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第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．抛物线
的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“
”是“直线
与圆
相切”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若
，直线
，直线
，则“
”的充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知圆
上所有点都在第二象限，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知椭圆
，若椭圆上存在两个不同点
关于直线
对称，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B 及动点P，若
（
且
），
则点P 的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，
，
，直线
，直线
，P 为，
的交点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．点
在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量的坐标为
D．直线l 的截距式方程为
10．如图，
，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为
直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线
，则（ ）
A．曲线
与
轴围成的图形的面积等于
B．曲线
上有5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧
所在圆的方程为
D．弧
与弧
的公切线方程为
11．已知抛物线
和点
，直线
与抛物线
交于不同的两点
，直线
与抛物线
交于另一点
，给出以下判断，正确的有（ ）
A．以
为直径的圆与抛物线准线相离
B．准线上存在一点
，使得
C．
D．设过点
的圆的圆心坐标为
，半径为，则
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．点
到直线
的距离为
13．已知
，点
在
轴上运动，点
在圆
上运动，则
的模的最小值
是 ．
14．“
”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线
过坐标原点
上的点到两定点
的距离之积为9.若
上第一象限内的点
满足
的面积为
，
则
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知圆
：
，直线：
.
(1)求圆
的圆心及半径；
(2)求直线被圆
截得的弦
的长度.
16．已知直线的方程为
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
的直线交坐标轴正半轴于
两点，当
面积最小时，求
的周长．
17．已知双曲线
的右焦点为
与抛物线
的焦点重合，且
的顶点与坐
标原点重合．过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，交
于
两点，且
．
(1)求
的离心率；
(2)若点
是
与
的公共点，且
，求
与
的标准方程．
18．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”．
(1)证明：椭圆
为“质朴椭圆”．
(2)是否存在实数
，使得椭圆
为“质朴椭圆”？若存在，求
的值；若不存在，说
明理由．
(3)设斜率为2 的直线经过椭圆
的右焦点，且与
交于
两点，
，试问
是否为“质朴椭圆”，并说明理由．
19．已知点
是圆
上的任意一点，点
，线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)分别过
，
作平行直线
，
，若直线
与
交于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，其中
点
，
在
轴上方.
（ⅰ）若
，求
的值；
（ⅱ）求四边形
的面积的取值范围.
