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第24 讲 定值问题
一．解答题（共19 小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线
过点
，且点
在
轴上的
射影恰为该双曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线
的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆
的一个焦点
作与
轴不垂直的任意直线”交椭圆于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
为定值，且定值是
”．命
题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线
，过该圆锥曲线焦点
的弦
，
的垂
直平分线与焦点所在的对称轴的交点
，
的长度与
、
两点间距离的比值．试类
比上述命题，写出一个关于抛物线
的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一
般性命题（不必证明）．
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆
过点
，且点
在
轴的射影
恰为该椭圆的一个焦点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过椭圆
的一个焦点
作与
轴不垂直的任意直线交椭圆于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为
定值，说明理由．
3．已知椭圆
，离心率
分别为左、右焦点，椭圆
上
一点
满足
，且△
的面积为1．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点．过点
且平行于的
直线交椭圆于点
，
，证明：
为定值．
4．已知椭圆
的离心率为
，上顶点
到直线
的
距离为3．
（1）求椭圆
的方程；
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（2）过点
作直线
与椭圆
相交于
，
两点，且
，求
直线方
程；（注意用两种方法作答，每种方法4 分）
（3）设直线过点
且与椭圆
相交于
，
两点，不经过点
，证明：直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值．
5．已知椭圆
，
的离心率等于
，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆
的左右顶点分别为
，
，过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点，是否存在定直线
，使得
与
的交点
总在直线
上？若存在，求出
一个满足条件的值；若不存在，说明理由．
6．在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，上顶点
在直线
上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆
交于
，
两点
，
不是椭圆
的顶点）．点
在椭圆
上，且
，直线
与
轴、
轴分别交于
，
两点．
设直线
，
的斜率分别为
，
，问是否存在实数，使得
？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由；
求
面积的最大值．
7．已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆
的右焦点，
是右准线
与
轴的交点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
上顶点
的直线交椭圆另一点
，交
轴于点
，若
，求直
线的方程；
（3）设点
，过点
且斜率不为零的直线
与椭圆
交于
，
两点，直线
与
直线
交于点
，试问
是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理
由．
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8．已知椭圆
的右焦点为
，过
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于
、
两点，线段
的中垂线
交
轴于点
．
（1）若
，求
点坐标；
（2）问：
是否为定值．
9．已知椭圆
的离心率为
，
、
是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的一个动点，且△
面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点
作与
轴不垂直的直线
交椭圆于
，
两点，第一象限点
在椭圆上且满足
轴，连接
，
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，探索
是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
10．已知椭圆
的离心率为
，过椭圆
的左焦点
且不与
坐标轴垂直的直线交椭圆
于
，
两点，且椭圆
截直线
所得弦长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求点
横坐标的取值范围；
（3）试问在
轴上是否存在一点
，使得
恒为定值？若存在，求出点
的坐标
及该定值；若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系
中，椭圆
．
（1）若椭圆
的焦点在
轴上，求实数
的取值范围；
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（2）若
，
①
是椭圆
上的动点，
点的坐标为
，求
的最小值及对应的点
的坐标；
②过椭圆
的右焦点
作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆
于
，
两点，线段
的垂
直平分线交
轴于点
，证明：
是定值，并求出这个定值．
12．已知左焦点为
的椭圆过点
，过右焦点
分别作斜率为
，
的椭圆
的动弦
，
．设点
，
分别为线段
，
的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形
面积的最大值；
（3）若
，
①求证：直线
经过定点
，并求出定点
的坐标．
②求证：点
到直线
，
的距离的平方和为定值．
13 ．已知椭圆
中，以
为中点的弦
所在直线的方程是
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
为椭圆
长轴上的一个动点，过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点，证明：
为定值．
14．如图，已知抛物线
的焦点
到直线
的距离为
．
是过抛物线
焦点
的动弦，
是坐标原点，过
，
两点分别作此抛物线的切线，两切
线相交于点
．
（1）求证：
．
（2）若动弦
不经过点
，直线
与准线相交于点
，记
，
，
的斜
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率分别为
，
，
．问：是否存在常数
，使得
在弦
运动时恒成立？
若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
15．已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，焦距为2，过
作斜
率存在且不为零的直线交
于
，
两点，且△
的周长为8．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知弦
的垂直平分线
交
轴于点
，求证：
为定值．
16．已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
．
（1）求圆
的标准方程；
（2）若点
也在圆
上，且弦
长为8，求直线
的方程；
（3）直线交圆
于
，
两点，若直线
，
的斜率之积为2，求证：直线过一
个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线交圆
于
，
两点，若直线
，
的斜率之和为0，求证：直线的斜
率是定值，并求出该定值．
17．已知圆
的方程为
，直线
，设点
，
．
（1）若点
为
，试判断直线与圆
的位置关系；
（2）若点
在圆
上，且
，
，过点
作直线
，
分别交圆
于
，
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两点，且直线
和
的斜率互为相反数．
①若直线
过点
，求直线
的斜率；
②试问：不论直线
的斜率怎样变化，直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，说明理由．
18 ．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，直线
与椭圆
交于点
，
两点，当
，
是椭圆
的顶点，且△
的周长为6．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
，
，
在直线
上的射影分别为
，
，
，连接
，当
变化时，
证明直线
与
相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆
的左顶点为
，直线
，
与直线
分别相交于点
，
，试问：
当
变化时，以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，
若不是，请说明理由．
19．已知圆
的圆心为
，点
是圆
内一个定点，点
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线与半径
相交于点
．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）给定点
，若过点
的直线与轨迹
相交于
，
两点（均不同于点
．证明：直线
与直线
的斜率之积为定值．
