1
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
课程标准
学习目标
1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系
2. 2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判
断，能够计算弦长
重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及
应用
难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系
进行判定，相关计算的准确性
知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x 的方程 ax
2+bx +c =0.
方程ax
2+bx +c =0的解
l与c1的交点
a=0
b=0
无解（含l是双曲线的渐
近线）
无公共点
b≠0
有一解（含l与抛物线的
对称轴平行或与双曲线
的渐进性平行）
一个交点
a≠0
∆>0
两个不等的解
两个交点
∆=0
两个相等的解
一个切点
∆<0
无实数解
无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
【即学即练1】（24-25 高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线C : x
2
a −y
2
12 =1(a>0)，过右焦点F的直
线l与双曲线C交于A ,B两点．且|AB|=16，这样的直线有4 条，则实数a的取值范围是（ ）
A．(
9
16 ,64)
B．(
9
4 ,64)
C．(0, 9
4)
D．(0,64)
2
【即学即练2】（2024 高二上·江苏·专题练习）设F1、F2分别是椭圆x
2
4 + y
2=1的左、右焦点，设过定
点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），则直线l 的斜
率k 的取值范围为（ ）
A．(−2,−√3
2 )
B．(
√3
2 ,2)
C．(−2,−√3
2 )∪(
√3
2 ,2)
D．(1, √3
2 )
知识点02 直线与圆锥曲线的相交弦长
1.设斜率为 k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C 相交于A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1
－x2|＝·|y1－y2|＝·
2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB 的倾斜角).
【即学即练3】（24-25 高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C过点A (0,3)，离心率为
1
2，
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为3
2的直线与曲线C相交于点D，E，弦长|DE|= 3√13
2
，求直线的方程．
【即学即练4】（23-24 高二下·甘肃·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的
√2倍，且焦点到渐近线的距离为√2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1 个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证
明：△OPQ的面积为定值．
知识点03 中点弦的重要结论
AB 为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)弦中点M(x0，y0)).
则弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心0 的连线的斜率之积为定值e
2−1.
【即学即练5】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知点A ,B为抛物线y
2=2 x上异于原点的两个动点，
若|AB|= 4，则线段AB中点的横坐标的最小值为（ ）
3
A．1
B．3
2
C．5
3
D．2
【即学即练6】（21-22 高二上·北京·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，
离心率为√2
2 ．直线l过点F且不垂直于坐标轴，l与C有两个交点A ,B，线段AB的中点为M．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)若点P是椭圆C上一动点，当直线l的斜率为1时，求△ABP面积的最大值．
难点：数形结合的运用
示例1：（22-23 高二上·广东深圳·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√2
2 ，且过点
A(
√2
2 , √3
2 )．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否
存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
4
【题型1：直线与圆锥曲线的交点】
例1．（22-23 高二·全国·课堂例题）已知双曲线C : x
2
4 −y
2
3 =1，直线l: x−2 y +2=0，求直线l 与双
曲线C 的公共点的坐标．
变式1．（22-23 高二·全国·课堂例题）判断直线l: y = x +1与双曲线C : x
2−y
2=1是否有公共点．如果
有，求出公共点的坐标．
变式2.（24-25 高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的
左、右焦点分别为F1, F2，离心率为1
2，长轴长为4.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1作直线
P F1的垂线l1，过点F2作直线P F2的垂线l2．
(1)求椭圆E 的标准方程：
(2)若P F2⊥F1 F2,l1与椭圆E 的相交于M , N两点，求MN的长度；
(3)若直线l1,l2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
变式3．（24-25 高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线M是平面内到(1,0)和(−1,0)的距离之和为4 的
点的轨迹.
(1)求曲线M的方程；
(2)过点F (1,0)作斜率不为0 的直线l交曲线M于A，B 两点，交直线x = 4于点P，过点P作y轴的垂线，垂
足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标.
