第五章 统计与概率单元复习
教学目标
1．能根据总体特征选择抽样方法，完成基础数据收集。
2．会计算数字特征，能从各类统计图中提取关键信息。
3．能区分事件关系，掌握古典概型概率计算方法。
4．会运用独立事件公式，解决简单概率实际问题。
教学重难点
重点：统计：简单随机抽样、分层抽样的选择与应用；数字特征（众数、中位数等）
计算；统计图（频率分布直方图、茎叶图等）信息提取。
概率：事件的互斥、对立、独立关系；古典概型判定与概率计算；独立事件概率公式
应用。
难点：分层抽样比例计算；频率分布直方图中“频率=纵坐标×组距”的理解。
互斥与对立、独立事件的概念区分；古典概型样本点准确计数。
知识点01 数据的收集
1.简单随机抽样
定义
设一个总体含有
个个体，从中逐个不放回抽取
个个体作为样本(
)，如果每
次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽
样
方法
抽签法
把总体中的
个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，
每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本
随机数法
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样
抽签法
与随机
数法
相同点
①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；
②都是从总体中逐个不放回地进行抽取
不同点
①抽签法比随机数法操作简单；
②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况
利用随机数法抽取个体时的注意事项：
①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．
②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三
位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
2.分层抽样
①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，
将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
【即学即练】
1．为了了解某地区5000 名小学生的体育素质情况，从中抽取了500 名小学生进行测试，该地区每位小学
生被抽到的可能性为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为
,
故选：A
2．某单位老年、中年、青年员工分别有80 人、100 人、120 人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上
述员工中抽取30 人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 .
【答案】
【详解】由分层抽样可知，应从青年员工中抽取的人数为
（人），
故答案为：
nn 知识点02 数字特征
①众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一
个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等
的分界线与x 轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的
横坐标之和
②极差、方差和标准差
极差：即一组数据中最大值与最小值的差．
方差：
.
标准差：
.
注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准
差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
性质
（1）若
的平均数为
，那么
的平均数为
.
（2）数据
与数据
的方差相等，即数据经过平移后方
差不变．
（3）若
的方差为s2，那么
的方差为
.
③百分位数
1.定义：一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有
的数据小于或等于这个值，
且至少有
的数据大于或等于这个值．
2.计算一组几个数据第p 百分位数的步骤
第1 步，按从小到大排列原始数据；
第2 步，计算
.
第3 步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分
位数为第i 项与第(i＋1)项数据的平均数．
3.四分位数
即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．
其中第25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位
数等．
【即学即练】
1．数据
的
分位数是（ ）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
【答案】B
【详解】由
，则
分位数是
中第5 个数值，即为5.
故选：B
2．（多选）为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6 位选手的得分分
别为：
（单位：分），则这组样本数据的（ ）
A．极差为4
B．平均数为7
C．
分位数为7.5
D．方差为5
【答案】AB
【详解】将
位选手的得分排序为
.
选项A： 极差为最大值与最小值的差，即
，该说法正确.
选项B： 得分总和为
，平均数为
，该说法正确.
选项C：
分位数的位置为
，对应排序后第个数，并非
，该说法错误.
选项D： 各得分与平均数的差的平方和为
，
所以方差为
，并非，该说法错误.
故选：AB
3．已知样本
，
，
，
，
的平均数为12，样本
，
，
，
的平均数为16，则样本
，
，
，
，
，
，
，
，
的平均数为（ ）
A．13.5
B．14
C．14.5
D．15
【答案】D
【详解】由题知：样本
，
，
，
，
的平均数为12，
故
+
+
+
+
；
样本
，
，
，
的平均数为16，
故
+
+
+
；
所以样本
，
，
，
，
，
，
，
，
的平均数为：
+
+
+
+
+
+
+
+
，
故选:D.
知识点03 统计图
1.柱形图
柱形图也称为条形图，可以形象地比较各种数据之间的数量关系。
一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比
例，柱形图的每一矩形都是等宽的。
2.折线图
一般地，如果数据随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示，当然，折线图
也可以用在其他合适的情形中。
3.扇形图
扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况，扇形图
中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比。
4.茎叶图
1、定义：将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到达
的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）.
2、一般地，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列。茎叶图也可以只表示一组数。
将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方
便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。
3、茎叶图的有点与不足：
（1）优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（2）不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。
5.频率分布直方图
1.画频率分布直方图的步骤
第1 步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
第2 步：决定组距与组数；
第3 步：将数据分组；
第4 步：列频率分布表；
第5 步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值).
