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随机抽样、频率分布直方图及样本的数
字特征
考点1
专题10 概率、统计及随机变量分布列
5 大考点概览
题型01 随机抽样、频率分布直方图及样本的数字特征
题型02 一元线性回归模型
题型03 列联表与独立性检验
题型04 古典概型、条件概率及全概率公式
题型05 离散型随机变量期望、方差及其分布列
1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300 人，初中教师800 人，小学教师1100 人，为调查某
次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44 的样本进行访问，则小
学教师应抽取（ ）
A．6 人
B．16 人
C．22 人
D．28 人
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前
个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.
某工厂生产的零件以
个为一箱，成箱出售（
）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到
连续
编号.现从一箱中随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，
60，则下列4 个选项中，作为
的估计值，最合适的一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
3．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，
，m，
，
，
，
，若该组数据的
分位数是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·江西吉安·一模）某市连续8 天的AQI（空气质量指数）分别为
，
则这组数据的上四分位数为（ ）
A．32
B．33
C．48
D．49
5．（2026·广东·一模）已知数据
的平均数为1，方差为2，则数据
的方差为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（2026·云南曲靖·一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6 个小球，这6 个小球分别标有
编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4 次，得到一组编号组
成的数据，若该组数据的平均数为2，则（ ）
A．中位数可能为3
B．众数可能为4
C．极差可能为5
D．方差可能为1
7．（2026·辽宁朝阳·一模）某校将学生分为5 个队伍进行研学活动，这5 个队伍的人数分别为：
50，
，55，45，
.已知本次研学活动的总人数为250 人，且各队人数的第40 百分位数不小于
48，则各队人数的第70 百分位数的最大值是（ ）
A．51
B．52
C．53
D．54
8．（2026·河北邢台·一模）若A 组数据
，
，
，
的平均数为25，方差为5，B 组数据
，
，
，
，5m 的方差为8，则
（ ）
A．8
B．4
C．4 或5
D．4 或6
9．（2026·海南海口·一模）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、
300 人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n 人开展“教师作业批改
情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15 人，则下列说法正确的是（ ）
A．从高二年级学生500 人中抽取15 人可采用简单随机抽样的方法
B．高一年级抽到学生12 人
C．样本容量
D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小
10．（多选）（2026·陕西铜川·一模）2025 年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛
事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10 胜2 平的战绩，其12 场每场进球数分别
为
则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ）
A．平均数是3
B．中位数是2.5
C．众数是2
D．方差是1
11．（多选）（2026·广西北海·一模）已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，
16，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）
A．极差是16
B．平均数是9
C．第70 百分位数是12
D．方差是270
12．（多选）（2026·山东泰安·一模）下列选项正确的是（ ）
A．对A，B，C 三类个体按3:1:2 的比例进行分层抽样，已知从
类个体中抽取了9 个，则样
本容量为30
B．若随机变量
，则
C．
恒成立
D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为4.5
13．（多选）（2026·河北沧州·一模）某科研单位对Deepseek 的使用情况进行满意度问卷调查，在
1000 名用户的问卷（用户打分都在50 分到100 分之间）中随机抽取了100 份，按分数进行分组
（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点
值为代表）（ ）
A．
B．由样本数据可估计1000 名用户中打分在70 分以下的有350 人
C．估计这1000 名用户问卷的得分的
分位数为85
D．估计这1000 名用户问卷的得分的平均数为75
13．（多选）（2026·广东江门·一模）从某小区抽取
户居民用户进行月用电量调查，发现他们
的用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的
频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ）
A．
B．估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为
C．估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于
至
之间
D．当该小区的月用电标准定在
时，该小区大约
的居民用户用电量不受影响
14．（多选）（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200 名同学参赛，经过评判，这
200 名参赛者的得分都在
之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．这200 名参赛者得分的中位数为64
C．得分在
内的频率为
D．得分在
内的共有80 人
15．（多选）（2026·广东佛山·一模）对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）
画出如图1 图
､
2 所示的频率分布直方图，其中图2 的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对
总体进行估计，则（ ）
A．图2 中
的频率为0.3
B．图2 众数的估计值唯一
C．图1 与图2 中位数的估计值相同
D．图1 与图2 平均数的估计值相同
16．（多选）（2026·河北石家庄·一模）下列说法正确的是（ ）
A．设一组样本数据
的方差为2，则数据
的方差为8
B．10 个样本数据5，6，7，4，5，7，8，3，9，4 的第60 百分位数是6
C．用0~9 这10 个数字，可以组成648 个没有重复数字的三位数
D．已知随机变量
的概率分布为
，则实数
的值为
17．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量
的方差
，期望
，则
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则
全班50 个学生的数学成绩的方差为10.8