变式4.（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线y = x +m与椭圆x
2
4 + y
2=1.
(1)若它们有两个公共点，求m的取值范围；
(2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标.
变式5．（23-24 高二上·天津·期末）已知㭻圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）经过点A (−2,0)，离心率为1
2
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线AP与椭圆C交于点P（异于顶点）与y轴交于点M，点F为椭圆的右焦点，O为坐标原点，
MF ⊥OP，求直线AP的方程.
5
变式6．（23-24 高二上·全国·课后作业）如图，已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率e =√2，
顶点为A1(−2,0)和A2(2,0)，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线P A1, P A2的斜率分别为k1,k2，证明：k1⋅k2=1；
(3)若△P A1 A2的最大内角为120°，求点P 的坐标．
变式7．（22-23 高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线l与抛物线E: y
2=2 x相切，且切点为B(2,2).
(1)求直线l的斜率k1的值；
(2)如图，M，N 是x轴上两个不同的动点，且满足|BM |=|BN |，直线BM，BN 与抛物线E的另一个交点
分别是P，Q，若直线PQ 的斜率为k2，求k2的值.
变式8．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线E: y
2=2 px( p>0)的焦点为F，O 为坐标原
点，M 为抛物线上一点，且|MF|=3|OF|，△MFO的面积为9√2
4
.
(1)求E 的方程;
(2)若不过点F 的直线l 与E 交于A，B 两点，△ABF的重心在直线y =2上，且|AF|+|BF|=13.则满足条件
的直线l 是否存在，若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【方法技巧与总结】直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的
6
方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。
【题型2：直线与圆锥曲线的位置关系】
例2．（23-24 高二上·山东泰安·期末）已知直线l: y =−x
2 +m与曲线C : y = 1
2 √|4−x
2|恰有三个不同交
点，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−√2,0)∪(0,√2)
B．[1,√2)
C．(0,√2)
D．(1,√2)
变式1．（多选）（23-24 高二上·广东东莞·期末）已知曲线C：x|x|+ 4 y|y|= 4，则（ ）
A．曲线C 在第一象限为椭圆的一部分
B．曲线C 在第二象限为双曲线的一部分
C．直线y =−1
2 x +1与曲线C 有两个交点
D．直线y =−√2
2 x +1与曲线C 有三个交点
变式2．（多选）（23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知F1
，F2
分别是双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0
，b>0）的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点．若|P F1|=2|P F2|，且△P F1 F2
的最小内
角为30°，则（ ）
A．双曲线的离心率为√3 B．双曲线的渐近线方程为y =± x
C．∠PA F2= 45°
D．直线x +2 y −2=0与双曲线有两个公共点
变式3．(多选)（23-24 高二上·广东·期末）已知直线l: y =k (x +2)，双曲线C : x
2−y
2=1，则
（ ）
A．当k =1时，l与C只有一个交点
B．当k =−1时，l与C只有一个交点
C．当k = 1
2
时，l与C的左支有两个交点
D．当k =2时，l与C的左支有两个交点
变式4．（2023 高三·全国·专题练习）已知直线y =(a+1)x−1与曲线y
2=ax恰有一个公共点，则实数
a 的值为
.
变式5．（2024 高三下·全国·专题练习）已知点M ( x0, y0)为椭圆C : x
2
2 + y
2=1上任意一点，直线
l: x0 x +2 y0 y =2，点F 为椭圆C 的左焦点．
(1)求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C 相切；
7
变式6．（23-24 高二上·福建泉州·期末）已知椭圆C : x
2
4 + y
2=1与x轴交于A ,B两点，点M为椭圆上不
同于A ,B的点.
(1)若直线MA , MB的斜率分别为k1,k2
，求|k1−k2|的最小值；
(2)已知直线l: x =t(|t|>2)，直线MA , MB分别交l于P、Q 两点，N为PQ 中点．试判断直线MN 与C的位置
关系．
变式7．（23-24 高二上·浙江台州·期末）如图，圆C的半径为4，A是圆内一个定点且|CA|=2，P是
圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，点P在圆上运动.
