文档文本内容
第十一章 立体几何初步章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可.
【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A 错误；
对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱
柱，B 错误；
对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C 错误；
对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D 正确.
故选：D
2．（24-25 高一下·福建三明·期中）若
，
是不相同的直线，
是不重合的平面，则下列命题为真命
题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可.
【详解】对于A，若
，
，
可能相交，A 错误；
对于B，若
，
，
可能异面，B 错误；
对于C，若
，
，
可能相交，C 错误；
对于D，若
，
，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D 正确.
故选：D.
3．（24-25 高一下·湖北·期中）如图，四边形
的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，已知
，
，则四边形
的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用几何关系得
，利用斜二测画法的规则来还原平面图，根据梯形面积即可求解.
【详解】如图①，过
作
于E，
由斜二测画法知，
，可得
是等腰直角三角形，
又
是等腰梯形，则
，所以
，
还原平面图，如下图：
为直角梯形，
则
，
所以四边形ABCD 的面积为
．
故选：D
4．（23-24 高一下·广东东莞·期中）正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长
分别是6 和3，高是6，则该容器的容积是（ ）
A．108
B．114
C．120
D．126
【答案】D
【分析】根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】由题意有
，所以
，
故选：D.
5．（24-25 高二上·北京平谷·期末）长方体
中，
，则异面直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过平移说明
即异面直线
与
所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得.
【详解】
如图所示，因
，则
即异面直线
与
所成角.
连接
，在
中，
，
则
，即异面直线
与
所成角为
.
故选：C.
6．（24-25 高一下·河南·期中）在四棱锥
中，底面
为平行四边形，E 为线段
上靠近A
的三等分点，F 为线段
上一点，当
平面
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.
【详解】连接
交
于点
，连接
，
由
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
，
因为底面
为平行四边形，所以
，
又
，则
，所以
.
故选：D.
7．（24-25 高一下·山东青岛·期中）在三棱锥
中，
两两垂直，且该
三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算.
【详解】由于
两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径
.
所以外接球的体积
.
故选：B
8．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在
中，
，且A 在平面
上，
在平面
的同侧，M 为BC 的中点，若
在平面
上的射影是以A 为直角顶点的
，则AM
与平面
所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】推导求出线段
，设
，得到M 到地面的距离为
，根据余弦定理
可得
，表示出AM 与平面
所成角的正弦值，利用对勾函数可求出正弦值的取值范围.
【详解】
， M 为BC 的中点，
∴
，故
，
设
，则点M 到地面的距离为
，
，
，
∵射影是以A 为直角顶点的
，
∴
，
在直角梯形
中，
，
即
，所以
,
设AM 与平面
所成角为
，
则
,
所以
.
故选：A.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为
B．该圆锥表面积为
C．该圆锥的体积为
D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50
【答案】ACD
【分析】利用弧长公式、圆锥的表面积公式体积公式计算后可判断ABC 的正误，利用余弦定理判断轴截面
的顶角为钝角后可求过顶点截面的面积最大值后可判断D 的正误.
【详解】对于A，扇形的圆心角的弧度数为
，故A 正确；
对于B，圆锥表面积为
，故B 错误；
对于C，圆锥的体积为
，故C 正确；
对于D，设圆锥轴截面的顶角为
，则
，
而
为三角形内角，故
为钝角，
而过该圆锥顶点的截面面积为
，
截面等腰三角形的顶角，而
，
故面积的最大值为
，当且仅当
时等号成立，故D 正确；
故选：ACD.
10．（24-25 高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，
为圆
的直径，
垂直于圆
所在的平面，
为圆周
上不与点
，
重合的点，
于，
于
，则下列结论正确的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】ACD
【分析】由题意易得
，进而可证
平面
判断A；若
平面
，可得
，可
判断B；由
平面
，可判断C；由已知可得
平面
，进而可判断D.
【详解】对于A，因为
垂直于圆
所在的平面，又
在圆
所在的平面内，所以
，
又
为圆
的直径，所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，故A 正确；
对于B，若
平面
，又
平面
，则
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，这与
为圆
的直径矛盾，
故
平面
不成立，故B 错误；
对于C，因为
垂直于圆
所在的平面，即
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，故C 正确；
对于D，因为
平面
，又
平面
，
所以
，又
，
，又
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以平面
平面
，故D 正确.
故选：ACD.
11．（24-25 高一下·湖南·期中）如图，在棱长为2 的正方体
中，M 为
的中点，点E 和
点F 分别在线段
和
上运动（不包含端点），下列说法正确的有（ ）
A．正方体被平面
截得的截面面积为
B．
的最小值为2
C．三棱锥
的体积为
D．直线
与平面
可能垂直
【答案】AC
【分析】对于A，取
的中点G，连接
，GM，
，可证明
，得到正方体
被平面
所截得的截面为四边形
，进而求解其面积即可判断；对于B，将平面
以
为轴旋转展开，与平面
在同一个平面内，通过计算可得
为直角，可得当E，F 都
到达
时，
的值取得最小值，进而判断即可；对于C，由等体积法
求解判断即可；
对于D，先假设直线
与平面
垂直，通过推导得出平面
平面
，产生矛盾，进而判
断即可.