18．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社科创社体育社艺术社辩论社
､
､
､
､
五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图
（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的
方法在参加社团活动的学生中任意抽取20 名学生做问卷调查.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．艺术社的学生人数有120 人
B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5 人
C．从参加社团的学生中任选1 人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为
D．调查结果显示文学社科创社的满意率均为
､
0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总
体满意率为0.81
19．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025 年11 月9 日至21 日在广东举行．广东某高
中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90 人进行
了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24 人、30 人，且高三年级共有学生1080 人，则该
高中学生总数为_____人．
20．（2026·湖北·一模）已知
名同学的跳远成绩（单位：
）排序后如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的第
百分位数是________.
21．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用
一元线性回归模型
考点2
情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200 名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制
了如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的
分位数；
(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样
的方式从
，［30，40）年龄段中随机共抽取8 名居民.若从选定的这8 名居民中随机再抽取3
名，记3 人中在
年龄段的人数为
，求
的分布列及数学期望.
22．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞
赛”活动.本次竞赛活动满分为
分，得分不低于
分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，
现从参加活动的所有同学中随机抽取了
名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6 组：
，统计结果如图所示.
(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；
(2)从该样本分数不低于
分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取
人进行座谈，若
从座谈名单中随机抽取3 人进行个案研究，记分数在
的人数为
，求
的分布列和均值；
(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取
人，这
名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为
，当
最大时，求
的值.
1．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（ ）
A．根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则根据小概率值
的独立性检验，认为两个分类变量有关系
B．在回归直线
中，变量
时，变量y 的值一定是15
C．
的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大
D．在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
2．（2026·辽宁盘锦·一模）2025 年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其
核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度
（单位：1000 万度）和反应持续时间
（单位：
秒）的一组观测数据
作线性相关分析，其回归直线方程是
，且
，则实数
的值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
3．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y 有一组观测数据
，
其回归直线方程是
，且
，则实数
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小
组随机调查了50 名学生，得到成对样本数据
，其中
表示每日自主阅读时间
（单位：小时），
表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为
.下列说法
正确的是（ ）
A．该样本数据的相关系数为5.2
B．当阅读时间每增加1 小时，语文成绩平均增加5.2 分
C．该样本数据中，至少有一个点
在回归直线上
D．若某学生每日阅读时间为2 小时，则他的语文成绩一定为
分
5．（2026·山东青岛·一模）已知变量
，
的统计数据如下，若
与
的回归直线方程为
，则
（ ）
2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
2.6
4.0
5.1
5.4
A．2.5
B．2.7
C．2.9
D．3.1
6．（2026·辽宁大连·一模）某人工智能公司从某年起连续7 年的利润情况如下表所示：
第x 年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
根据表中的数据得到y 关于x 的回归直线方程
，则（ ）
A．y 与x 之间的相关系数
B．回归系数的意义是x 增大一个单位，
增大0.5 个单位
C．第8 年的利润一定为6.3 亿元
D．第6 年利润的残差为
亿元
7．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域
内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检
验，得到相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
8．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数
，y 关于x 的经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
，残差平方和为
.已知变量x 与变量y 的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x 为自
变量，y 为因变量，得出的经验回归方程为
；以y 为自变量，x 为因变量，得出的经
验回归方程为
.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ）
A．若已知变量x 的方差，则可知变量y 的标准差
B．若不给定其他信息，则也可得知变量x 与变量y 各自的平均值
C．若不给定其他信息，则也可得知变量x 与变量y 的相关系数
D．若已知变量x 的标准差，则可知以y 为自变量的回归模型的残差平方和
9．（2026·辽宁抚顺·一模）若根据样本数据
得到的回归直线方程为
，且
，
，则
______．
10．（2026·辽宁朝阳·一模）已知变量
的
组观测值为
.