(1)求点Q的轨迹；
(2)当CP⊥CA时，证明：直线l与点Q形成的轨迹相切.
变式8．（23-24 高二上·安徽·期末）已知抛物线C1：y
2= 4 x及抛物线C2：y
2=2 px（p>0），过C2的
焦点F 的直线与C1交于A1，B1两点，与C2交于A2，B2两点，O 为坐标原点，O A1⊥O B1．
(1)求C2的方程．
(2)过A2B2的中点M 作C2的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：|F A2||F B2|
|FN|
2
为定值；
（ⅱ）判断直线A2 N与C1的公共点个数．
【方法技巧与总结】直线y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y 得一元二次方程．
当Δ>0 时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0 时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0 时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型3：圆锥曲线的切线方程】
例3．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，原点为O，动点P在直线
8
y = 1
2 x上运动，且在椭圆E外，过点P的直线与E分别相切于A ,B两点，则k AB= ．
变式1．（22-23 高二上·云南楚雄·期末）若直线l与单位圆（圆心在原点）和曲线x
2
4 −y
2
8 =1均相切，
则直线l的一个方程可以是
变式2．（2022 高三·全国·专题练习）已知椭圆x
2
25 + y
2
9 =1与双曲线C : x
2
m
2 −y
2
n
2 =1(m>0,n>0)有公共
焦点F1, F2，点P(4 , 9
5)在双曲线C上，则该双曲线在点P处的切线的斜率为 ．
变式3．（22-23 高三上·浙江·阶段练习）若直线l与单位圆和曲线x
2
16 −y
2
4 =1均相切，则直线l的方程可
以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
变式4．（23-24 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知抛物线C：y
2= 4 x的焦点为F，过点F的直线与抛物
线C相交于A，B两点，O为坐标原点，G为△OAB的重心，则|GF|的最小值为
.
变式5．（23-24 高二下·河南开封·期末）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是F1(−2,0)，F2(2,0)，且经
过点P(
5
2 , 3
2)．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 与P F2平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．
变式6．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）过点A (0,2)作两条直线l1，l2，分别与椭圆x
2
4 + y
2
3 =1相
切于点M，N．点B，C分别在直线l1，l2上，且满足直线BC与椭圆相切于点Q．
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求证：三条直线AQ，BN，CM相交于同一点．
变式7．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆Γ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作x
轴的垂线交椭圆Γ于点P(1, 3
2 )．过点P作椭圆Γ的切线，交x轴于点Q．
(1)求点Q的坐标；
(2)过点Q的直线（非x轴）交椭圆Γ于A、B两点，过点A作x轴的垂线与直线BP交于点D，求证：线段
AD的中点在定直线上．
9
变式8．（23-24 高二上·山东青岛·期末）已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)，点E (0,3)，过抛物线C的焦
点且平行于x轴的直线l与圆E相切，与C交与P ,Q两点，|PQ|= 4.
(1)求C和圆E的方程；
(2)过C上一点A作圆E的两条切线AM , AN分别与C交于M ､N两点，判断直线MN与圆E的位置关系，
并说明理由.
【方法技巧与总结】
1.过圆(x−a)
2+( y −b)
2=r
2上一点(x0, y0)的切线方程为：(x0−a)(x −a)+( y −b)( y0−b)=r
2，
2.过圆(x−a)
2+( y −b)
2=r
2外一点(x0, y0)的切点弦方程为：(x0−a)(x −a)+( y −b)( y0−b)=r
2.
3.过椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1上一点P(x0, y0)的切线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，
4.过双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1上一点P(x0, y0)的切线方程为x0 x
a
2 −y0 y
b
2 =1
5.抛物线y
2=2 px ( p≠0)在其上一点(x0, y0)的切线方程为y0 y = p(x0+ x)，再应用此方程时，首先应证明
直线y0 y = p(x0+ x)与抛物线y
2=2 px ( p≠0)相切.
