文档文本内容
专题10 数列解答题综合（二）
（数列中的最值、放缩、不等式及新定义）
（五大考点，38 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点 01 数列中的
最值问题
2022 全国甲卷、2021 上海卷、
2021 新高考全国 Ⅱ 卷、2019
北京卷、2018 全国 Ⅱ 卷
1. 多为解答题第二小问，难度中档，
依托等差、等比基础数列设问。
2. 核心考点：前 n 项和最值、数列
项最值、满足条件最小 / 正整数 n
求解。
3. 命题依托通项、求和公式，结合等
比条件综合计算，侧重不等式判断与
整数分析。
考点 02 数列中的
取值范围问题
2024 上海卷、2022 浙江卷、
2022 上海卷、2021 浙江、2019
上海、2019 全国 Ⅰ 卷、2018
江苏
1. 解答常规中档题型，参数范围为核
心设问形式。
2. 核心：公差、公比、实数参数取值
范围，恒成立条件转化。
3. 常结合等差等比混合、函数融合，
分离参数、分类讨论是核心解题思
路。
考点 03 数列与不
等式
2025 天津卷、2024 天津卷、
2023 新课标 Ⅱ 卷、2022 新高
考 Ⅰ/Ⅱ 卷、2021 天津卷、2020
浙江卷、2017 浙江
1. 数列压轴高频题型，以证明题为
主，区分度较高。
2. 核心：数列放缩、和式不等式、项
大小比较、恒成立证明。
3. 载体为等差、等比混合数列，常搭
配裂项、分组求和完成放缩证明。
考点 04 数列与其
他知识点杂糅
2025 全国一卷、2024 新课标 Ⅱ
卷、2023 上海卷、2019 全国 Ⅰ
卷、2017 山东
1. 综合性压轴大题，文理 / 新高考
均有出现。
2. 融合解析几何、概率统计、函数图
像、平面几何面积等跨模块知识。
3. 先根据几何 / 概率条件推导数列
递推，再结合数列求和、不等式综合
求解。
考点 05 数列新定
义
2026 北京卷、2024 新课标 Ⅰ
卷、2024 北京卷、2023 北京
卷、2022 北京、2020 北京 / 江
1. 上海、北京、江苏特色压轴解答
题，难度最高，拉分核心。
2. 核心：自定义数列、数阵、变换规
苏 / 上海、2019 江苏、2018 上
海、2017 北京 / 江苏
则、特殊数列（M 数列、P 数列、连
续可表数列等）。
3. 题型分层：先读懂定义，简单判
断；再计数、最值；最后充要条件、
存在性证明，对逻辑推理要求极高。
考点01 数列中的最值问题
1. （2022·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
2. （2021·上海·高考真题）已知数列
满足
，对任意
，
和
中存在一项使其为另一项与
的等差中项
（1）已知
，
，
，求
的所有可能取值；
（2）已知
，
、
、
为正数，求证：
、
、
成等比数列，并求出公比
；
（3）已知数列中恰有3 项为0，即
，
，且
，
，求
的最
大值.
3. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
4. （2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，求Sn 的最小值．
5. （2018·全国II 卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值．
考点02 数列中的取值范围问题
1. （2022·浙江·高考真题）已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n 项和为
．
(1)若
，求
；
(2)若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
2. （2024·上海·高考真题）已知函数
．
(1)若函数
的图象经过点
，求解不等式
；
(2)若存在
，使得
、
、
依次成等差数列，求
的取值范围．
3. （2022·上海·高考真题）已知数列
，
，
的前
项和为
.
(1)若
为等比数列，
，求
；
(2)若
为等差数列，公差为
，对任意
，均满足
，求
的取值范围.
4. （2021·浙江·高考真题）已知数列
的前n 项和为
，
，且
.
（1）求数列
的通项；
（2）设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任意
恒成立，
求实数
的取值范围.
5. （2018·江苏·高考真题）设
是首项为
，公差为d 的等差数列，
是首项为
，公比为q 的等比数
列．
（1）设
，若
对
均成立，求d 的取值范围；
（2）若
，证明：存在
，使得
对
均成立，并求
的取值范围（用
表示）．
6. （2019·上海·高考真题）已知数列
，
，前
项和为
.
