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第五章 统计与概率（高效培优单元测试卷·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知甲、乙投篮命中的概率分别为
，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1 次，则
两人共命中1 次的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图是某地100 户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如果事件A，B 互斥，且事件C，D 分别是A，B 的对立事件，那么（ ）
A．
是必然事件
B．
是必然事件
C．C 与D 一定互斥
D．C 与D 一定不互斥
4．一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为
，且
．设这组数据的平
均数为
，中位数为m．下列条件一定能使得
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．随机事件A 发生的概率为
，随机事件B 发生的概率为
，则事件A，B 同时发生的概率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合
，
，从集合A 中任取3 个不同的元素，其中最小的元素用a 表示，
从集合B 中任取3 个不同的元素，其中最大的元素用b 表示，记
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
、
及
分别为某组数
的平均数、分布域（极差）及方差，而
、
及
分别为
这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（ ）
I．
II．
III．
A．只有I 及II
B．只有I 及III
C．只有II 及III
D．I、II 及III
8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出
，2024 共2023 个正整
数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再
擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2 和3），则判甲胜；否则（如2 和4），判
乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知点
与点
关于点
对称，若
，
，
，
的
平均数为
，中位数为
，方差为，极差为
，则
，
，
，
这组数满足（ ）
A．平均数为
B．中位数为
C．方差为
D．极差为
10．盒子里有2 个红球和2 个白球，从中不放回地依次取出2 个球，设事件
“两个球颜色相同”，
“第1 次取出的是红球”，
“第2 次取出的是红球”，
“两个球颜色不同”．则（ ）
A．
与
互为对立事件
B．
与
互斥
C．
与
相互独立
D．
11．在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立，发送0 时，收到1 的概率为
收到0 的概
率为
；发送1 时，收到0 的概率为
收到1 的概率为
．共有两种传输方案：单次传输
和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3 次．收到信号需要译码，
译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码
（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1 的概率为
C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0 和发送1 的概率都是
），则收到的译码为1 的
概率为
D．当
时，若发送0，采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知一组数据
，
，
，
，
的平均数为
，则这组数据的第
百分位数为 .
13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学
生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12 的样本，并算得样本的平均数为
5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8 的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙
两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20 的样本，则合在一起后的样本方差为 .
14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷
次，乙掷
次
，设甲投掷出现偶数
点的次数为
，乙投掷出现奇数点的次数为
，则
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）人工智能算力是驱动
时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的
“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30 台服务器的单机均值算力数据（单位：
），数据范
围在
之间（模拟数据排序如下）．
，
．
(1)计算这组数据的极差，众数；
(2)实验室增加2 台服务器，收集算力数据分别是a 和b
，通过计算发现，平均值210 和上四分位数
都不变，求
的值；
(3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200 家，其服务器算力能力分为三类，A 类企业有80 家，其算力
均值为
类企业有80 家，其算力均值为
类企业有40 家，其算力均值为150．根据上述信息，从
总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由．
16．（15 分）从某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值
分组
频数
6
26
38
22
8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保
留一位小数）；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占
全部产品的80%”的规定？
质量指标值分
组
频数
6
26
38
22
8
频率/组距
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
17．（15 分）每年的10 月1 日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，
即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为
，
；在第二
轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为
．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率；
(2)若甲，乙两轮都失败的概率为
，甲，乙两轮都胜出的概率为
．
①求
的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
18．（17 分）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分
分）选取
名学生参加考核，考核成绩的
频率分布直方图如图所示：
(1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比
例分配），从得分在
内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于
的概率；
(2)现有体育成绩在
分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第
一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有
、
、
、
共四个等级，若两科笔试成
绩均为
，则直接参加国庆营；若一科成绩为
，另一科成绩不低于
，则要参加第二轮面试，面试通过
参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得
、
、
、
四个等级的概率
分别是
、
、
、
；乙在每科笔试中取得
、
、
、
四个等级的概率分别是
、
、
、
，甲、
乙面试通过的概率都为
，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．
19．（17 分）甲、乙、丙3 人打台球，约定：第1 局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者
与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3 人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率
为
，每局台球的结果相互独立.
(1)求前3 局中甲、乙、丙各自轮空1 局的概率；
(2)求前4 局中甲参与了3 局的概率；
(3)求第4 局是甲、乙对打的概率.