【题型4：圆锥曲线弦长问题】
例4．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线C : x
2
3 −y
2=1，直线l: y = x +m被C所截得的弦长
为4√6，则m= ．
变式1．（24-25 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线y =−x +1与椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)相交于
A ,B两点.
10
(1)若椭圆的离心率为√3
3
，焦距为2，求线段AB的长；
(2)若⃗OA ⊥⃗OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[
1
3 , √3
2 ]
时，求椭圆的长轴长的最大值.
变式2．（24-25 高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率是√3
2 ，椭圆
C的一个顶点为(2,0)，直线l: y =k( x +1)(k >0)与椭圆C相交于A( x1, y1),B( x2, y2)两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段AB的中点的横坐标为−1
2 ，求直线l的斜率以及弦长|AB|
变式3．（23-24 高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为M，
O 为坐标原点，A，B 为椭圆C上不同的两点，且当A ,O ,B三点共线时，直线MA , MB的斜率之积为−1
4
(1)求椭圆C的方程；
(2)若△OAB的面积为1，求|OA|
2+|OB|
2的值.
变式4．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）设椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
．点P(a,b)满足|P F2|=|F1 F2|．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线P F2
与椭圆相交于A ,B两点，若直线P F2
与圆( x +1)
2+( y −√3)
2=16相交于M，N两点，且
|MN|= 5
8|AB|，求直线AB的方程和椭圆的方程．
变式5．（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）已知双曲线C：x
2
4 −y
2=1的右顶点为M，过点P(2,1)的
直线l 交双曲线C 于A，B 两点，设直线MA 的斜率为k1，直线MB 的斜率为k2.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)证明：k1+ k2为定值，并求出该定值；
11
(3)求1
|PA|+
1
|PB|的最大值.
变式6．（23-24 高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点A (−2,0),B (2,0)，动点
M (x , y)满足直线AM与BM的斜率之积为3
4
，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线：
(2)若直线l: y = x−3和曲线C相交于E , F两点，求|EF|.
变式7．（23-24 高二上·上海·期末）已知双曲线E：x
2
4 −y
2=1与直线l：y =kx −3相交于A、B 两点，
M 为线段AB 的中点．
(1)当k =√5时，求双曲线E 的左焦点到直线l 的距离；
(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C、D 两点，问：是否存在实数k，使得A、B 是线段CD 的两个
三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
变式8．（24-25 高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线C : x
2= 4 y，过点D(0,2)的直线l 交抛物线
于A，B 两点，抛物线在点A 处的切线为l1，在点B 处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2=−2；
(2)设线段AB 的中点为N，求MN
AB
的取值范围.
【方法技巧与总结】求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|
AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
【题型5：直线与圆锥曲线相交面积问题】
例5．（24-25 高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2，点P在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线C与椭圆x
2
4 + y
2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q (2,1)，求该双曲线的标准方程；
(2)若b=1，∠F1 P F2=π
3
，求△F1 P F2的面积．
变式1．（24-25 高二上·北京·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心
12
率√3
2
，其左右焦点分别为F1, F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为−√3
3
且过F2的直线l与椭圆C交于P ,Q两点，求△F1 PQ的面积．
变式2 ．（23-24 高二下· 福建泉州· 期末）已知抛物线E: y
2=2 px( p>0)经过点P(1,2)，直线
l: y =kx +m与E的交点为A ,B，且直线PA与PB倾斜角互补．
(1)求k的值；
(2)若m<3，求△PAB面积的最大值．
变式3．（23-24 高二下·安徽六安·期末）过抛物线C : y
2=2 px( p>0)焦点F的直线l交C于A ,B两点，
特别地，当直线l的倾斜角为π
3 时，|AB|= 16
3
.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P(−1,2)，若PA ⊥PB，求△OAB的面积（O为坐标原点）.
