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第六章 平面向量初步单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知向量
，
，若
与
共线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】向量
，
，因为
与
共线，则
，
所以
.
故选：B.
2．设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【详解】
是平面内所有向量的一组基底，所以
与
不共线.
对于A，假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设不成立.
所以
与
不共线，所以能作为基底，所以A 错误；
对于B， 假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设不成
立.
所以
与
不共线，所以能作为基底，所以B 错误；
对于C，因为
，所以
与
共线，不能作为基底，所以C 正确；
对于D，假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设
不成立.
与
不共线，所以能作为基底，所以D 错误.
故选：C.
3．设O 是
的外心，则
是（ ）
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
【答案】C
【详解】因为
是
的外心，则有
.
因为
的方向不同，所以它们是模相等的向量，所以C 正确.
对于A，因为它们的方向不同，所以不是相等向量，所以A 错误；
对于B，因为它们不共线，所以不是平行向量，所以B 错误；
对于D，因为
的起点分别为
，所以它们的起点不同，所以D 错误；
故选：C.
4．已知三个力
，
，
同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力
，该
质点恰好达到平衡状态（合力为零），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，作用在该质点上的三个力
，
，
，
则
．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需
．
故选：C.
5．在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，又因为两向量有公共点
，所以点
三点共线，又
,
又
，
所以
，解得
，
，
因此
.
故选：C．
6．如图所示，四边形
是正方形，
分别
，
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
所以
，所以
，
所以
，
.
故选：D.
7．已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足
，
，则点P 的轨迹一定经过（ ）
A．
的内心
B．
的垂心
C．
的重心
D．
边的中点
【答案】C
【详解】取
的中点D，则
，
∵
，
∴
，而
，
∴P，C，D 三点共线，
∴点P 的轨迹一定经过
的重心．
故选：C.
8．古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，
阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴
含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形
）是从图1（八卦模型图）抽
象出来，并以正八边形
的中心O 为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P 在正八边形的边上
运动，若
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】以O 为坐标原点，以
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
设
，则
，
，
由于
，结合正八边形的对称性。
可知当P 点位于线段
上时，
才会取到最大值；
不妨设P 点在线段
上，设
，即
，
则
，
则
，
即
，则
，
即
，当
时，
取到最大值
，
故选：D．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】CD
【详解】对于A，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故A 不正确；
对于B，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故B 不正确；
对于C，因为
，所以
不能作为基底，故C 正确.
对于D，因为
，所以
不能作为基底，故D 正确.
故选：CD
10．如图，在正方形
中，
为
上一点，
交
于
，且
为
的两个三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】易知
，所以
，因此A 错误；
显然
，可得B 正确；
，所以C 正确；
因为
为
上靠近
的三等分点，所以
，利用
可得
；
所以
，即D 正确.
故选：BCD
11．如图，在菱形
中，
，延长边
至点
，使得
.动点
从点
出发，沿菱形
的边按逆时针方向运动一周回到
点，若
，则（ ）
A．当点
在线段
上移动时，
B．满足
的点
有且只有一个
C．满足
的点
有两个
D．
最大值为3
【答案】ACD
【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形
的边长为1，
，则
，
所以
，
由
，得
，
所以
，所以
，
①当点
在
上时，
，且
，
所以
，故A 正确；
②当点
在
(不含点
)上时，则
，
所以
，化简
，
所以
，
因为
，所以
，即
；
③当点
在
(不含点
)上时，则
，且
，
所以
，即
，所以
；
④当点
在
(不含点
)上时，则
，
所以
，化简
，
所以
，
因为
，所以
，所以
；
对于B，由①知，当
时，
，此时点
与点
重合；
由④可知当
时，
，
，此时点
在
的中点处；
其它均不可能，所以这样的点
有两个，故B 错误；
对于C，由②知，当
时，
，
，此时点
在
的中点；
由③知，当
时，
，
，此时点
在点
处；
其它均不可能，所以这样的点
有两个，故C 正确；
对于D，由①②③④可得，当
，
，即点
为点
时，
取到最大值3，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知
为线段
上一点，且
，若
为直线
外一点，用
，
表示
，则
.
【答案】
【详解】如图，
,
故答案为：
.
13．如图，在
中，点O 在BC 上（不含端点），
，则
的最小值为
．
【答案】
/
【详解】由题意可得，B，O，C 三点共线，则
共线．
则存在唯一实数
，使得
，
即
，
整理可得
．
又
，
所以
，
所以
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
14．四边形
内接于圆
，
，
，若
且
，则四边形
的面积为
【答案】
【详解】取
的中点为
，连接
，作
于点
，如下图所示：
因为四边形
内接于圆
，所以
，
又
，可得
，
所以
，因此可得四边形
为等腰梯形，
易知
，所以
，由
可得
三点共线，
由圆的性质可知
，所以
，
可知
，可得
，
所以
，
；
可知梯形面积
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）如图所示，
是平行四边形，
，
，
是其对角线的交点，
，
．
(1)试用
，
表示向量
，
．
(2)试用
，
表示向量
．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
．
（2）
16．（15 分）已知四边形
的顶点坐标为
、
、
，且
.
(1)若点
在第一象限，求实数
的取值范围；
(2)若点
为直线
外一点，
为四边形
对角线的交点，
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
、
，所以
.
设点
的坐标为
，
，
，则
.
由
，得
，解得
，
因为点
在第一象限，所以
，
，则
，解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）由
得
，
即
，所以
.
因为
，所以
，
又点
恰为四边形
对角线的交点，
所以
，则
，
又
，所以
.
17．（15 分）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
交
于点
，求线段
的长
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）以点
为坐标原点，分别以
，
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
可得：
，
所以
，解得
，
因此
；
（2）设
，因为
三点共线，所以
则存在唯一实数
，使得
，
则
，可得
，
，
即
，
又
三点共线，且
，
，则
，
所以
，解得
，
则
，所以
，
所以
，
所以线段
的长
.
18．（17 分）如图，在
中，
，
，
与
交于O，若
，
(1)求
的值；
(2)设
的面积为S，
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
，
因为
三点共线，所以
，
又因为
，所以
，则
，
同理，因为
三点共线，所以
，
又因为
，所以
，则
，
根据平面向量基本定理，可得
，解得
，
所以
.
（2）延长
与
交于点
，因为
三点共线，
所以
，
又因为
，且
，所以
，
即
，
所以
，解得
，所以
，则
.
所以
.
19．（17 分）在平面直角坐标系中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
为
直角顶点．
(1)求点
；
(2)设点
是第一象限的点，若
，
，则
为何值时，点
在第二象限？
【答案】(1)
或
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
，
是等腰直角三角形，
为直角顶点．
，
，
即
，
化简为
，
，
联立解得
或
．
，或
．
（2）
点
是第一象限的点，
．
设
，
，
，
，
，
，
，
．
，
解得
，
．
点
在第二象限，
，解得
．
，点
在第二象限．