(1)若变量
具有线性相关关系，且样本均值
，样本方差
，样本相关系数为
，其中
均为已知常数
（i）比较经验回归直线的斜率
与的大小，并说明理由；
（ii）求
关于
的经验回归方程，并证明：对于任意给定的观测值
，当
时，其回归预测
值
满足
.
(2)若变量
存在线性相关关系，且二者的样本均值均为
，方差相等.对于自变量
的任意两
个取值
，利用得到的经验回归方程，记其对应的原变量
的预测值分别为
.证明：当
时，
，并简述该结论在数据预测中的意义.
附：样本相关系数
；样本方差
；经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
11．（2026·海南海口·一模）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5 岁儿童的平均身高
如下表所示．
年龄x/岁
1
2
3
4
5
平均身高y/
cm
76.0
86.5
97.5
103.5
111.5
(1)儿童的平均身高y 与年龄x 之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y 关于年龄
x 的回归直线方程（或函数解析式）；
(2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30 岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不
能，请简要说明理由．
参考数据：
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：
，
．
12．（2026·山西朔州·一模）随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家
电市场前景广阔，记2021~2030 年的年份代码分别为
，下表为2021~2025 年中国智能小家电
市场规模
（单位：千亿元）.
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
1.6
1.7
1.9
2.1
2.3
(1)从这5 年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3 个，记取到的数据小于这5 个数据平均数的
个数为
，求
的分布列与期望；
(2)某传媒机构预测出2026~2030 年中国智能小家电市场规模
（单位：千亿元），并求出
，2021~2030 年中国智能小家电市场规模
关于
的相关系数为
0.994，求
关于
的回归直线方程
的值精确到
.
附：①样本相关系数
，②回归直线方程
中斜率和截距的最
小二乘估计公式分别为
.
13．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻
肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，
尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量
与年份的统计表：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量
（万台）
2
3.5
2.5
8
9
(1)求这种品牌制氧机的销量
关于年份代码
的线性回归方程，并预测2027 年这种品牌制氧机的
销量；
(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活
动，随机抽取了男生和女生各100 名，得到如下
列联表：
学
生
制氧机知识
合计
了解
不了解
男
生
20
女
生
40
合
计
（ⅰ）根据已知条件，填写
列联表；
（ⅱ）根据小概率值
的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否
有关联；
(3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10 人，再从这10 人中
随机抽取4 人做某项调查，记这4 人中对制氧机知识不了解的人数为
，试求
的分布列和数学
期望.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
14．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：
）与
消光系数的结果如下：
尿汞含量
2
4
6
8
10
列联表与独立性检验
考点3
消光系数
65
135
205
285
360
(1)求消光系数
关于尿汞含量
的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为
时消光系数的值．
1．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地
域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲乙两地各
､
200 名消费者，并用等高堆积条形图直
观地展示调查结果如下图所示，经计算得到
.