变式4．（23-24 高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线上一点与右焦点
F (2,0)的最短距离为√2．
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线x =ty +2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴
的上方，B与D在x轴的下方．
（ⅰ）求实数t的取值范围．
（ⅱ）设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+ S2的最大值．
变式5．（23-24 高二下·浙江温州·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为√6
2
，右顶
点为E(√2,0).A ,B为双曲线C右支上两点，且点A在第一象限，以AB为直径的圆经过点E.
13
(1)求C的方程；
(2)证明：直线AB恒过定点；
(3)若直线AB与x , y轴分别交于点M , P，且M为PA中点，求S△PBE
S△MBE
的值.
变式6．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别
为F1(−√3,0), F2(√3,0)，且椭圆经过点Q(1, √3
2 )
．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)经过点F2(√3,0)的直线l1,l2
，直线l1
与椭圆E交于A ,B两点，直线l2
与椭圆E交于C , D两点，且l1⊥l2
，求四边形ACBD面积的取值范围．
变式7．（24-25 高二上·湖南·阶段练习）在直角坐标系xOy中，点E1(−√2,0), E2(√2,0)，动点
T ( x , y)满足直线T E1与T E2的斜率之积为−1
2
．记T的轨迹为曲线Γ．
(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线；
(2)过左焦点F1且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线Γ相交于A，B两点，AB的中点为M，直线OM与曲线
Γ相交于C，D两点．求四边形ACBD面积的取值范围．
变式8．（24-25 高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆C与椭圆C1：x
2
2 + y
2=1有相同的焦点，且经过点
M(1, 3
2).
(1)求椭圆C的方程；
14
(2)椭圆C的右焦点为B，设动直线l与坐标轴不垂直，l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线BM和BN
的斜率互为相反数.
①证明：动直线l恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求△OMD面积的最大值.
【题型6：圆锥曲线通径问题】
例6．（23-24 高二下·山西运城·期中）已知F1, F2
分别是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
6 =1(a>0)的左、右焦点，过
点F1
的直线交C于A ,B两点，若|A F2|+|B F2|的最大值为8，则C的离心率为（ ）.
A．√3
3
B．√3
2
C．√6
3
D．1
2
变式1．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知O 为坐标原点，F (1,0)是椭圆M：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）
的右焦点，过点F 且与M 的长轴垂直的直线交M 于C，D 两点.若△OCD为直角三角形，则M 的长轴长为
.
变式2．（23-24 高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别
为F1
，F2
，过C 上一点M 向y 轴作垂线交另一支于N 点，若|MN|=|F1 F2|，且M F1⊥N F2
，则C 的离心
率为 ．
变式3．（23-24 高二上·广东汕头·阶段练习）求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)已知双曲线W 的中心在原点，焦点F1, F2
在坐标轴上，离心率为√2，且过点P(4 ,−√10)，求双曲线
W 的标准方程；
(2)已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为2√5
5
，过左焦点F1且垂直于x轴的直线l被椭圆E截得的线段长为
2√5
5
，求椭圆E的标准方程.
变式4．（23-24 高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1
、F2
，
15
短轴的一个端点为P，△P F1 F2内切圆的半径为b
3
，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x
轴时，|RS|=3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的
坐标；若不存在，请说明理由.
变式5．（22-23 高二上·广西贵港·期末）已知椭圆W : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，左、右焦点
分别为F1, F2，过F2且垂直于x轴的直线被椭圆W 所截得的线段长为3．
(1)求椭圆W 的方程；
(2)直线y =kx(k ≠0)与椭圆W 交于A ,B两点，射线A F1交椭圆W 于点C，若S△ABC = 24
13
，求直线AC的方
程．
变式6．（23-24 高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左顶点为A(−2,0)
，不与x 轴平行的直线l 过C 的右焦点F 且与C 交于M，N 两点.当直线l 垂直于x 轴时，|MN|=12.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线AM，AN分别交直线x =1于P，Q 两点，求证：A，P，F，Q 四点共圆.
