
则
，F（﹣1，0，0），B（2，
，0），C（﹣2，
，0），
∵P 是A1C 的中点，∴P（﹣1，
，
），
∴
＝（﹣1，0，﹣
），
＝（3，
，0），
＝（0，
），
设平⾯BFP 的法向量＝（x，y，z），
则
，取x＝1，得＝（1，﹣
），
第48⻚（共75⻚）
∴直线A1F 与平⾯BFP 所成的⻆的正弦值为：
|cos＜
＞|＝
＝
＝
，
28．如图MA⊥平⾯ABC，BC⊥AC，F 是线段BC 上的动点，E 是MC 的中点，已知AM＝AC．
（1）证明：平⾯AEF⊥平⾯MBC；
（2）若AM＝AC＝2，BC＝2
，N 在线段MB 上．
（i）求点C 到平⾯AEB 的距离；
（ii）是否存在点N，使得平⾯NAC 与平⾯AEB 夹⻆的余弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵AM＝AC，E 是MC 的中点，∴AE⊥MC，
∵MA⊥平⾯ABC，BC⊂平⾯ABC，∴MA⊥BC，
⼜∵BC⊥AC，⼜AC∩MA＝A，AC⊂平⾯MAC，MA⊂平⾯MAC，
∴BC⊥平⾯MAC，
⼜AE⊂平⾯AEF，∴BC⊥AE，
⼜BC∩MC＝C，BC⊂平⾯MBC，MC⊂平⾯MBC，
∴AE⊥平⾯MBC，⼜AE⊂平⾯AEF，
∴平⾯AEF⊥平⾯MBC；
（2）（i）以C 为原点，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系：
则C（0，0，0），A（2，0，0），
，M（2，0，2），E（1，0，1），
第49⻚（共75⻚）
，
，
，
设平⾯AEB 的法向量为
，
则
，则
，即
，
取y1＝1，可得
，
∴
，即点C 到平⾯AEB 的距离为
；
（ii）
，
，
设
，则
，
，
设平⾯NAC 的法向量为
则
，则
，即
，
令
．可得
，
＝
，
化简得18λ2﹣9λ+1＝0，解得
或
，
∴
或
．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯四边形ABCD 满⾜
，
，∠ABC＝90°，棱PD
上的点E 满⾜PE＝2DE．
（1）证明：直线CE∥平⾯PAB；
（2）若
，
，且PA＝PC，求直线CE 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值．
第50⻚（共75⻚）
【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，过C 做CF∥AB，交BD 于T 点，
∵
，
，⼜BD＝DB，∴△ABD≅△BCD，
⼜∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴
，∴在△BCD 中，∠CBD＝cos45°，
，
解得：BD＝3，∵PE＝2DE，∴
，∴EF∥AP，
∵EF⊂平⾯CEF，AP⊄平⾯CEF，∴AP∥平⾯CEF，
CF⊂平⾯CEF，AB⊄平⾯CEF，CF∥AB，∴AB∥平⾯CEF，
⼜AP、AB 相交于点A，∴平⾯CEF∥平⾯ABD，∵CE⊂平⾯CEF，∴直线CE∥平⾯PAB；
（2）解：连接AC 交BD 于O 点，在等腰RT△ABC 中，BO＝1，⼜BD＝3，则DO＝2，
在△POB 和△POD 中，cos∠POB＝﹣cos∠POD 可得，
，则有：
，
3PO2＝12，PO2＝4，则PO＝2，满⾜PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BD，
⼜∵PA＝PC，∴PO⊥AC，⼜AC∩BD＝O，∴PO⊥平⾯ABCD，满⾜PO，CO，DO 两两垂直，
故以O 为原点，OC，OD，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则B（0，﹣1，0），C（1，0，0），
，
P（0，0，2），于是有
，
，
第51⻚（共75⻚）
设平⾯PBC 的法向量为
，由
，
取
，⼜
，
故所求⻆的正弦值为
，
所以直线CE 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值为
．
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底⾯ABCD 是平⾏四边形，PA＝PB，DA＝DB＝
，AB＝2，PD＝1，
点E，F 分别为AB 和PB 的中点．
（1）证明：CF⊥PE；
（2）若PE＝1，求直线CF 与平⾯PBD 所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）取PE 的中点G，连接DG，FG，由
，AB＝2，
易知△DAB 为等腰直⻆三⻆形，
此时DE＝1，⼜PD＝1，
所以PE⊥DG，
因为PA＝PB，所以PE⊥AB，
由FG∥EB，
即FG∥AB，所以PE⊥FG，
此时，CD∥AB∥FG，有C，D，G，F 四点共⾯，FG∩DG＝G，
所以PE⊥平⾯CDGF，⼜CF⊂平⾯CDGF，
所以CF⊥PE．
（2）由AB⊥PE，AB⊥DE，且PE∩DE＝E，所以AB⊥平⾯PDE；
由PE＝DE＝PD＝1，得△PDE 为等边三⻆形，
以E 为原点，EB，ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平⾯ABCD 垂直的直线为z 轴，建⽴如图
