文档文本内容
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11.3.1 平行直线与异面直线
11.3.2 直线与平面平行
课程标准
学习目标
（1）掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直
线平行性的传递性；
（2）理解异面直线的概念并会判断两直线是否异
面；
（3）掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线
与平面的位置关系；
（4）学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三
种位置关系；
（5）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，
并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题.
（1）能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些
简单的相关问题；
（2）理解异面直线的定义，会判断两直线异面；
（3）理解空间四边形并能解决与其相关的一些问
题；
（4）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，
并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题；
（5）利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证
明空间平行问题.
知识点01 平行直线与等角定理
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1、空间平行线的传递性
（1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
（2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c.
（3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行.
2、等角定理
（1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（2）等角定理的两个推论
①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
（3）作用：判断和证明两个角相等或互补。
【即学即练1】（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）四面体ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边AB、BD、
DC、CA 的中点，若
，则
是 形
填四边形的形状
知识点02 异面直线与空间四边形
1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线.
2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。
3、空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，称为空间四边形，其中4 个点都是空
间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形
的对角线．
【即学即练2】（22-23 高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，长方体
中，给出以下判断，
其中正确的是（ ）
A．直线
与
相交 B．直线
与
是异面直线
C．直线
与
有公共点 D．
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知识点03 空间直线与平面的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
3、图形语言：
【即学即练3】（23-24 高一下·广西南宁·期中）已知直线a，b 和平面
，
，
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
知识点04 空间直线与平面的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就
与两平面的交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
【即学即练3】（23-24 高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面
内，则
B．若直线与平面
平行，则平面
内有无数条直线与平行
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
【题型一：平行线的传递性与等角定理】
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例1．（22-23 高一下·甘肃庆阳·期中）已知
，则
．
变式1-1．（23-24 高二上·上海崇明·期中）如图，已知
、
、
、
分别是空间四边形
的边
、
、
、
的中点．
（1）证明：四边形
为平行四边形；
（2）证明：
和
是异面直线．
变式1-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E，
F，G，H 分别为PA，PB，PC，PD 的中点，求证:四边形EFGH 是平行四边形.
变式1-3．（22-23 高二上·上海·月考）如图，在正方体
中，
，
分别是棱
和
的中点．
（1）求证：四边形
为平行四边形；
（2）求证：
．
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【方法技巧与总结】
1、空间两条直线平行的证明：①定义法，即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用平行线的
传递性找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
2、等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，或者这两种
情况都有可能.
【题型二：异面直线的判定问题】
例2．（22-23 高一下·福建漳州·期末）如果两条直线
与
没有公共点，那么
与
（ ）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
变式2-1．（23-24 高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱
中，
、
、
分别是
、
、
中点，则下列直线中与直线
异面的直线为（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
变式2-2．（23-24 高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列
直线中，与直线
是异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方体
，
、
、
分别为
、
、
的中点，则图中与直线
异面的直线是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判定或证明两条直线异面的思路
1、定义法：既不平行也不相交的两条直线为异面直线.
2、反证法——证明立体几何问题的一种重要方法.
3、与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
【题型三：线面平行的命题判断】
例3．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
变式3-1．（22-23 高一下·河南洛阳·期中）（多选）已知直线a，b，平面
，则下列说法错误的是
（ ）
A．
，
，则
B．
，
，则
C．a，b 异面，且
，
，
，
，则
D．
，
，则
变式3-2．（22-23 高一下·天津河东·期末）若直线a 不平行于平面
，则下列结论成立的是（ ）
A．平面
内不存在与a 平行的直线
B．平面
内所有直线与a 相交
C．平面
内所有直线与a 异面
D．直线a 与平面
至少存在一个公共点
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变式3-3．（23-24 高一下·云南大理·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面
内，则
B．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点
【方法技巧与总结】
1、在使用线面平行判定定理时，必须确保直线不在平面内；
2、在使用线面平行性质定理时，需要考虑直线与平面交线的位置关系，以及直线与平面的交线是否平行.
【题型四：利用判定定理证明线面平行】
例4．（22-23 高一下·辽宁锦州·月考）如图所示，四棱锥
的底面
是平行四边形，
分
别是
的中点.求证：
平面
.
变式4-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱
中，
分别是
，
，
的中点，
，求证：
平面
；
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变式4-2．（22-23 高一·山东济宁·月考）如图，在直三棱柱
中，已知
为
的中点. 求证：
平面
.
变式4-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台
中，
，
分别为
的中点．求证：
平面
.