变式7．（21-22 高二下·江苏镇江·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C 的对称轴都是坐标
轴，且过P(2,3)点，P 到双曲线C 两焦点距离的差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)如果双曲线C 的焦点在x 轴上，直线l 经过双曲线C 的右焦点，与双曲线C 交于A，B 两点，且AB =6，
求直线l 的方程.
变式8．（2022·河南许昌·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F (√3,0)，过点F 与
x 轴垂直的直线l1与双曲线C 交于M，N 两点，且|MN|= 4.
(1)求C 的方程；
(2)过点A (0,−1)的直线l2与双曲线C 的左右两支分别交于
､
D，E 两点，与双曲线C 的两条渐近线分别交于
G，H 两点，若|GH|= λ|DE|，求实数λ的取值范围.
【方法技巧与总结】
16
1.椭圆与双曲线的半通径是b
2
a
, 通径是2b
2
a
2.过抛物线的焦点作垂直于对称轴Q 的直线与抛物线交于两点，连结这两交点的线段称为抛物线的通径,它
的长为2p,这也是抛物线标准方程中2p 的几何意义。
【题型7：定值、定点、定直线问题】
例7．（24-25 高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O 的方程为x
2+ y
2=16，与x 轴的正半轴交于点N，
过点M (3.0)作直线与圆O 交于A 、B两点．
(1)若坐标原点O 到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；
(2)如图所示，已知点P(−4，0)， 一条斜率为−1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否
存在锐角∠NPS，∠NPR，使得∠NPS+∠NPR为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
变式1．（24-25 高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√3
2 ,点P在
椭圆E上运动，且△P F1 F2面积的最大值为√3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A ,B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，直线l与直线AB平行，且与x轴，y轴分别交于点M , N，与椭
圆E相交于点C , D ,O为坐标原点.
（i）求△OCM与△ODN的面积之比；
（ii）证明：|CM |
2+| MD|
2为定值.
变式2．（24-25 高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点P(3,1)，
焦距为4√2，斜率为−1
3
的直线l与椭圆C相交于异于点P的M , N两点，且直线PM , PN均不与x轴垂直.
17
(1)求椭圆C的方程；
(2)若MN =√10，求MN的方程；
(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.
变式3．（22-23 高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e = √3
2
，且圆
x
2+ y
2=2过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为1
2
，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A (−2,1)是椭
圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为k AE，k AQ.证明：k AE+ k AQ为定值，并求出此定值.
变式4．（24-25 高二上·陕西西安·阶段练习）设动点M到定点F (3,0)的距离与它到定直线l: x = 4
3
的距
离之比为3
2
．
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点（P在x轴上方），曲线E与x轴左、右交点分别为A 、B，设
直线AP的斜率为k1
，直线BQ的斜率为k2
，试判断k1
k2
是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明
理由．
变式5．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2
，且|F1 F2|=8，过F2
作其中一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F2 M交另一条渐近线于点N，且
18
|F2 M|=|MN|．
(1)求C的方程；
(2)如图，过A (6,0)作直线l（l不与x轴重合）与曲线C的两支交于P ,Q两点，直线F1 P , F1Q与C的另一
个交点分别为S ,T，求证：直线ST经过定点．
变式6．（23-24 高二下·湖南岳阳·期末）已知平面内两个定点A(−2,0)，B(2,0)，满足直线PA与PB
的斜率之积为1
4
的动点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同两点M , N；
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线AM和AN的斜率之积为1
12
，求证：直线l过定点；
(3)若直线l与直线l1: x +2 y =0,l2: x−2 y =0分别交于R ,S，求证：| MR|=| NS|.