所示的空间直⻆坐标系，
第52⻚（共75⻚）
，D（0，1，0），B（1，0，0），C（2，1，0），
，
，
，设平⾯PBD 的法向量
，
由
，即
，
取z＝1，
，
⼜
，
设直线CF 与平⾯PBD 所成⻆为θ，
则
，
所以直线CF 与平⾯PBD 所成⻆的正弦值为
．
31．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧⾯ABB1A1⊥底⾯ABC，AB＝BB1＝2，AC＝2
，∠B1BA＝60°，点
D 是棱A1B1的中点，
，DE⊥BC．
（1）证明：AC⊥BB1；
（2）求直线BB1与平⾯DEA1所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接DA，EA，
第53⻚（共75⻚）
DA1＝1，AA1＝2，∠DA1A＝60°，DE＝
＝
，满⾜DA2+
＝
，所以
DA⊥DA1，即DA⊥AB．
平⾯ABB1A1⊥底⾯ABC，且交线为AB，由DA⊥AB，得DA⊥平⾯ABC，由BC⊂平⾯ABC，得DA⊥
BC，⼜DE⊥BC，且DA∩DE＝D，
所以BC⊥平⾯DAE，由AE⊂平⾯DAE，得BC⊥AE．
设BE＝t，CE＝3t，有BA2﹣t2＝AC2﹣（3t）2，解得：t＝1．
所以BC＝4，满⾜BA2+AC2＝BC2，即AC⊥AB，所以AC⊥平⾯ABB1A1．
由BB1⊂平⾯ABB1A1，得AC⊥BB1；
（2）以A 为坐标原点，
，
，
为z 轴的正⽅向建⽴空间直⻆坐标系，
D（0，0，
），E（，
，0），A1（﹣1，0，
），
＝（﹣1，0，0），
＝（﹣，﹣
，
）．
设平⾯DEA1 的法向量＝（x，y，z），由
，即
，取z＝1，得到平
⾯DEA1的⼀个法向量＝（0，2，1），
⼜
＝
＝（﹣1，0，
），设直线BB1 与平⾯DEA1 所成⻆为θ，则sinθ＝|cos＜，
＞|＝
第54⻚（共75⻚）
＝
＝
，
所以直线BB1与平⾯DEA1所成⻆的正弦值为
．
32．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平⾯ABCD，四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，
BC＝1，CD＝2，点A 在平⾯PCD 内的投影恰好是△PCD 的重⼼G．
（1）求证：平⾯PAB⊥平⾯PBC；
（2）求线段PA 的⻓及直线DG 与平⾯PBC 所成⻆的正弦值．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平⾯ABCD，BC⊂平⾯ABCD，∴PA⊥BC．
⼜∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平⾯PAB，
∴BC⊥平⾯PAB，⼜∵BC⊂平⾯PBC，
∴平⾯PBC⊥平⾯PAB，即平⾯PAB⊥平⾯PBC；
（2）解：取CD 中点为E，连接AE，因为∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2
则AB∥CE，AB＝CE，即四边形ABCE 为矩形，故AB⊥AE，
⼜PA⊥平⾯ABCD，AB，AE⊂平⾯ABCD，则可得AB，AE，AP 两两垂直，
故以A 为坐标原点，以AB，AE，AP 所在直线为x，y，z 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
设PA＝m，m＞0，∴A（0，0，0），P（0，0，m），C（1，1，0），D（﹣1，1，0），B（1，0，0），
∴
，由AG⊥平⾯PCD，则
，
⽽
，
，∴
，故
，即
；
∴
，
，
，
，
第55⻚（共75⻚）
设平⾯PBC 的⼀个法向量
，
∴
，即
，可取
，
设DG 与平⾯PBC 所成⻆为θ，0°≤θ≤90°，
∴
．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝1，PD⊥平⾯PAB．
（1）求证：AB⊥平⾯PAD；
（2）求PC 的⻓；
（3）若PD＝1，求直线PA 与平⾯PCD 所成⻆的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由PD⊥平⾯PAB，AB⊂平⾯PAB，
所以PD⊥AB，⼜AB⊥AD，且AD∩PD＝D，
所以AB⊥平⾯APD，
（2）取AD 中点O，连PO，CO，由BC∥AO，且BC＝AO，
所以四边形ABCO 为平⾏四边形，所以OC∥AB，
由PD⊥平⾯PAB，得PD⊥AB，所以OC⊥PD，
⼜AB⊥AD，所以OC⊥AD，⼜AD∩PD＝D，所以OC⊥平⾯APD，
由OP⊂平⾯APD，所以OC⊥PO，
由PD⊥平⾯PAB，得PD⊥AP，所以
，
⼜OC＝AB＝2，所以
；
（3）以O 为坐标原点，
，
为x，y 轴的正⽅向，以过O 且与平⾯ABCD 垂直向上为z 轴的正⽅向
建⽴空间直⻆坐标系，
由PD＝1，得△POD 为正三⻆形，所以
，
第56⻚（共75⻚）
⼜A（0，﹣1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），所以
，
，
设平⾯PCD 的法向量
，则
，即
，
取z＝2，得到平⾯PCD 的⼀个法向量
．
⼜
，设直线PA 与平⾯PCD 所成⻆的⼤⼩为θ，
则sinθ＝|cos＜，
，