车型与地区
下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
下列说法正确的是（ ）
A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20 人，则新能源车主有8 人
B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
C．依据
的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不
大于0.001
D．依据
的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不
大于0.001
2．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（ ）
①回归直线
恒过点
，且至少过一个样本点；
②根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则“两个分类变量有
关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可以用决定系数
刻画模型的回归效果，
越大，则拟合的效果越好；
④若随机变量
服从正态分布
，若
则实数
.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（ ）
A．根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则根据小概率值
的独立性检验，认为两个分类变量有关系
B．在回归直线
中，变量
时，变量y 的值一定是15
C．
的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大
D．在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
4．（多选）（2026·湖北荆州·一模）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，
随机调查了100 名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ）
男生
女生
合计
参加了社会实践活动
30
40
70
未参加社会实践活动
20
10
30
合计
50
50
100
附
，其中n＝a＋b＋c＋d；
A．依据小概率值
的
独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关
B．从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
C．随机抽取1 人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为
D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7 人，再从这7 人中抽取2 人，
则这2 人中至少有一名男生的概率为
5．（多选）（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据
的众数是2
B．数据
的第25 百分位数是1
C．若随机变量
，则
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
.依据
的独立性检验
，可判断变量
与
不独立
6．（多选）（2026·重庆·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗
法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗法
疗效
未治愈
治愈
甲
15
52
乙
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
．则下列说法正确的是：（ ）
A．以频率估计概率，有
B．以频率估计概率，有
C．若取
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
，可以认为疗效与疗法独立
7．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据，
，，，
，的
分位数为
B．若随机变量
，且
，则
C．通过样本数据得到的回归直线
一定经过点
D．在独立性检验中，
的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
8．（多选）（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的
购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200 名消费者，得出统计图
如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ）
附：
，
.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20 人，则其中新能源车主有12 人
C．根据小概率值
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
9．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取
了120 名18 岁~60 岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3 次的市民归为“高频锻炼组”，不足3 次
的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，
否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的
列联表．
体质达标
体质不达标
合计
高频锻炼组
m
15
60
低频锻炼组
25
v
u
合计
s
t
120
附：
，其中
．
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
(1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u 的值；
(2)依据小概率值
的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联；
(3)该市计划从抽到的120 人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按
高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10 人展开指导活动，再从这10 人中随机抽取3
人进行专项访谈，求抽取的3 人中至多有1 人来自高频锻炼组的概率．
10．（2026·宁夏银川·一模）某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优
品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的
产品数分别占总数的51%，49%．
(1)任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率；
(2)现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100 件进行检
验，数据如下：
优品
非优品
合计
改造前
5
95
100
改造后
15
85
100
合计
20
180
200
根据小概率值
的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？
附：
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
11．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列
联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满
意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200
(1)任选3 位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有
2 人能完成精细抓握的概率；
(2)依据
的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有
关？
附：
，
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
12．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密
元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网
和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，
质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100 件进行检测，得到如下列联表：
优等品
非优等品
合计
甲生产线
65
35
100
乙生产线
90
10
100
合计
155
45
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关.
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定
数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽
取3 件，记这3 件产品中优等品的个数为X，求X 的分布列和数学期望.
附
其中
.
13．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50 名
男性用户和50 名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得
到如下列联表：
经常购买
不常购买
男性用户
40
10
女性用户
30
20
(1)依据
＝0.05 的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？
(2)从该平台的用户中任选一人，A 表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B 表示事件
“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出
的估计值．
附：
．
0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
14．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总
产量的12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调
查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员
的样本占样本总数的
，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
的独立性检验，分析对燃油汽
车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然
后从这8 人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分
布列及数学期望．
参考公式及数据：
，
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
15．（2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健
康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成
年人中采用随机抽样的方法抽取了150 名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日
进行30 分钟以上中等强度的运动，且每周运动5 天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.
统计的部分数据如表.
运动情况
是否得高脂血症
合计
得高脂血症
未得高脂血症
“非运动者”
45
“运动者”
55
75
合计
150
(1)计算
，
的值，并依据
的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？
(2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13 人，并进行饮食方面
的调查，然后从这13 人中随机抽取2 人作饮食指导，记这2 人中“运动者”的人数为
，求
的
分布列及数学期望. 附：
，
.
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
16．（2026·广东汕头·一模）某中学的两位学生A 与B 为研究高三年级学生的性别和身高是否大于
170cm 的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A 同学调查了所有高三学生，并整理得到等高
堆积条形图，如图（一）；B 同学从所有高三学生中获取容量为40 的有放回简单随机样本，也整
理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40
(1)请根据A 同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结
论是有关联，解释它们之间如何相互影响；
(2)根据B 同学的列联表，依据
的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关
联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据：
，临界值
）
(3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.