变式7．（23-24 高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线C : y
2=2 px经过点(1,2)．
(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线x =−1分别交直线
OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．
变式8.（23-24 高二下·广西南宁·期末）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点F 在直线l: y = x−1上．
(1)求C 的方程；
(2)过点P(0,−1)的直线交C 于M，N 两点，又点Q 在线段MN 上，且|PM|
|PN| =|QM|
|QN|，证明：点Q 在定直线
上．
【方法技巧与总结】
1.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点(x0, y0)，常利用直线的点斜式方程y −y0=k (x−x0)或截距式y =kx +b来证明.
2.直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
19
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；
②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值.
【题型8：圆锥曲线中的最值、取值范围问题】
例8．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）已知M (2,1)为椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的点，C 的焦
距为2√3．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 为椭圆C 上的动点，过点P 作圆O：x
2+ y
2=1的两条切线，切点分别为A，B，求|⃗OA +⃗OB|的取值
范围．
变式1．（24-25 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设A ,B两点的坐标分别为(−√5,0)，(√5,0)．直线
AM ,BM相交于点M，且它们的斜率之积是−1
5
．
(1)求点M的轨迹方程．
(2)若P(0,1)，在M的轨迹上任取一点Q（异于点P），求线段PQ长的最大值．
变式6．（23-24 高二上·浙江湖州·期末）设双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的右焦点为F，点O
为坐标原点，过点F 的直线l与C 的右支相交于A，B 两点．
(1)当直线l与x 轴垂直，且A ,B两点的距离等于双曲线C 的实轴长时，求双曲线C 的离心率；
(2)若双曲线C 的焦距为4，且0°<∠AOB<90°恒成立，求双曲线C 的实轴长的取值范围．
变式7．（23-24 高二上·云南大理·期末）已知M (x0, y0)是双曲线C : x
2
a
2 −y
2=1上的一点，F1, F2
分别
20
是C的左、右焦点，若|M F1|−|M F2|=2√3．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)当⃗M F1⋅⃗M F2<0时，求y0
的取值范围．
变式8．（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）已知抛物线Γ：y
2= 4 x，在Γ上有一点A位于第一象限，
设A的纵坐标为a(a>0)．
(1)若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
(2)当a= 4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
(3)直线l：x =−3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点
为Q.若在P的位置变化过程中，|HQ|>4恒成立，求a的取值范围．
【方法技巧与总结】求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理。
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解。
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆
的范围。
一、单选题
1．（23-24 高二上·安徽·期末）已知点F为抛物线y
2=2 px( p>0)的焦点，直线l: y =2 x +1与该抛物线
交于A ,B两点，点M为AB的中点，过点M向该抛物线的准线作垂线，垂足为M 1.若| M M 1|= 7
4
，则p=
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（22-23 高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若M , N是圆x
2+ y
2=r
2(r >0)上关于原点对称
的两点，点P是圆上异于M , N任意一点，则k PM ⋅k PN为定值−1．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个
21
性质：若M , N是双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>b>0)上关于原点对称的两点，点P为双曲线上异于M , N任意一
点，则k PM ⋅k PN为定值（ ）
A．−b
2
a
2
B．b
2
a
2
C．a
2
b
2
D．−a
2
b
2
3．（23-24 高二上·天津红桥·期中）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C: y
2=2 px ( p>0)交于D，E
两点，若OD⊥OE，则C 的标准方程为（ ）
A．y
2=8 x
B．y
2=2 x
C．y
2= 1
2 x
D．y
2= x
4 ．（23-24 高三上· 广东湛江· 阶段练习）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的一条渐近线方程是