所以直线PA 与平⾯PCD 所成⻆的正弦值为
．
34．已知函数g（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝g（x）在点（e，g（e））处的切线⽅程；
（2）设f（x）＝
，证明f（x）恰有两个极值点x1和x2，并求f（x1）+f（x2）的值．
【解答】解：（1）g′（x）＝1+lnx，则g′（e）＝2，g（e）＝e，
故曲线y＝g（x）在点（e，g（e））处的切线⽅程为y﹣e＝2（x﹣e），
即2x﹣y﹣e＝0；
（2）f（x）＝
，所以
，
所以f′（x）＝
＝
（lnx﹣
），
令h（x）＝lnx﹣
，即h（x）＝lnx﹣
﹣1，
由y＝lnx 和y＝﹣
在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，
故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，
第57⻚（共75⻚）
⼜h（
）＝
＜0，h（）＝
＞0，
故存在唯⼀x1∈（
，），使得h（x1）＝0，
当0＜x＜x1时，h（x）＜0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x1＜x＜1 时，h（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
⼜h（e）＝
＜0，h（e2）＝
＞0，
故存在唯⼀x2∈（e，e2），使得h（x2）＝0，
同理当1＜x＜x2时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞x2时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故f（x）恰有2 个极值点x1，x2，
当h（x1）＝0 时，lnx1﹣
＝0，则h（
）＝﹣lnx1+
＝0，
⼜
∈（e，e2）且h（x2）＝0，故x2＝
，
故f（x1）+f（x2）＝
﹣
＝0．
35．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的最⼩值；
（Ⅱ）证明：当0＜a≤1 时，f（x）≥lna 恒成⽴．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝1 时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1﹣lnx，则f'（x）＝
，
设g（x）＝f'（x），则g'（x）＝
，
故f'（x）在（0，+∞）上单调递增，⼜f'（1）＝0，
故当0＜x＜1 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故f（x）在x＝1 处取得最⼩值为f（1）＝0；
（Ⅱ）证明：设h（a）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx﹣lna，
则h'（a）＝
，
第58⻚（共75⻚）
设s（x）＝（1﹣x）ex，t（x）＝
，
因为s'（x）＝﹣xex＜0，所以当x＞0 时，s（x）单调递减，s（x）＜s（0）＝1，
因为t'（x）＝
，
所以当0＜x＜1 时，t'（x）＜0，t（x）单调递减，
当x＞1 时，t'（x）＞0，t（x）单调递增，
所以t（x）＞t（1）＝e，
故a＞0，x＞0 时，
，即h'（a）＜0，故h（a）单调递减，
则当0＜a≤1 时，h（a）≥h（1）＝（x﹣1）ex﹣1﹣lnx，
由（1）可知，（x﹣1）ex﹣1﹣lnx≥0，
故当0＜a≤1 时，h（a）≥0，即（x﹣1）ex﹣a﹣lnx≥lna 恒成⽴，
故f（x）≥lna．
36．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x+a（1﹣cosx）．
（1）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线⽅程；
（2）若存在正实数t，使得当x∈（﹣t，t）时，有对xf（x）≥0 恒成⽴，求a 的值．
【解答】解：（1）当a＝0 时，f（x）＝ln（x+1）﹣x，
＝
，
∴f（﹣1）＝﹣，f′（﹣1）＝e﹣1，
故曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线⽅程为：
y+
＝（e﹣1）[x﹣（
）]，
即y＝（e﹣1）x+e﹣2；
（2）∵f（x）＝ln（x+1）﹣x+a（1﹣cosx），函数的定义域是（﹣1，+∞），
若存在正实数t，使得x∈（﹣t，t）时，有对xf（x）≥0 恒成⽴，
则0＜t≤1，且
，
∵f（0）＝0，f′（x）＝
﹣1+asinx＝
，f′（0）＝0，
∴令h（x）＝axsinx+asinx﹣x，h（0）＝0，
h′（x）＝axcosx+asinx+acosx﹣1，h′（0）＝a﹣1，
第59⻚（共75⻚）
①当a＞1 时，h′（0）＞0，此时存在t 使得x∈（﹣t，t）时，h（x）递增，
∴f（x）在（﹣t，0）递减，在（0，t）递增，∵f（0）＝0，
∴x∈（﹣t，t）时，f（x）≥f（0）＝0，xf（x）≥0 不恒成⽴，不合题意，舍；
②当a＜1 时，h′（0）＜0，
同理可得x∈（﹣t，t）时，f（x）≤f（0）＝0，xf（x）≥0 不恒成⽴，不合题意，舍；
