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第四章 概率与统计单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
P
a
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为随机变量X 和Y 的样本相关系数，
为随机变量M 和N 的样本相关系数，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
，则X 和Y 负相关
B．若
，则M 和N 线性不相关
C．若
，
，则X 和Y 的线性相关程度比M 和N 的线性相关程度强
D．若
越接近1，则M 和N 的线性相关程度越弱
3．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5 个景点中
随机选择其中一个景点游玩，记事件
“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件
“两位游客
选择的景点不同”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布
（单位：g），该生产线上
的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于
的概率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．为了考查一种新疫苗预防某X 疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机
进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2 倍，接种且发病占接种的
，没接种且发
病的占没接种的
，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为接种该疫苗与预防某X 疾
病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
A．35
B．36
C．37
D．38
6．已知连续型随机变量
服从正态分布
，记函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
成中心对称
D．关于点
成中心对称
7．2024 海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在
宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现
场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10 点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一
个小时反馈一次．指挥中心统计了前5 次的数据
，其中
，
为第次入口人流量数据（单
位：百人），由此得到
关于的回归方程
，
，已知
，根据回归方程（参考
数据：
，
），可预测下午4 点时入口游客的人流量为（ ）
A．9.6
B．11.0
C．11.4
D．12.0
8．
由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（
）
的中国初创公司．其
模型于2024 年年底发布，此模型足以媲美
，一经推出便成为全球热门话
题．利用
进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种
模型运算参差不齐．
技术人员对n 个
模型进行测试，测试由m 道题组成，每个
模型都对这
道题逐一进行求解．若一道
题至少有
个
模型未解对，则称此题为难题；若一个
模型至少解出了
道题，则该
模型测试成
绩合格．如果测试至少有
个
模型成绩合格，且测试中至少有
道题为难题，那么
的最小值为
（ ）
A．6
B．9
C．18
D．27
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．（多选）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
为两个相互独立的随机事件，且
，下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进
入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如
下表：
出场顺序
1 号
2 号
3 号
4 号
5 号
获胜概率
若比赛结束时甲队获胜的场数为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取
个，则其中恰好有
个二等品的概率为 .
13．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的
，
，
，
，这四条流水线的不合格品率依次为
，
，
，
.该厂规定，出现不合格品要追究有关
流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，
工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担
的责任.（结果精确到
）
14．甲、乙、丙三人分别从2 个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合
，
，
，
记
中元素的个数为
，则
的概率为 .
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产
品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300 件产品，产品的质量统计如下表：
特优级品
优级品
合计
一号机床
225
75
300
二号机床
180
120
300
合计
405
195
600
(1)能否有
的把握认为两台机床的产品质量有差异？
(2)现考虑让一号机床生产4 件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用
表示这4 件产品中的
特优级品数量，求
的期望与方差．
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
16．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销
售额
（单位：亿元）的影响，结合近12 年的年研发资金投入量
和年销售额
的数据
，该
团队建立了两个模型：①
；②
，其中
，
，
，均为常数，为自然对数的底数.经对
历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令
，
，计算得如下数据：
20
66
770
200
14
46
0
4.20
3125000
0.308
21500
(1)设
和
的相关系数为
，
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更
好的模型：
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额y 需达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?（结果精确到0.01）
附：对于一组数据
，样本相关系数
回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
17．某个学习小组有6 名同学，其中男生4 人，女生2 人，现从中选出3 人参加一项活动，记男生的人数
为
．
(1)求
的分布列和数学期望；
(2)现从该小组6 名同学中重新选取3 人参加另一项活动．
①求两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率．
18．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的
深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型
.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设
计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时
通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知
三款模型通过算法设计评审的概率依次为
，通
过工程部署验收的概率依次为
.
(1)求
三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
(2)若已知
三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为
的概率；
(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，
三款模型能成功上线的数量为随机变量
，求
的分布列及数学期望
.
19．“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000 多
名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物
理学科夏令营活动．
(1)若参加数学学科夏令营的7 名中学生中恰有3 人来自
中学，从这7 名中学生中选取3 名中学生，求选
取的中学生中来自
中学的人数
的分布列和数学期望；
(2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人
分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道
题的概率分别为
，
．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
（i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率
；
（ii）当
时，求
的最大值．