【方法技巧与总结】
利用判定定理证明线面平行的步骤：
找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；
证：证明已知直线平行与找到（或作出）的直线；
结论：由判定定理得出结论。
上面的第一步“找”是证明的关键，其常用方法有利用三角形、梯形中位线的性质或利用平行四边形的性
质等。
【题型五：利用性质定理证明线线平行】
例5．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体
被一平面所截，截面
是一个平行四边形.
求证：
.
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变式5-1．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD 中，E 是棱PC 上一点，底面ABCD 是正
方形，平面ABE 与棱PD 交于点F，平面PCD 与平面PAB 交于直线l.求证：l∥EF.
变式5-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥
中底面是正方形，四条侧棱均相等，点
G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC 上共面的四点，
平面GEFH.求证：
.
变式5-3．（22-23 高二下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，
M 是PC 的中点，在DM 上取一点G，过G 和AP 作平面交平面BDM 于HG，求证：
．
【方法技巧与总结】
应用线面平行的性质定理的关键点
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应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还
可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的
直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.
【题型六：线面平行中的动点探究问题】
例6．（22-23 高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB 为底面圆的直径，点M，C 为底面
圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面
，使
，设
与SM 交于点N，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（22-23 高一下·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
分
别为线段
上一点，若
，且
平面
，则
.
变式6-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，已知E，F 分别是菱形ABCD 的边BC，CD 的中点，EF
与AC 交于点O，点P 在平面ABCD 外，M 是线段PA 上一动点，若
平面MEF，试确定点M 的位置．
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变式6-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）在如图所示的圆柱中，
分别是下底面圆
，上底面圆
的直径，
是圆柱的母线，
为圆
上一点，
为
上一点，且
平面
.
求证：
.
【方法技巧与总结】
探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要自己去探索，结合已知条件，进行
观察、分析、比较和概括得出结论。常见的动点位置有中点、三等分点等，可以先假设存在，在进行推理
论证。
一、单选题
1．（23-24 高一下·广西南宁·月考）若
是异面直线，且
平面
，那么
与平面
的位置关系是
（ ）
A．
B．
与
相交
C．
D．以上三种情况都有可能
2．（22-23 高一下·天津·期中）已知
，
为直线，
为平面，若
，
，则
与
的位置关系是
（ ）
A．平行
B．相交或异面
C．异面
D．平行或异面
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3．（22-23 高一下·吉林辽源·月考）已知空间中两个角
，
的两边对应平行，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
4．（22-23 高一下·湖南益阳·期中）直线a∥平面α，P∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α 内
B．有无数条，不一定在平面α 内
C．只有一条，且在平面α 内
D．有无数条，一定在平面α 内
5．（22-23 高一下·海南海口·期中）已知a，b 为不同的两条直线，α，β 为不同的两个平面，则
的一
个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
且
D．
，
，
6．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知正方体
的棱
的中点分别
，则下列直线中，与平面
和平面
的交线平行的直线（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）如图所示，棱柱
的侧面
是矩形，D 是
上的动
点，若
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形
中、点
、
分别是边
、
上的点，
、
分别是边
、
上的点，
，
，则下列关于直线
，
的位置关系判断正
确的是（ ）
A．
与
互相平行
B．
与
是异面直线
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C．
与
相交，其交点在直线
上
D．
与
相交，且交点在直线
上
二、多选题
9．（22-23 高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一平面的两个平面平行
10．（22-23 高一下·安徽滁州·月考）
表示不同的点，
表示不同的直线，
表示不同的平面，
下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（22-23 高一下·河南郑州·月考）下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别
为其所在棱的中点，能得出
平面MNP 的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（22-23 高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关
系为 .
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13．（22-23 高一下·四川成都·月考）已知a，b 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，则“
”是“
”的 条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充
要”、“不充分也不必要”）
14．（22-23 高一下·江苏泰州·月考）正方体
的棱长是
，其中
是
中点，
是
中
点，则过点
的截面面积是 ．
四、解答题
15．（22-23 高一下·新疆·期末）如图，空间四边形ABCD 中，
分别是
的中点.求证：
四边形
是平行四边形.
16．（20-21 高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，BC∥平面PAD，
，E 是PD
的中点．
（1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB．
17．（22-23 高一下·云南曲靖·月考）如图，已知
平面
，
平面
，
是边长为2 的
正三角形，
是
的中点，且
.
（1）求证：
平面
； （2）求三棱锥
的体积.
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18．（22-23 高一下·河南·月考）如图，直四棱柱
的底面为平行四边形，E 为
与
的
交点．
（1）证明：
平面ACE；
（2）设底面ABCD 是边长为2 的正方形，若三棱锥
的体积为2，求棱
的长．
19．（22-23 高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体
中，
分别是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）棱
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