③当a＝1 时，h′（0）＝0，
∵h″（x）＝2cosx﹣xsinx﹣sinx，∴h″（0）＝2，
∴存在t，使得h′（t）在（﹣t，t）单调递增，
∴x∈（﹣t，0）时，h′（x）＜0，x∈（0，t）时，h′（x）＞0，
∴x∈（﹣t，t）时，h（x）≥h（0）＝0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣t，t）单调递增，
∵f（0）＝0，
∴x∈[0，t）时，f（x）≥0，x∈（﹣t，0）时，f（x）＜0，
即xf（x）≥0 恒成⽴，符合题意，
综上：a＝1．
37．已知函数f（x）＝（x﹣a）2+2sinx﹣．
（1）证明：f（x）有唯⼀极值点；
（2）讨论f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）f'（x）＝2（x﹣a）+2cosx．
设g（x）＝f'（x），则g'（x）＝2﹣2sinx≥0，故f'（x）单调递增．
⼜f'（a﹣2）＝﹣4+2cos（a﹣2）＜0，f'（a+2）＝4+2cos（a+2）＞0．
故存在唯⼀x0∈（a﹣2，a+2），使得f'（x0）＝0．
当x＜x0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
故x0是f（x）的唯⼀极值点；
（2）由（1）x0是f（x）的极⼩值点，且满⾜x0﹣a+cosx0＝0．
⼜
；
同理
．
故f（x0）＜0 时，f（x）有两个零点；f（x0）＝0 时，f（x）有⼀个零点；f（x0）＞0 时，f（x）⽆零点．
第60⻚（共75⻚）
⼜
令f（x0）＜0，解得
，即
．
令h（x）＝x+cosx，h'（x）＝1﹣sinx≥0
此时a＝x0+cosx0关于x0单调递增，故
．
令f（x0）＝0，解得
，即
．
此时a＝x0+cosx0，故
令f（x0）＞0，解得
，即
．
此时a＝x0+cosx0关于x0单调递增，故
．
综上所述：当
时，f（x）有两个零点；
当
时，f（x）有⼀个零点；
当
时，f（x）⽆零点．
38．已知函数f（x）＝2（x﹣2）lnx+ax2﹣1．
（1）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）若f（x）≥0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2（x﹣2）lnx﹣1 的导数为f′（x）＝2（lnx+
），
可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣2，
由f（1）＝﹣1，可得切线的⽅程为y+1＝﹣2（x﹣1），即为y＝1﹣2x；
（2）由2（x﹣2）lnx+ax2﹣1≥0 可得a≥
，
设g（x）＝
，可得g′（x）＝
，
设h（x）＝xlnx﹣x+1﹣4lnx，h′（x）＝lnx﹣，h′（x）在（0，+∞）递增，
当0＜x＜1 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，即有h（x）＞h（1）＝0，
此时g（x）递增；
当x＞1 时，h′（x）＞ln1﹣4＝﹣4，由lnx﹣＜0，可设1＜x＜x0，
若﹣4＜h′（x）＜0，可得h（x）在（1，x0）递减，可得h（x）＜h（1）＝0，
所以g（x）在（1，x0）递减，即g（x）＜g（1）＝1，
第61⻚（共75⻚）
当x＞x0，且3＜x0＜4，1﹣2（x﹣2）lnx＜0，g（x）＜0，
所以g（x）的最⼤值为1，
所以a≥1，
即a 的取值范围是[1，+∞）．
39．已知函数f（x）＝a|lnx|+x+
，g（x）＝ex+e﹣x﹣a|ln（ax）|﹣
，其中a＞0．
（1）当a＝1 时，求
的值；
（2）讨论g（x）的零点个数．
【解答】解：（1）当a＝1 时，
．
当0＜x＜1 时，
．
当x＞1 时，
．
所以
；
（2）令g（x）＝0，有
，x＞0，
则
，
即
．所以f（ex）＝f（ax）．
当0＜x＜1 时，
；
当x＞1 时，
；
所以f（x）在（0，1）上递减；在（1，+∞）上递增．
⼜因为
，所以f（ex）＝f（ax），当且仅当ex＝ax 或
．
⼜ex＞1，故ex＝ax 和
不可能同时成⽴．
所以g（x）的零点个数是两个函数s（x）＝ex﹣ax 和
的零点个数之和，其中x＞0．
s'（x）＝ex﹣a，当0＜a≤1 时，s'（x）＞0，s（x）递增，s（x）＞s（0）＝1，s（x）⽆零点．
当a＞1 时，令s'（x）＝0，得x＝lna，故s（x）在（0，lna）上递减；在（lna，+∞）上递增．
第62⻚（共75⻚）
当1＜a＜e 时，s（lna）＝a（1﹣lna）＞0，此时s（x）⽆零点．
当a＝e 时，s（lna）＝0，此时s（x）有⼀个零点．
当a＞e 时，
，
令
，
故h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以s（2lna）＞0，
由零点存在性定理，s（x）在
和（lna，2lna）上各有⼀个零点，
此时s（x）有两个零点．
在（0，+∞）上递增．
⼜t
，
故a＞0 时，t（x）在（0，+∞）上必有⼀个零点．
综上所述，当0＜a＜e 时，g（x）有⼀个零点；
当a＝e 时，g（x）有两个零点；
当a＞e 时，g（x）有三个零点．
40．定义在