2.频率分布直方图的性质
落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1.
【即学即练】
1．年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误
的是（ ）
A．2020 至2024 年第一产业增加值逐年下降
B．2020 至2024 年第二产业增加值逐年升高
C．2020 至2024 年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高
D．2020 至2024 年全省地区生产总值逐年增长
【答案】A
【详解】结合图1 和图2，计算可得2020 至2024 年第一产业增加值依次为
3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A 错误；
结合图1 和图2，计算可得2020 至2024 年第二产业增加值依次为
15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B 正确；
由图2 可知，2020 至2024 年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C 正确；
由图1 可知，2020 至2024 年全省地区生产总值逐年增长，故D 正确.
故选：A.
2．（多选）为了解某市家庭用水量的情况，该市统计局调查了100 户居民的月均用水量（单位：吨），将
数据按照
，
，
，
分成9 组，制成如下频率分布直方图，则（ ）
A．调查的100 户居民的月均用水量的极差是4.5
B．调查的100 户居民中有24 户的月均用水量介于3 至4.5 之间
C．估计该市居民用户的月均用水量不低于1.5 的比率为73%
D．估计该市居民用户月均用水量的中位数介于
之间
【答案】CD
【详解】对于A，因为频率分布直方图丢失了原始数据，所以不能断定调查的100 户居民的月均用水量的
极差是4.5，故A 错误；
对于B，用水量介于3 至4.5 之间的频率为：
，则应有
户介于3 至4.5 之间，故B 错误；
对于C，不低于1.5 的比率为：
，故C 正确；
对于D，由图可得
，
前3 个矩形对应频率之和为：
，前4 个矩形对应频率之和为：
，前5 个矩形对应频率之和为：
则该市居民用户月均用水量的中位数介于
之间，故D 正确.
故选：CD
知识点04 有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母
表示.
随机试验具有以下特点:
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.试验的样本点和样本空间
项目
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验
的每个可能的基本结果称为样本点
用
表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验
的样本空间
用
表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有
个可能结果
则称样本空间
为有限样本空间
3.三种事件的定义
随机事件
我们将样本空间
的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称
为基本事件.随机事件一般用大写字母
表示.在每次试验中,当且仅当
中
某个样本点出现时,称为事件
发生
必然事件
作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以
总会发生,我们称
为必然事件
不可能事件
空集
不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称
为不可能事件
【即学即练】
1．甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点总数；
(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点．
【答案】(1)
(2)6
(3)事件“甲、乙相邻”包含4 个样本点：
，
，
，
．事件“甲在乙的左边（不一定相
邻）”包含3 个样本点：
，
，
【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为
，
其中第1 个数表示甲坐的位置号，第2 个数表示乙坐的位置号．
（2）由（1）知这个试验的样本点总数是6．
（3）由（1）知，
事件“甲、乙相邻”包含4 个样本点：
，
，
，
．
事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3 个样本点：
，
，
．
2．给出关于满足
是
的真子集的非空集合A、B 的四个命题：
①若任取
，则
是必然现象； ②若任取
，则
是不可能现象；
③若任取
，则
是随机现象； ④若任取
，则
是必然现象．
其中正确的命题有 个．
【答案】3
【详解】因为集合
是集合
的真子集，所以集合
中的元素都在集合
中，集合
中存在元素不是集合
中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合
中的任何一个元素都是集合
中的元素，任取
，则
是必然现象，故①正确；
对于②：任取
，则
是随机现象，故②不正确；
对于③：因为集合
是集合
的真子集，集合
中存在元素不是集合
中的元素，集合
中也存在集合
中的元素，所以任取
，则
是随机现象，故③正确；
对于④：因为集合
中的任何一个元素都是集合
中的元素，任取
，则
是必然现象，故④正确；
所以①③④正确.
故答案为：3.
知识点05 事件的关系和运算
1.事件的包含关系
定义
一般地,若事件
发生,则事件
一定发生,我们就称事件
包含事件
(或事件
包含于事件
)
含义
发生导致
发生
符号表示
(或
)
图形表示
特殊情况
如果事件
包含事件
,事件
也包含事件
,即
且
,则
称事件
与事件
相等,记作
2.并事件(或和事件)
定义
一般地,事件
与事件
至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件
中,或者在事件
中,我们称这个事件为事件
与事件
的并事件(或和事件)
含义
与
至少有一个发生
符号表示
(或
)
图形表示
3.交事件(或积事件)
定义
一般地,事件
与事件
同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件
中,也在事件
中,我们称这样的一个事件为事件
与事件
的交事件(或积
事件)
含义
与
同时发生
符号表示
(或
)
图形表示
4.互斥事件(或互不相容事件)
定义
一般地,如果事件
与事件
不能同时发生,也就是说
是一个不可能事件,
即
,则称事件
与事件
互斥(或互不相容)
含义
与
不能同时发生
符号表示
图形表示
5.对立事件
定义
一般地,如果事件
和事件
在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事
件
与事件
互为对立.事件
的对立事件记为
含义
与
有且仅有一个发生
符号表示
,
图形表示
【即学即练】
1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“点数不小于2”，
“点数大于2”，
“点
数大于4”，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是
，
，
.