（1）若
为等差数列，且
，求
；
（2）若
为等比数列，且
，求公比
的取值范围.
7. （2019·全国I 卷·高考真题）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an 的n 的取值范围．
考点03 数列与不等式
1. （2025·天津·高考真题）已知数列
是等差数列，
是等比数列，
．
(1)求
，
的通项公式；
(2)
，
，有
，
（i）求证：对任意实数
，均有
;
（ii）求
所有元素之和．
2. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
3. （2021·天津·高考真题）已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0 的等比
数列，
．
（I）求
和
的通项公式；
（II）记
，
（i）证明
是等比数列；
（ii）证明
4. （2020·浙江·高考真题）已知数列
中，
．
（Ⅰ）若数列
为等比数列，且公比
，且
，求q 与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列
为等差数列，且公差
，证明：
．
5. （2017·浙江·高考真题）已知数列
满足：
，
证明：当
时，
（I）
；
（II）
；
（III）
.
6. （2024·天津·高考真题）已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
7. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
8. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
9. （2021·全国乙卷·高考真题）设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n 项和．证明：
．
考点04 数列与其他知识点杂糅
1. （2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
2. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
3. （2023·上海·高考真题）令
，取点
过其曲线
作切线交y 轴于
，取点
过其作切线交y 轴于
，若
则停止，以此类推，得到数列
．
(1)若正整数
，证明
；
(2)若正整数
，试比较
与
大小；
(3)若正整数
，是否存在k 使得
依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值，若不存在，试
说明理由．
4. （2019·全国I 卷·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一
只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比
另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药
的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．
甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
5. （2017·山东·高考真题）已知
是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系
中，依次连接点
得到折线
，
求由该折线与直线
，
所围成的区域的面积
.
.
考点05 数列新定义
1. （2026·北京·高考真题）设
是一个
行
列的数阵，且数阵中的每一项
，都等于
或
．若对任意
，
，其中
，
，且
都有
则称数阵
具有性质
．
(1)判断下列两个数表是否具有性质
．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(2)若
，则具有性质
的数阵A 中的个数最多是多少？
(3)若
，
，且数阵
具有性质
，证明：对任意，
，都有
．
2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删
去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
3. （2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
4. （2023·北京·高考真题）已知数列
的项数均为m
，且
的前n
项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，
其中，
表示数集M 中最大的数.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
5. （2018·上海·高考真题）给定无穷数列
，若无穷数列
满足：对任意
，都有
，则
称
与
“接近”.
(1)设
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
，判断数列
是否与
接近，并说明
理由；
(2)设数列
的前四项为：
，
，
，
，
是一个与
接近的数列，记集合
，求
中元素的个数
；
(3)已知
是公差为
的等差数列，若存在数列
满足：
与
接近，且在
，
，
，
中至少有100 个为正数，求
的取值范围.
6. （2019·江苏·高考真题）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：
，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
成立，求m 的
最大值．
7. （2020·北京·高考真题）已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使
；
②对于
中任意项
，在
中都存在两项
．使得
．
(Ⅰ)若
，判断数列
是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若
，判断数列
是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若
是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：
为等比数列.
8. （2022·北京·高考真题）已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，
在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
9. （2020·江苏·高考真题）已知数列
的首项a1=1，前n 项和为Sn．设λ 与k 是常数，若对一切
正整数n，均有
成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列
是“λ~1”数列，求λ 的值；
（2）若数列
是“
”数列，且an＞0，求数列
的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列
为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ 的取值范围；若
不存在，说明理由，
10. （2020·上海·高考真题）有限数列
，若满足
，
是项数，则称
满足性质
.
（1）判断数列
和
是否具有性质
，请说明理由.
（2）若
，公比为
的等比数列，项数为10，具有性质
，求
的取值范围.
（3）若
是
的一个排列
都具有性质
，求所有满足条件的
.
11. （2017·北京·高考真题）设
和
是两个等差数列，记
，
其中
表示
这个数中最大的数．
（Ⅰ）若
，
，求
的值，并证明
是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数
，使得
是等差数列．
12. （2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k,若数列{an}满足
对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