上的函数f（x）＝（x﹣k）sinx．
（1）当
时，求曲线y＝f（x）在点
处的切线与两坐标轴所围成的三⻆形的⾯积；
（2）将f（x）的所有极值点按照从⼩到⼤的顺序排列构成数列{xn}，若f（x1）+f（x2）＝0，求k 的值．
【解答】解：（1）当k＝
，f（x）＝（x﹣
）sinx，
，
∴f′（
）＝sin
＝，
曲线y＝f（x）在点（
，0）处的切线的斜率为k＝
，
曲线y＝f（x）在点（
，0）处的切线⽅程为y＝（x﹣
），
令x＝0，y＝﹣
，∴切线与y 轴交点为（0，﹣
），
此时所求三⻆形的⾯积为S＝
＝
．
（2）f′（x）＝sinx+（x﹣k）cosx，
当﹣
＜x＜
时，f′（x）＝cosx•（tanx+x﹣k），
第63⻚（共75⻚）
由函数y＝tanx+x 在区间（﹣
）上递增，且值域为R，
∴存在唯⼀x0∈（﹣
，
），使得tanx0+x0＝k，
此时当﹣
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x1＝x0，
同理，存在唯⼀x0'∈（
），使得tanx0'+x0'＝k，
此时，当
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴x2＝x0'，
∵
＝
，
同理，f（x2）＝﹣
＝cosx2﹣
，
由f（x1）+f（x2）＝0，整理得（cosx1+cosx2）（1﹣
）＝0，
⼜﹣
，∴cosx1cosx2≠1，则有cosx1＝﹣cosx2＝cos（x2﹣π），
由﹣
，∴x1＝x2﹣π或x1＝﹣（x2﹣π），
⼜k＝x1+tanx1＝x2+tanx2，当x1＝x2﹣π或x1＝x2﹣π时，不满⾜，舍去，
∴x1＝﹣（x2﹣π），∴x1+x2＝π，
∴k＝
＝
，
综上，k＝
．
41．已知函数f（x）＝x（1﹣alnx）+1（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若关于t 的⽅程lnt﹣（m﹣1）t+1＝0 有两个不相等的实根t1，t2，求证：|
﹣
|＜e+
+2﹣2m．
【解答】解：
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
，
当a＝0 时，f（x）＝x+1 在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0 时，f''（x）＞0，f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
第64⻚（共75⻚）
则当
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当
时，f′（x）＞0，f（x）单
调递增；
当a＞0 时，f''（x）＜0，f′（x）在（0，+∞）上单调递减，
则当
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当
时，f′（x）＜0，f（x）单
调递减；
综上，当a＝0 时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0 时，f（x）在
单调递减，在
单调递增；
当a＞0 时，f（x）在
单调递增，在
单调递减；
（2）证明：令
，则µ1，µ2是
，即µ﹣µlnµ+1
﹣m＝0 的两个实数根，即m＝µ﹣µlnµ+1 的两个实数根，
设h（µ）＝µ﹣µlnµ+1，则µ1，µ2是函数y＝h（µ）的图象与直线y＝m 交点所对应的横坐标，h′（µ）
＝﹣lnµ，
由（1）知，函数h（µ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
作出函数h（µ）的图象如下图所示，
过点
作曲线h（µ）＝µ﹣µlnµ+1 的切线，则切线斜率为
，则切线⽅程为
，
令y＝m，解得
，由图象可知x1＜µ1；
过点（e，1）作曲线h（µ）＝µ﹣µlnµ+1 的切线，则切线斜率为h′（e）＝﹣1，则切线⽅程为y＝﹣x+e+1，
令y＝m，解得x2＝e+1﹣m，由图象可知x2＞µ2；
第65⻚（共75⻚）
∴
＝
，即
，即得证．
42．函数f（x）＝ax+2bx+e2，其中a，b 为实数，且a∈（0，1）．
（注e＝2.71828⋯为⾃然对数的底数）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）已知对任意b＞4e2，函数f（x）有两个不同零点，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝axlna+2b，由0＜a＜1，
当b≤0 时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
当b＞0时，令f′（x）＝0得
，
时，f′（x）＜0，f（x）在
上单调递减；
时，f′（x）＞0，f（x）在
上单调递增；
综上所述：b≤0 时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；b＞0 时，f（x）在
上单
调递减；在
上单调递增．
（2）由（1）可知：当b＞0 时，f（x）在
上单调递减；f（x）在
上单调递增，
于
是
有
∵函数f（x）在定义域上有两个零点，
∴f（x）min＜0，令
，即有g（t）＝t﹣tlnt+e2＜0g′（t）＝﹣lnt，