【详解】对于A，取
的中点G，连接
，GM，
，
因为M 为
的中点，所以
，
在正方体
中，
，所以
，
则正方体
被平面
所截得的截面为四边形
，
且四边形
为等腰梯形，
，
，
，
在等腰梯形
中，过点
，
分别作
，垂足为
，
，
则
，所以
，
所以等腰梯形
的面积为
，故A 正确；
对于B，计算
的最小值，将平面
以
为轴旋转展开，
与平面
在同一个平面内，如图所示，
由于
，
，
，
，
则
，则
，
则
为直角，所以当E，F 都到达
时，
的值取得最小值2，但E，F 不能取端点，故B 错误．
对于C，由
，故C 正确．
对于D，若直线
与平面
垂直，则必有
，此时E 为
的中点，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
而平面
与平面
相交，矛盾，
所以
与平面
不可能垂直，故D 错误．
故选：AC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·天津滨海新·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则
这个圆锥的表面积是 ；
【答案】
【分析】设圆锥的母线长为，得到
，求得
，结合圆的面积公式和圆锥的侧面积公式，即可
求解.
【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得
，所以
，
所以圆锥的表面积为
.
故答案为：
.
13．（24-25 高一下·北京·期中）在所有棱长均为2 的正四棱锥
中，顶点P 到底面的距离为
．
【答案】
【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P 到底面的距离.
【详解】如图，设
为底面
的中心，则
底面
，
因为
平面
，所以
，
由题意，
，
则在正方形
中，
，
所以
，
则顶点P 到底面的距离为
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥
的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥
底面圆的半径是
，轴截面
的面积是
．
过圆锥
的两条母线
，SC 作一个截面，则截面SBC 面积的最大值是 ．
【答案】8
【分析】由已知得
、
，进而可得
，最后由
及
，即可得最大值.
【详解】由
，即
，故
，
令
且
，则
，即
，所以
，
由
，而
，
所以
时，最大
.
故答案为：8
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（24-25 高一下·福建福州·期中）如图，在矩形
和四分之一的
拼接的平面图形中，
，
，将该图形绕
所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为
．
(1)求
的体积；
(2)求
的表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解；
（2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解.
【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
，
，
，
，
，
所以
的体积为
．
（2）
，
，
，
，
．
所以
的表面积为
．
16．（15 分）（24-25 高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱
中，
，
、
分别
为
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证
平面
，根据线面平行的判定定理在平面
内找到一条直线与之平行即可；
（2）将线线垂直转化为
与
所在的某个平面垂直即可.
【详解】（1）连接
交于
点，连接
，
则直三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
则
为
的中点，又
为
的中点，故
，
平面
，
平面
，故
平面
.
（2）取
中点为
，连接
，
，
为
的中点，
故
，而
底面
，
故
底面
，
底面
，故
；
又
为
的中点，则
，而
，即
，
故
，
而
，
平面
，
平面
，
故
平面
，
又
平面
，故
，即
.
17．（15 分）（24-25 高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥
的底面
是边长为的菱
形，
，
是
的中点，
底面
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，证明出
平面
，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）求出
、
的面积，利用等体积法可求得点
到平面
的距离.
【详解】（1）连接
，由四边形
是边长为的菱形，
，
所以，
，可知
是正三角形.
因为
是
的中点，所以
，
又
，所以
.
因为
底面
，
平面
，所以
.
又
、
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
底面
，
平面
，所以
.
又
，
，所以
，.
在正三角形
中，
，
是
的中点，所以
，且
.
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
.
因为
，
底面
，
设点
到平面
的距离为
，所以
.
而
.
所以
，即点
到平面
的距离为
.
18．（17 分）（24-25 高一下·广西贵港·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧
面
是正三角形，平面
平面
，M 是
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
与底面
所成角的正切值为
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得
，再根据面面垂直的性质得到
平面
，即可得到
，
即可得证；
（2）取
的中点为
，连接
，根据面面垂直的性质得到
平面
，连接
，即可得到
为
与底面
所成角，令
，利用锐角三角函数的定义求出
，建立如图所示空
间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解.
【详解】（1）在正
中，因为
为
的中点，
所以
，因为
平面
，平面
平面
，
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以
，因为
，且
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
；
（2）如图，取
的中点为
，连接
，
在正
中，
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，连接
，
则
为
与底面
所成角，
即
，不妨取
，
，
则
，
，
所以
，以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设面
的一个法向量为
，
则由
，
令
，则
，因为
面
，
取
作为面
的一个法向量，
设二面角
为
，
所以
，
所以
，所以二面角
的正弦值为
.
19．（17 分）（24-25 高一下·山西太原·阶段练习）如图，直四棱柱
中，平面
平
面
，平面
与
交于点
.
(1)证明：
三线共点；
(2)若二面角
的大小为
，
①求该四棱柱的体积；
②求多面体
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②
【分析】（1）设
，根据线面与面面的关系证明
即可；
（2）①：如图，根据线面垂直的判定定理与性质确定
为二面角
的平面角，求得
，结合柱体的体积公式计算即可求解；②：根据面面平行的性质可得
、
，
利用相似三角形的性质可得
，结合锥体的体积公式计算即可求解.
【详解】（1）易知
与
相交，设
，
由
平面
，
平面
，平面
平面
，
知
，
所以
、
三线共点.
（2）①：过
作
，垂足为
，连接
，
又
平面
，
平面
，所以
.
又
，
，
、
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
.
故
为二面角
的平面角，即
，
所以
，得
.
所以
，得
.
故四棱柱
的体积为
.
②：由平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
得
.同理可得
，
在四棱柱
中，
，
所以
，则
，
得
，又
，
，
所以
，则
，
所以
.
