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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 05 立体几何（解答题）
立体几何在文科数高考中属于重点知识点，难度中等。解答题主要是求几何体的体积为主，通常采用的方
法是换底换高，对于求高题目主要是等体积法的应用。
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
2．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱柱 中， 平面 ．
1(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
3．（2022·全国·统考高考乙卷题）如图，四面体 中， ，E为AC
的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
24．（2022·全国·统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
5．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中
点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
36．（2021·全国·高考甲卷题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F
分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
7．（2020·全国·统考高考Ⅰ卷题）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，
是底面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
8．（2020·全国·统考高考Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC–A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，
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4M，N分别为BC，B C 的中点，P为AM上一点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
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（1）证明：AA //MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
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（2）设O为△A B C 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB C F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB C F的体积．
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9．（2020·全国·统考高考Ⅲ卷）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
510．（2019·全国·统考高考Ⅱ卷）如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，
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∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点.
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（1）证明：MN∥平面C DE；
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（2）求点C到平面C DE的距离．
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11．（2019·全国·统考高考Ⅱ卷）如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，
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BE⊥EC .
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（1）证明：BE⊥平面EBC ；
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（2）若AE=AE，AB=3，求四棱锥 的体积．
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612．（2019·全国·统考高考Ⅲ卷）图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中
， ，将其沿 折起使得 与 重合，连结 ，如图2.
（1）证明图2中的 四点共面，且平面 平面 ；
（2）求图2中的四边形 的面积.
13．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为
CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
714．（2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三
角形，平面 平面 ， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
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