y =√2 x , F1, F2
分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2
且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，
则tan∠M F1 F2=（ ）
A．√2
2
B．√2
3
C．√3
2
D．√3
3
5．（22-23 高二·全国·课堂例题）抛物线x =8 y
2的通径长为（ ）
A．8
B．4
C．1
8
D．1
4
6 ．（22-23 高二上· 黑龙江哈尔滨· 期中）直线y = 1
3(x−7
2)与双曲线x
2
9 −y
2=1交点的个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
7．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆E: x
2
9 + y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1, F2，点P为E上一
点，若P F1⊥P F2，则△F1 P F2的面积为（ ）
A．3
2
B．5
2
C．3
D．5
8．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知抛物线x
2= 4 y，P为直线y =−1上一点，过P作抛物线的两条
切线，切点分别为A ,B，则⃗PA ⋅⃗PB的值为（ ）
A．0
B．1
C．-2
D．-1
22
二、多选题
9．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的
弦，M是线段AB的中点，经过点A ,B , M作抛物线的准线l的垂线AC ,BD , MN，垂足分别是C , D , N，
其中MN交抛物线于点Q，连接QF , NF , NB , NA，则下列说法正确的是（ ）
A．|MN|= 1
2|AB|
B．FN ⊥AB
C．Q 是线段MN的一个三等分点
D．∠QFM =∠QMF
10 ．（23-24 高二下· 安徽亳州· 期中）已知双曲线C : x
2
4 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)焦距长为6 ，则
（ ）
A．b=2
B．C的离心率为3
2
C．C的渐近线为y =± √5
2 x
D．直线y = x与C相交所得弦长为2√10
11．（23-24 高二下·山西晋城·期末）已知点A (1,2)在抛物线y
2=2 px（p>0）上，F 为抛物线的焦
点，Q (−1,0)，则下列说法正确的是（ ）
A．p=2
B．点F 的坐标为(2,0)
C．直线AQ 与抛物线相切D．AF ⊥AQ
三、填空题
12．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知F (1,0)为椭圆x
2
2 + y
2
b
2 =1(b>0)的右焦点，P ,Q为椭圆上两
个动点，写出△PQF的周长的一个可能取值 ．
13 ．（24-25 高二上· 全国· 课后作业）已知O为坐标原点，直线l:kx −y −2=0交抛物线
E: x
2=2 py( p>0)于A ,B两点，P为y轴正半轴上一点，点A , P ,B的纵坐标分别为y1, y P, y2
，且
y P
2 = y1 y2
，则P的坐标为 ．
14．（23-24 高二下·北京海淀·期末）已知抛物线x
2= 4 y的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A、B两
点，若|AF|= 4|BF|，则|AF|=
.
四、解答题
23
15．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1: x
2
2 + y
2=1，椭
圆C2: x
2
4 + y
2
2 =1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A ,B两点.
(1)当直线l倾斜角为135
∘时，求直线l的方程；
(2)求证：△AOB的面积为定值.
16．（23-24 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√2
2
，F1
，F2
分
别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上任意一点，△F1 P F2面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P的直线l和圆T：x
2+ y
2=1相切，交椭圆于另一点Q，O为坐标原点，线段OP，OQ分别和圆T
交于M，N两点.若△OPQ，△OMN的面积分别记为S1
，S2
，求S1
S2
的取值范围.
17．（23-24 高二下·江西新余·期末）已知双曲线C的方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，实轴长和离心率
均为2.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)过E (0,2)且倾斜角为45
∘的直线l与双曲线C交于M , N两点，求⃗OM ⋅⃗ON的值（O为坐标原点）.
18．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知抛物线C : y
2= 4 x，焦点为F
(1)若点P 为C 上一点，且|PF|= 4，求点P 的横坐标.
(2)若斜率为2 的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，线段AB中点为M，求点M 的轨迹方程．
24
19．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）已知点E(−√3,0)，圆F :( x −√3)
2+ y
2=16，点P是圆F上
任一点，线段PE的垂直平分线交线段PF于C.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)过点Q (1,−1)的直线l与点C的轨迹相交于M , N两点，设点B (0,1)，问：直线BM，BN的斜率之和
k BM + k BN是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由.