17．（2026·河南南阳·一模）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100 名男业主和100 名女业
主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
是否满意
性别
满
意
不满
意
合
计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
(1)依据
的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
(2)从小区的业主中任选一人，
表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，
表示事件“选
到的人为男业主”，利用该调查数据，给出
，
的估计值．
附：
．
0.05
0.01
0.00
5
3.84
1
6.63
5
7.87
9
18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用
按比例分层抽样的方式得到200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方
图如图1 所示.若认为成绩不低于120 分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2 所
示，已知样本中高三年级有15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成
作业的学生占
.
(1)求a 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方
列联表，依据小概率值
的独立性检验，分析认真完成作业
与成绩是否有关.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
古典概型、条件概率及全概率公式
考点4
19．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，
阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足
球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100 名进行调查，部分数据
如表所示：
喜欢足
球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范点球射门，已知男生进球的概
率为
，女生进球的概率为
，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3 人进球总次数的分布
列和数学期望.
附：
，其中
.
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
1．（2026·江西宜春·一模）为测试某AI 图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，
其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两
张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6 这6 个数中随机选取3 个不同的数，则这3 个数
的中位数为4 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河北廊坊·一模）当前，AI 已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI
已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI 辅助新
药分子筛选，事件A 是“AI 模型筛选出候选分子M”，事件B 是“AI 模型筛选出候选分子N”．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为
和
，则直线
与圆
有2 个公共点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5 个球，标号为0 的球1 个，标号为1、2 的球各两
个，从中任取2 个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1 的概率（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两
端都有开口，每次只能从容器的一端取出1 个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，
则两个红球被连续取出的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的
作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作
物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼
备两种优良性状的植株的占比约为（ ）
A．20%
B．30%
C．40%
D．50%
8．（2026·山东东营·一模）在2025 年10 月19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、
丁四位志愿者被派往A、B、C 三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能
被派往一个服务站，则在甲被派去B 服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）（2026·江西赣州·一模）设
是一个试验中的两个事件，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备
检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品
的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片
良品率为
，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ）
A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C．甲设备检测该芯片为良品的概率为
D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
12．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，
随机事件
存在如下关系：
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：
室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为
，选择户外运动的概率为
．如果第
一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为
；如果第一天选择户外运动，那么第
二天选择室内健身的概率为
．则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
13．（多选）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，
其中甲袋子里有2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲
袋子里，再从甲袋子里随机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·黑龙江吉林·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个红球1
个白球，其余盒子中均为1 个红球1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第
2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从
第
个盒子中取到白球的概率是______．
15．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5 首歌，分
别是：抒情歌1 首，流行歌2 首，摇滚歌2 首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为
，
，
，他比赛时，随机从这5 首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，
则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.
16．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12 个）．他的采购方法是：从一包
中随机抽查4 个，如这4 个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6 个次品的包数占20%，而
其余包中各含2 个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．
17．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI 科技公司开发了一套
人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问
题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为
；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确
答案的概率为
，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为
，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____．
18．（2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相
同的3 个红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球
与其替换，这样称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全是红球的概率为
，则
________.
19．（2026·山东日照·一模）已知集合
，从集合
中随机抽取一个数记为
，再从
中随机抽取一个数记为
，则
___________．
20．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件
满足
，
则
__________.
21．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生
准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若
学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，
提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%.
(1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率；
（Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率.
(2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2 次面试）；
方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1 次面试）.
已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？
22．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
离散型随机变量期望、方差及其分布列
考点5
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
23．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q 的概率分布情况如下表所示．
学习强度指数Q
概率
0.2
0.5
0.3
应对情况
轻松应对
勉强应对
困难应对
(1)从该市随机选取3 名高三的学生，记学习强度指数
的人数为X，求
及X 的数学期
望．
(2)定义
为在事件M 发生的条件下事件N 发生的优势．记事件
“该学生学习有压力”
（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件
“该学
生困难应对”，求在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势．
24．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5 个除了颜色外完全相同的小球，其中有1 个红球，2 个黑球，
2 个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的
球的个数为随机变量
.
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
(2)求
的分布列和期望.