显然
，故A 正确；
，故B 正确；
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：D
2．（多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都没有中靶
【答案】ABC
【详解】设事件
“第一次射击中靶”，
“第二次射击中靶”，
“至少一次中靶”
则事件
至少一次中靶包含：
，
对于A，至多一次中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于B，两次都中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于C，只有一次中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于D，两次都没有中靶包含
，所以与事件
对立.
故选：ABC.
知识点06 古典概型
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件
的概率用
表示.
2.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能
性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.古典概型概率公式
一般地,设试验
是古典概型,样本空间
包含
个样本点,事件
包含其中的
个样本点,则定义事件
的
概率
，其中,
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数.
4.概率的基本性质
一般地,概率具有如下性质:
性质1:对任意的事件
,都有
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即
.
性质3:如果事件
与事件
互斥,那么
如果事件
两两互斥,那么事件
发生的概率等于这
个事件分别发生的
概率之和,即
性质4:如果事件
和事件
互为对立事件,那么
性质5:如果
,那么
.
性质6:设
是一个随机试验中的两个事件,我们有
【即学即练】
1．（多选）甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，
已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．甲去云台山的概率为
B．甲、乙两人都去云台山的概率为
C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
【答案】AC
【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为
，
依题意可知样本空间为：
，
共含有16 个样本点.
甲去云台山的情况为
，
样本点有4 个，概率为
，故A 正确；
甲、乙两人都去云台山的情况为
，
样本点有1 个，概率为
，故B 错误；
甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为
，
样本点有6 个，概率为
，故C 正确；
甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为
，
样本点有7 个，概率为
，故D 错误.
故选：AC．
2．袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出2 个球，
则两次都摸到黄球的概率是 ．
【答案】
/0.3
【详解】袋子的5 个大小质地完全相同的球中，记红球为1,2，黄球为3,4,5，
从中不放回地依次随机摸出2 个球，有
,共20 个,
其中摸出的2 个球都是黄球的基本事件有
，共
个，
所以摸出的2 个球都是黄球的概率为
.
故答案为：
知识点07 相互独立
对任意两个事件
与
,如果
成立,则称事件A 与事件B 相互独立,简称为独立.
（1）如果
与
相互独立,则
与
，
与
，
与
也相互独立.
（2）与相互独立事件
有关的概率的计算公式如下表:
事件
相互独立
概率计算公式
同时发生
同时不发生
至少有一个不发
生
至少有一个发生
恰有一个发生
【即学即练】
1．（多选）不透明的袋中装有个大小质地完全相同的小球，其中个红球、
个白球，从袋中一次性取
出
个球，记事件
“两球同色”，事件
“两球异色”，事件
“至少有一红球"，则（ ）
A．
B．
C．事件
与事件
是对立事件
D．事件
与事件
不是相互独立事件
【答案】BCD
【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2 个球的样本空间含10 个样本点，
随机事件
包含的样本点的个数为4，所以
，A 错误；
对于B，随机事件
包含的样本点的个数为9，所以
，B 正确；
对于C，事件
与事件
不可能同时发生，所以事件
与事件
为互斥事件，
又
，即事件
为必然事件，所以事件
与事件
是对立事件，C 正确；
对于D，随机事件
包含的样本点的个数为6，所以
，
随机事件
为不可能事件，所以
，所以
，
所以事件
与事件
不是相互独立事件，D 正确．
故选：BCD．
2．有4 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球．
(1)写出这个试验的一个等可能的样本空间
；
(2)事件A 表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B 表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A
和事件B 是否相互独立，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)相互独立，理由见解析.
【分析】
【详解】（1）依题意，样本空间为
（2）事件A 和事件B 相互独立，理由如下：
因为
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
因为
，所以事件A 和事件B 相互独立.