∴g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
⼜0＜t＜1 时，g（t）＝t（1﹣lnt）+e2＞0；t＞1 时，注意到g（e2）＝0，
要使得g（t）＜0 成⽴，必有
，
即对任意b＞4e2，有
恒成⽴，即
恒成⽴，
所以有lna≥﹣8 恒成⽴，所以e﹣8≤a＜1，
此时
，
，
令
，
，
，h′（t1）＝2t1﹣2lnt1﹣2＝2（t1﹣1﹣lnt1）≥0，h
第66⻚（共75⻚）
（t1）在[e2，+∞）单调递增，
，故
，使得f（x1）＝
0，
⼜f（0）＝e2+1＞0，故
，使得f（x2）＝0，满⾜f（x）恰有两个零点．
综上所述，a 的取值范围为{a|e﹣8≤a＜1}．
43．已知函数f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）当f（x）恰有⼀个极值点x0时，求实数k 的值，使得f（x0）取最⼤值．
【解答】解：（1）f′（x）＝[ex+（x﹣k﹣3）ex]﹣1＝
[
﹣k]，
设g（x）＝
﹣k，
则g′（x）＝
，
设h（x）＝ex+x﹣1，
h（x）为增函数，且h（0）＝0，
所以当x＜0 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
⼜g（0）＝﹣1﹣k，且x＜0 时，g（x）＜﹣k，
①当﹣1﹣k≥0，即k≤﹣1 时，g（x）≥0，f′（x）≤0，f（x）单调递减，
此时f（x）⽆极值点，
②当﹣1﹣k＜0＜﹣k，即﹣1＜k＜0 时，
存在x1＜0＜x2使得g（x1）＝g（x2）＝0，
x＜x1时，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x1＜x＜x2时，g（x）＜0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x＞x2时，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）有两个极值点，
③当﹣k＜0，即k＞0 时，存在x0，使得g（x0）＝0，
x＜x0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
第67⻚（共75⻚）
x＞x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）有⼀个极值点，
综上所述，当k≤﹣1 时，f（x）⽆极值点，
当﹣1＜k＜0 时，f（x）有两个极值点，
当k＞0 时，f（x）有⼀个极值点．
（2）由（1）知，k＞0 且f′（x0）＝0，即k＝
，
此时x0＞2，
此时f（x）在（﹣∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
所以f（x0）≤f（3）＝﹣e3﹣3，
当且仅当x0＝3 时，f（x0）取得最⼤值﹣e3﹣3，
所以k＝
＝
．
44．已知关于x 的⽅程ax﹣lnx＝0 有两个不相等的正实根x1和x2，且x1＜x2．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）设k 为常数，当a 变化时，若x1kx2有最⼩值ee，求常数k 的值．
【解答】解：（1）由ax﹣lnx＝0 且x＞0，可得
＝a，
设F（x）＝
，x∈（0，+∞），则F'（x）＝
，令F'（x）＝0，解得x＝e，
当0＜x＜e 时，F'（x）＞0，F（x）单调递增；当x＞e 时，F'（x）＜0，F（x）单调递减；
函数F（x）＝
的图象如下：
⼜x 趋向于0 时，F（x）趋向﹣∞，x 趋向于+∞时，F（x）趋向0；
要使F（x）图象与直线y＝a 有两个交点，则0＜a＜F（e），故a 的取值范围是（0，）；
（2）因为F（1）＝0，由（1）得1＜x1＜e＜x2，则a＝
＝
，
＝
，
第68⻚（共75⻚）
设
＝t（t＞1），则t＝
，即lnx1＝
，lnx2＝
，
由x1kx2有最⼩值ee，即klnx1+lnx2＝
有最⼩值e，
设g（t）＝
（t＞1），g'（t）＝
，
记G（t）＝﹣（k+1）lnt+t﹣+k﹣1，G'（t）＝﹣
+1+
＝
，
由于t＞1，若k≤1，则G'（t）＞0，可得G（t）单调递增，
此时G（t）＞G（1）＝0，即g'（t）＞0，g（t）单调递增，
此时g（t）在（1，+∞）没有最⼩值，不符合题意，
若k＞1，t∈（1，k）时，G'（t）＜0，则G（t）在（1，k）单调递减，
t∈（k，+∞）时，G'（t）＞0，则G（t）在（k，+∞）单调递增，
⼜G（1）＝0，G（k）＜G（1）＝0，且t 趋向于+∞时G（t）趋向+∞，故存在t0∈（k，+∞）且唯⼀，使
得G（t0）＝0，
此时1＜t＜t0时，G（t）＜0，即g'（t）＜0，此时g（t）在（1，t0）上单调递减；
t＞t0时，G（t）＞0，即g'（t）＞0，g（t）在（t0，+∞）上单调递增，
所以k＞1 时，g（1）有最⼩值g（t0），
g'（t0）＝0，即﹣（k+1）lnt0+t0﹣
+k﹣1＝0，整理得k＝
，
此时g（t0）＝
＝
，由题意知g（t0）＝e，
设h（x）＝
（x＞0），h'（x）＝
，
设H（x）＝（x+2）e﹣x+x﹣2，H'（x）＝﹣（x+1）e﹣x+1，
