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第五章 数列（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．数列
的第6 项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】第一项：
第二项：
第三项：
第四项：
所以通项公式为：
，则第六项为：
.
故选：A
2．数列
的通项公式为
，
为其前
项和，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，因为
，所以解得
，
所以数列
的前3 项为负，第四项起为正，
的最小值为
.
故选：B
3．在等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由等差数列的性质得
，则
，
又
，所以
．
故选：D.
4．观察下列式子：
为正整数，则可以猜想结论（ ）.
A．
；
B．
C．
；
D．
【答案】C
【详解】注意到
，
则可猜想：
，AD 错误，
或
，B 错误C 正确.
故选：C
5．已知正项等比数列
，满足
，若存在两项
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【详解】由等比数列性质可得：
，又因为正项等比数列
，所以
，
又因为
，所以
，即公比
，
所以正项等比数列
的通项公式为：
，
再由
，可得
，
则
，
当且仅当
取等号，
故选：D
6．已知等差数列
的前
项和为
，公差为
且
，当且仅当
时
最大，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，当且仅当
时
最大，
所以
，即
，
所以
，
故选：C.
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
.该数列的
特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组
成的数列
称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：
，称为卡西尼恒等式，
根据卡西尼恒等式，
（ ）
A．1
B．-1
C．2026
D．2027
【答案】A
【详解】由
得
，
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
，
所以
.
故选：A.
8．在等比数列
中，
，
，若不等式
成立，则
的最小值为（ ）
A．25
B．27
C．29
D．31
【答案】D
【详解】设
的公比为
，由
，
则
，
由
，
所以
，所以
，
令
，则
，
记
，
当
为偶数时，
，
无正整数解；
当
为大于2 的奇数时，
，由
，
解得
，又
为奇数，所以
的最小值为31，
故选：D．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知
是等差数列
的前
项和，则下列选项中可能是
所对应的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】设等差数列
的公差为
，则等差数列
的前
项和公式为
，
当
时，
是过原点的直线上的点，所以选项B 正确，
当
时，
是关于
的二次函数
，且该二次函数的图象过原点，
则
是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D 正确．
故选：ABD．
10．记
是公差为
的等差数列
的前
项和，已知
，
，
是数列
的前
项和，
则（ ）
A．
B．
C．
D．对于任意正整数
，
【答案】ACD
【详解】由题知，
，可得
，
即
，
，
又
，令
，得
，
，
解得
，所以
，
所以
，
，
所以
，
，数列
是为首项，为公差的等差数列，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
.故ACD 正确.
故选：ACD
11．已知数列
均为递增数列，它们的前
项和分别为
，且满足
，
，
则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由
是递增数列，得
；又
，所以
，
所以
，所以
，故A 正确；
，故B 不正确；
由
是递增数列，得
，又
，
由
可得
，即
，解得
，故C 正确；
由
，可得
，则
，
即数列
和
均为公比为
的等比数列，
所以
，
所以
，又
，所以
，
而
，
当
时，
；
当
时，可验证
，
所以对于任意的
，都有
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知数列
满足
，且
，则
.
【答案】2
【详解】因为
，且
，
则
，
，
，
，
，
可知数列
的一个周期为5，所以
.
故答案为：2.
13．若等比数列
共有
项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列
的所有项之和为
．
【答案】300
【详解】设等比数列
的奇数项之和为
，偶数项之和为
，
则
，
，
由题意可得：
，即
，解得
，
故数列
的所有项之和是
.
故答案为：300.
14．已知等差数列
共有10 项，前三项的和为6，后3 项的和为
，则
的通项公式
;
记
，则
的最大值为 .
【答案】
64
【详解】设等差数列
的公差为
，
由题意得
，即
，解得
，
所以
的通项公式为
，
则
，
则
，其中
，
，
因为
，且
，所以当
或
时，
取得最大值
，
此时
取得最大值为
.
故答案为：
；
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
．
【答案】(1)
；
(2)30
【分析】
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
由题意可得
，解得
，所以
.
（2）由（1）可得
，
所以
.
16．（15 分）已知等比数列
的各项均为正数，满足：
，且
是
与
的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
是
与
的等差中项，所以
，即
，
设
的公比为
，则
，即
，解得
或
（舍），
因为
，所以
，即
，解得
，
所以
.
（2）
.
，
.
17．（15 分）设数列
的前
项和为
，
，且
，
.
(1)求
；
(2)求最小的正整数
，使得
.
【答案】(1)
(2)6
【分析】
【详解】（1）由题意
，
，
用累加法可得
利用等比数列求和公式得
而当
时，
，满足上式.
故
，化简得
故
.
（2）因为
，所以
.
利用等比数列求和公式得
.
由于
，因此随着
的增大，
也增大.
当
时，
.
当
时，
.
因此当
时，
.所以整数
的最小值为
，使得
.
18．（17 分）记
为各项均为正数的数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若等差数列
满足
，
，
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，
可知
是公比为2 的等比数列，故
，
当
时，
，
，故
由
得
，又
，所以
，
故
；
（2）记
的公差为
，由
可知
，
由
得
，即
，
整理得
，即
，解得
或
，
当
时，
，不合题意，舍去，
当
时，
，符合题意，
故
的通项公式为
.所以
.
当
时，
，
,
两式相减，得到
.
又注意到
时，
.
故
.
19．（17 分）已知正项数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)已知
，求数列
的前
项的和
；
(3)已知
，在数列
中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果存在，求出这三项；
如果不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）因为
当
时，
所以
.
又
，有
，又
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
又
，可知
，
.
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）可得
，
.
当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
.
∴
（3）假设存在不同的三项
，
，
依次成等差数列，不妨设
则有
，∴
两边同除以
，可得
.
又
为偶数，
为偶数，
为奇数，
∴
不可能成立.
假设不成立，即不存在不同的三项，使这三项成等差数列.