题型01 数据的收集
例1．用抽签法从学号为1 到50 的50 名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5 名学生进行问卷调查，每
次抽取一个号码，共抽取5 次，设李华第一次被抽到的概率为
，第五次被抽到的概率为
，则
（ ）
A．a =
，
B．a =
，
C．a =
，
D．a
=
，
【答案】B
【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为
，
第五次被抽到的可能性为
.
即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是
，所以
，
.
故选：B.
变式1-1．（多选）下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是（ ）
A．总体编号为1~75，随机依次选出编号范围内的10 个数作为抽中的编号
B．总体编号为1~75，在0~99 之间产生随机整数r，若
或
，则舍弃，重新抽取
C．总体编号为1~75，在0~99 之间产生随机整数r，r 除以75 的余数作为抽中的编号，若余数为0，则
抽中75
D．总体编号为6001~6879，在1~879 之间产生随机整数r，把
作为抽中的编号
【答案】ABD
【详解】A：因为总体编号为
，且随机依次选出编号范围内的10 个数，
所以每个数被抽中是等可能的，所以是简单随机抽样，对；
B：总体编号为
，在
之间产生随机整数，若
或
则舍弃，重新抽取，
则每个编号均可能被抽中，且每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对；
C：总体编号为
，在
之间产生随机整数，除以75 的余数作为抽中的编号，若余数为0，则
抽中75，
因为
号与
号被抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，错；
D：总体编号为
，在
之间产生随机整数，把
作为抽中的编号，
则每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对.
故选：ABD
变式1-2．某校从500 名同学中用随机数法抽取30 人参加这一项调查．将这500 名同学编号为001，
002，…500，假设从第1 行第4 列的数字开始，则第5 个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331
B．047
C．455
D．447
【答案】B
【详解】由题知，选取的前几个同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047，
剔除重复数据175 和超过500 的数据572、608，
所以符合条件的前5 个数据是442，175，455，331，047，所以第5 个是047.
故选：B
变式1-3．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（ ）
A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5 分钟后
回收；
B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1 的听众进行提问；
C．一车间主任从堆放的100 件产品中抽取了摆放在最上面的10 件产品进行检查；
D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5 个工号牌．
【答案】D
【详解】对于A 项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A 项错误；
对于B 项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B 项错误；
对于C 项，抽取的产品不具有代表性，故C 项错误；
对于D 项，符合简单随机抽样的定义，故D 项正确．
题型02 分层抽样
例2．某高中三个年级共有学生1200 人，其中高一500 人，高二400 人，高三300 人，该校为了解学生睡
眠情况，准备从全校学生中抽取60 人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二
年级应抽取的人数是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
【答案】A
【详解】依题意，高二年级应抽取的人数是：
人.
故选：A
变式2-1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（ ）
A．从10 名同学中抽取3 人参加座谈会
B．红星中学共有学生1600 名，其中男生840 名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容
量为200 的样本
C．从1000 名工人中，抽取100 人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【答案】B
【详解】A 中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；
C 和D 中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样；
B 中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．
故选：B.
变式2-2．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力
度.已知某社区共有居民480 人，其中老年人200 人，中年人200 人，青少年80 人，若按年龄进行分层随机
抽样，共抽取36 人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A．6 人
B．9 人
C．12 人
D．18 人
【答案】B
【详解】设中年人抽取
人，青少年抽取
人，由分层随机抽样可知
，
解得
，故中年人比青少年多9 人.
故选:B.
变式2-3．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从
岁，
岁，
岁，
岁四个
年龄段回收的问卷依次为：120 份，180 份，240 份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段同比例
分层抽取容量为300 的样本，其中在
岁学生问卷中抽取60 份，则在
岁学生中抽取的问卷份数
为 ．
【答案】120
【详解】因为
岁回收180 份，其中在11～12 岁学生问卷中抽取60 份，则抽样比为
．
又因为从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300 的样本，
所以从
岁，
岁，
岁，
岁四个年龄段回收的问卷总数为
份，
则
岁回收问卷份数为
份．
所以在
岁学生中抽取的问卷份数为
份．
故答案为：120.
题型03 统计图的分析
例3．2024 年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性
指标都稳步提升.2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图所示，则（
）
A．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长
B．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25 百分位数为24393 亿元
C．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为
D．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）（多选）经费支出增长速度的平均数超过
【答案】ACD
【详解】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长，A 正确.
至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25 百分位数为27956 亿元，
B 错误.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为
，C 正
确.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数为
，D 正确.
故选：ACD.