设u（x）＝H'（x），u'（x）＝xe﹣x＞0，故H'（x）递增，H'（x）＞H'（0）＝0．
此时H（x）递增，有H（x）＞H（0）＝0，
令y＝x+e﹣x﹣1 且x＞0，则y'＝1﹣e﹣x＞0，即y 在（0，+∞）上递增，故y＞y|x＝0＝0，
此时h'（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，⽽h（1）＝e 知，h（x）＝e 的唯⼀解是x＝1．
第69⻚（共75⻚）
故g（t0）＝e 的唯⼀解是lnt0＝1，即t0＝e，代⼊k＝
，
综上所述，k＝e2﹣2e．
45．已知函数
，其中k＞0．
（1）证明：f（x）恒有唯⼀零点；
（2）记（1）中的零点为x0，当
时，证明：f（x）图像上存在关于点（x0，0）对称的两点．
【解答】解：（1）f（x）＝0⇔k＝x2lnx＝g（x），⼜g′（x）＝x（2lnx+1），
令g′（x）＞0，则
，g（x）递增，
令g′（x）＜0，则
，g（x）递减，
⽽0＜x＜1 时，g（x）＜0，x＞1 时g（x）＞0，
有g（1）＝0＜k，g（ek）＝ke2k＞k，
可得f（x）恒有唯⼀零点．
（2）因为
，故
，
要证f（x）图像上存在关于点（x0，0）对称的两点，
即证⽅程f（x）+f（2x0﹣x）＝0（x≠x0）有解；
，
令
，
，
令
，
则m′（x）＝（﹣6x+4x0）ln（x）+（6x﹣8x0）ln（2x0﹣x）+2x0，
令n（x）＝m′（x）＝（﹣6x+4x0）ln（x）+（6x﹣8x0）ln（2x0﹣x）+2x0
，
第70⻚（共75⻚）
当0＜x＜x0时，2x0﹣x＞x，则n′（x）＞0，m′（x）递增，
当x0＜x＜2x0时，2x0﹣x＜x，则n′（x）＜0，m′（x）递减，
故m′（x）≤m′（x0）＝2x0（1﹣2lnx0），因为
，故m′（x0）＞0，
⼜x→0 时，m′（x）→﹣∞，x→2x0时，m′（x）→﹣∞，
故m′（x）先负后正再负，则h′（x）先减再增再减，
⼜h′（x0）＝0，且x→0 时，m′（x）→+∞，x→2x0时，m′（x）→﹣∞，
故m′（x）先正后负再正再负，则h（x）先增再减再增再减，
⼜x→0 时，h（x）→﹣∞，x→2x0时，h（x）→﹣∞，⽽h（x0）＝0，
故h（x）在区间（0，x0）存在两个零点，则原题得证．
46．已知
，其中a，b，c∈R．
（1）若b＝c＝0，讨论f（x）的单调性；
（2）已知x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＜x2，证明：x2（ax1﹣1）＜b＜x1（ax2﹣1）．
【解答】（1）解：若b＝c＝0，即f（x）＝ax﹣lnx（x＞0），可得
，
①若a≤0，则f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）单调递减；
②若a＞0，令f′（x）＞0 有
，即f（x）在
上单调递减，
上单调递增，
综上可得：当a≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞0，f（x）在
上单调递减，
上单调递增．
（2）证明：由题意知x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＜x2，
即
，
，
所以
，即
，
要证：x2（ax1﹣1）＜b＜x1（ax2﹣1），
只需证：ax1x2﹣x2＜b＜ax1x2﹣x1，
即证：
，
即证：
，令
，
第71⻚（共75⻚）
即证：
，
令
，可得
，
即p（t）在（1，+∞）上单调递增，则p（t）＞p（1）＝0，即
，
设p（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），有
，
所以p（t）在（1，+∞）上单调递减，则p（t）＜p（1）＝0，即lnt＜t﹣1．
综上可得：x2（ax1﹣1）＜b＜x1（ax2﹣1）．
47．已知函数f（x）＝（x2+mx+n）ex．
（1）若m＝n＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若m＝a+b+2，n＝a2+b2+2，且f（x）有两个极值点，分别为x1和x2（x1＜x2），求
的最⼩值．
【解答】解：（1）m＝n＝0 时，f（x）＝x2ex，
f′（x）＝（x2+2x）ex＝x（x+2）ex，
令f′（x）＝0，可得x＝﹣2 或x＝0，
当x＜﹣2 或x＞0 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜0 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减．
（2）f′（x）＝[x2+（m+2）x+m+n]ex，
令f′（x）＝0，可得x2+（m+2）x+m+n＝0．
由题意可得，x1，x2是关于x 的⽅程x2+（m+2）x+m+n＝0 的两个实根，
所以x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m+n．
由
，有
，
所以
．
将m＝﹣x1﹣x2﹣2 代⼊上式，得
，
同理可得
．
所以
第72⻚（共75⻚）
＝
①．
令x2﹣x1＝t（t＞0），①式化为
，
设
，即
，
则
，
记h（t）＝e2t﹣2tet﹣1（t＞0），则h′（t）＝2et（et﹣t﹣1）．