1．（2026·山东·一模）已知随机变量X 的分布列如表所示（其中
）：
X
0
1
2
P
则随机变量X 的数学期望
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广西北海·一模）已知随机变量
，且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
3.（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态
3，……，每种状态下的粒子经过1 秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状
态1 的粒子有
的概率变为状态2，状态2 的粒子有
的概率变为状态3，以此类推.现有若干状
态1 的该粒子，则经过3 秒处于状态1 和状态2 的粒子数目约占（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2 局，谁便赢得奖金5400 元.根据以
往的交手记录，每局甲赢的概率为
，乙赢的概率为
，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，
比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分
得奖金（ ）元.
A．3600
B．3800
C．4000
D．4200
5．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展
应用培训活动.现随机
抽取一位学员，其每日在线学习积分
的取值分别为
，若
，则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
7．（2026·山东德州·一模）已知随机变量
，且
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000 人参加，若他们的成绩近似服从正态分布
，
则分数在100-120 之间的考生约有（ ）（参考数据：若
，则有
）
A．1360 人
B．1570 人
C．2720 人
D．3410 人
9．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s 等可能地
沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7 次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（
）
A．7 或
B．5 或
C．3 或
D．1 或
10．（多选）（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量
（单位：
）服从正态分布
，且
，
．从该流水线上随机抽取
4 件产品，这4 件产品中质量
在区间
上的件数记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备
检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品
的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片
良品率为
，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ）
A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C．甲设备检测该芯片为良品的概率为
D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
12．（多选）（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有
，
两类
问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学
答对
类问题的概率为
，答对
类问题的概率为
，甲同学回答
类问题的概率为
，每轮只答
一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．甲同学在第一轮答对试题的概率为
B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为
C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为
D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6
13．（2026·辽宁抚顺·一模）甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙
抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的
概率分别为
，且每次点球是否射中相互独立，则（ ）
A．第2 个球是甲射门的概率为
B．在第1 个球和第2 个球均是甲射门的条件下，第3 个球是乙射门的概率为
C．前4 个球中甲、乙各射2 个的概率为
D．在第3 个球是甲射门的条件下，第1 个球是乙射门的概率为
14．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲
袋子里有2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲袋子里，
再从甲袋子里随机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷
次，定义随机变量
为结果中连续
出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定
，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续
出现正面的次数为和
，故
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
______.
17．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量
，且
，则
___________．
18．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10 张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4 张
为一等奖券，6 张为二等奖券，每次随机抽取1 张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖
券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5 次，
抽到一等奖券记2 分，抽到二等奖券记0 分，以
表示5 次抽取的总得分，则
的数学期望为
__________.
19．（2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相
同的3 个红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球
与其替换，这样称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全是红球的概率为
，则
________.
20．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4 个大小、形状、质地完全相同的小球，分
别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1 个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽
取4 次，记
为抽到数字2，0，6 的次数的最大值，则
的数学期望
______．
21．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人
不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则
_______.
22．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI 辅助学
习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50 名作为样本．记“利用AI 辅助
学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到
，
．现从全校的学生中随机抽取30 名，设其中“利用AI 辅助学习的学生”的人数为
，
则当
取得最大值时，
的值为________．
23．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为
本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
，乙队中人答对的概率分别为
，且各人正确与否相互之间没有影响．用
表示甲队的总得分，则随机变量
的数学期望为
___________；用
表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用
表示“甲队总得分大
于乙队总得分”这一事件，则
___________．
24．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢
得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人
成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．
若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人
形机器人在排练时，导演对机器人下达了7 个动作指令，机器人成功完成了其中5 个．现从这7 个
指令中随机抽取4 个进行回放分析，以
表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望
______．
25．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用
个元件组成一个电路系统，当且仅当从
到
的电路为
通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为
，在电路系统正常工作的条件下，
记此时系统中损坏的元件个数为
，则
__________.
26．（2026·青海西宁·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．
活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得
元基础券的概率为
，获得
元基
础券的概率为
）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券
元，
且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为
，闯过第二关的概
率为
．某生产商将商品定价
元，成本
元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的
，
进阶券面额的
．
(1)若
，
，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为
（单位：元），求
的分
布列和数学期望
；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为
，
记生产商销售一件该商品的期望利润为
（单位：元）．（期望利润
购买概率（支付金额的
期望
商品成本）
优惠券成本的期望）
（i）求
关于
的函数表达式；
（ii）证明：
在
内存在唯一极大值点，并求当
为何值时，商家期望利润
最大？最大
期望利润是多少?（结果保留位小数）
27．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时
间不少于2 小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问
卷调查，将运动时长不少于4 小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4 小时的学生视为“运
动不达标”．现随机抽取200 名学生的问卷，获得数据如下表：
2n
A
B
3
4
n
X
4
E X
10
0.6
20
0.4
20
0p
p
100
41
30%
50%
0
0.8
p
0.5
p
X
X
(
)
E X
2
( )
0.2
0.4
0.2
r p
p
p
( )
f p
( )
f p
p
( )
f p
[0,1]
p
( )
f p
1
男生（人）
女生（人）
合计（人）
运动达标
80
40
120
运动不达标
20
60
80
合计
100
100
200
用频率估计概率．
(1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
(2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设
为“运动达标”的人数，求
的分布列和数学期望；
(3)从该校随机抽取20 名学生，记其中“运动达标”的人数为
．求使概率
取得最大值时
的
的值．（直接写出结论）
28．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型
只有两种词元
，
，且生成词元总数不超过
.若生成
，则过程立即结束；否则继续生
成，直至总数达到
.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为
，
的概率均为0.5，
且各次预测相互独立.审核规则如下：
①若预测中第一次出现词元
，则审核后生成
，
的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元
，则审核后必生成
；
③若预测中出现词元
，则审核后必生成
.
设
表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求
，
；(2)求
的分布列；(3)求
.
29．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞
赛”活动.本次竞赛活动满分为
分，得分不低于
分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，
现从参加活动的所有同学中随机抽取了
名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6 组：
，统计结果如图所示.
X
X
Y
P Y
k
k
A
B
2
2
n n
A
2n
A
B
A
A
B
A
A
B
B
X
1
P X
2
P X
X
2
P X
X
n
100
80
100
40,50 , 50,60 , 60,70 ,
, 90,100
(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；
(2)从该样本分数不低于
分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取
人进行座谈，若
从座谈名单中随机抽取3 人进行个案研究，记分数在
的人数为
，求
的分布列和均值；
(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取
人，这
名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为
，当
最大时，求
的值.
30．（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生
每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100 天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况
（午餐，晚
餐）
甲
30 天
23 天
37 天
10 天
乙
20 天
22 天
18 天
40 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
(1)记
为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X 的分布列和数学期望
；
(2)设乙在9 天中有k 天的午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为
，当
取最大值时，求k 的值；
(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，
，
，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐
的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：
.
31．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B 两类关卡，
A，B 两类关卡每一次闯关成功的概率分别为
.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B 中的
一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类
推.规定A 类关卡闯关成功一次得20 分，B 类关卡闯关成功一次得10 分，闯关失败均得0 分.每名
活动参与者有3 次闯关机会.
70
11
90,100
X
X
50
50
Y
P Y
k
k
,
A A
,
A B
,
B A
,
B B
X
E X
kP
kP
0
1
P M
0
1
P N
P M N
P M N
2 4
5 5
，
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A 类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40 分则获得现金奖励1000 元，低于40 分则根据分数奖励
其他实物小礼品.若活动参与者有1000 人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
32．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生
准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若
学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，
提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%.
(1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率；
（Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率.
(2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2 次面试）；
方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1 次面试）.
已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？
33．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
34．（2026·青海西宁·一模）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小
学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该
校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活
动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到
“通知”要求．
n n
N
n
X
nP
1P
3
5
nP
nP
n
E X
高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
(1)已知高一学生有600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有
达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级8 名学生中，随机选取3 人，记这3 人中每天综合体育活动时间达到通知要
求的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