记φ（t）＝et﹣t﹣1（t＞0），则φ′（t）＝et﹣1＞0，
所以φ（t）在（0，+∞）上单调递增，
所以φ（t）＞φ（0）＝0，
所以h′（t）＞0，h（t）在（0，+∞）上单调递增，
所以h（t）＞h（0）＝0．
所以g′（t）＜0，g（t）在（0，+∞）上单调递减．
⼜
＝（a+b+2）2﹣4（a2+b2+2）+4＝﹣3a2﹣3b2+2ab+4a+4b
＝﹣3a2+（2b+4）a﹣3b2+4b
＝
，
当且仅当
且b﹣1＝0，即a＝b＝1 时，t2取到最⼤值4，即t 的最⼤值为2．
因为g（t）在（0，+∞）上单调递减，所以
．
所以
的最⼩值为
．
48．已知函数
．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）证明：f（x）是其定义域上的增函数；
（3）若f（x）＞ax，其中a＞0 且a≠1，求实数a 的值．
第73⻚（共75⻚）
【解答】解：（1）由题意f（1）＝e﹣1，即切点为
，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝x﹣1+e﹣1，即y＝x+e﹣2；
（2）证明：由
，设g（x）＝（x﹣1）ex+1，则g′（x）＝xex，
所以当x＜0 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，⼜g（0）＝0，
所以对于任意的x≠0 有g（x）＞0，即f′（x）＞0，
因此f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递增，
即h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1，
所以x＜0 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣1＞x，即
，x＞0 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣1＞x，即
，所以f（x）是其定义域上的增函数．
（3）由（2）可知，x＜0 时，f（x）＜1，所以ax＜1，故a＞1，
令a＝ek，k＞0，F（x）＝e（1﹣k）x﹣e﹣kx﹣x，
由题意x＜0 时，F（x）＜0，x＞0 时，F（x）＞0，
若k≥1，则当x＞1 时，F（x）＝e（1﹣k）x﹣e﹣kx﹣x≤1﹣e﹣kx﹣x＜0，不满⾜条件，
所以0＜k＜1，⽽F′（x）＝（1﹣k）e（1﹣k）x+ke﹣kx﹣1，
令G（x）＝F′（x），则G′（x）＝（1﹣k）2e（1﹣k）x﹣k2e﹣kx＝e﹣kx[（1﹣k）2ex﹣k2]，
令G′（x）＝0，得
，
F′（x）在
单调递减，在
单调递增，
若
，则当
时，F′（x）＜F′（0）＝0，F（x）单调递减，
此时F（x）＞F（0）＝0，不满⾜题意；若
，
则当
时，F′（x）＜F′（0）＝0，F（x）单调递减，
此时F（x）＜F（0）＝0，不满⾜题意；若
，
则当x＜0 时，F′（x）＞F′（0）＝0，F（x）单调递增，此时F（x）＜F（0）＝0，
且当x＞0 时，F′（x）＞F′（0）＝0，F（x）单调递增，此时F（x）＞F（0）＝0，满⾜题意，
第74⻚（共75⻚）
所以
，解得
，
综上所述，
．
49．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2．
（1）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）a＝﹣1 时，f（x）＝lnx+x+x2，
，
则f′（1）＝4，f（1）＝2，
所求切线⽅程为y＝4（x﹣1）+2，整理得y＝4x﹣2；
（2）
，x＞0，
a≤0 时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，
当a＞0 时，对于y＝2x2﹣ax+1，Δ＝a2﹣8．
若
，则△≤0，此时f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增．
若
，令2x2﹣ax+1＝0，得
，
时，f′（x）＞0，f（x）递增；
时，f′（x）＞0，f（x）递增；
时，f（x）＜0，f（x）递减；
综上所述：
时，f（x）在（0，+∞）上递增；
时，f （x ）在
上递增，在
上递减，在
上递增．
50．已知f（x）＝﹣f′（1）x2+x+2lnx．
（1）求f′（1）并写出f（x）的表达式；
（2）证明：f（x）≤x﹣1．
【解答】解：（1）由f（x）＝﹣f′（1）x2+x+2lnx 有
，
取x＝1 得到：f′（1）＝﹣2f′（1）+1+2，
第75⻚（共75⻚）
解得f′（1）＝1．
将f′（1）＝1 代⼊f（x）＝﹣f′（1）x2+x+2lnx，
可得：f（x）＝﹣x2+x+2lnx．
证明：（2）设g（t）＝t﹣lnt，则
，
故当0＜t＜1 时g′（t）＜0，当t＞1 时g′（t）＞0．
所以g（t）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，故g（t）≥g（1）＝1．
从⽽f（x）＝﹣x2+x+2lnx＝﹣x2+x+ln（x2）＝x﹣g（x2）≤x﹣1．
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