变式3-1．（多选）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设
计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户
数量（单位：亿人次，数据为年末数据），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法
正确的是（ ）
A．2016 年至2023 年，知识付费用户数量逐年增加
B．2017 年至2023 年，知识付费用户数量逐年增加量2018 年最多
C．2017 年至2023 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2023 年知识付费用户数量超过2016 年知识付费用户数量的10 倍
【答案】AB
【详解】对于A，由图可知，2016 年至2023 年，知识付费用户数量逐年增加，故A 正确．
对于B 和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2017 年，
；2018 年，
；2019 年，
；2020 年，
；2021 年，
；
2022 年，
；2023 年：
．则知识付费用户数量逐年增加量2018 年最多，知
识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 正确，C 错误．
对于D，由
，则2023 年知识付费用户数量未超过2016 年知识付费用户数量的10 倍，故D
错误．
故选：AB．
变式3-2．（多选）2024 年2 月29 日，国家统计局发布了我国2023 年国民经济和社会发展统计公报，全国
居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（
）
A．2019～2023 年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2019～2023 年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增
C．2023 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少
D．2023 年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60%
【答案】AD
【详解】A 选项：根据折线图知，2019～2023 年全国居民人均可支配收入分别为30733 元，32189 元，
35128 元，36883 元，39218 元，逐年递增，故A 正确；
B 选项：根据折线图知，2020 年、2022 年增长速度在下降，故B 错误；
C 选项：根据扇形图知，2023 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904 元，不是最少，
故C 错误；
D 选项：2023 年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比：
，故D 正确.
故选：AD.
变式3-3．某城市收集并整理了该市2023 年1 月份至10 月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，
绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根
据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
B．10 月份的最高气温不低于5 月份的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）（多选）的最大值出现在1 月份
D．最低气温低于
的月份有4 个
【答案】ABC
【详解】由该市2023 年1 月份至10 月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：
在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；
在B 中，10 月的最高气温不低于5 月的最高气温，故B 正确；
在C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1 月，故C 正确；
在D 中，最低气温低于0℃的月份有3 个，故D 错误．
故选：ABC
题型04 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
例4．四名同学各掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一
定没有出现点数6 的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4
D．中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6 时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数
6，故A 错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6 时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错
误；
对于C，若平均数为2，且出现6 点，则方差
，
则平均数为2，方差为
时，一定没有出现点数6，故C 正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3，
平均数为
，
方差为
，
可以出现点数6，故D 错误；
故选：C
变式4-1．（多选）在庆祝抗日战争胜利80 周年的演讲比赛中，共有9 位评委分别给出某选手的原始评分
（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，
得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
【答案】BCD
【详解】设9 个原始评分从低到高排列为：
.
对于A，易知7 个有效评分与9 个原始评分的中位数均为
，所以A 错误；
对于B，记7 个有效评分的平均数为
，
则9 个原始评分的平均数为
，当且仅当
时，均
分不变，所以B 正确；
对于C，去掉最大值和最小值后，剩余的7 个数据更加稳定，方差可能会变小，所以C 选项正确；
对于D，.7 个有效评分的极差为
，9 个原始评分的极差为
，不一定等于
，所以D 正确.
故选：BCD.
变式4-2．（多选）已知2019—2024 年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，
2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（ ）
A．这6 个数据的极差为5.09
B．这6 个数据的中位数为2.585
C．这6 个数据的平均数大于2
D．从2020 年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024 年
【答案】BC
【详解】对于A，这6 个数据的极差为
，故A 错误；
对于B，
，所以这6 个数据的中位数为2.585，故B 正确；
对于C，这6 个数据的平均数为
，故C 正确；
对于D，2020 到2024 年的年注册量增长率依次为
，
，
，
，
，
所以从2020 年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2021 年，故D 错误.
故选：BC.
变式4-3．（多选）为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5 个学
生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96 分错记为98 分，则与所在小组
的真实成绩相比，统计成绩的（ ）
A．平均数变小
B．平均数变大
C．中位数不变
D．众数不变
【答案】BC
【详解】对于AB，由于小星将其中一名成员的96 分错记为98 分，
则总成绩变大，从而与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的平均数变大，A 错误，B 正确；
对于CD，记录成绩为：80，86，95，98，98，真实成绩为：80，86，95，96，98，
他们的中位数都是95，记录成绩的众数是98，真实成绩无众数，C 正确，D 错误.
故选：BC
题型05 极差、方差、标准差在具体数据中的应用
例5．已知某9 个数的平均数为5，方差为
.现又加入一个新数5，此时这10 个数的平均数为
，方差为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】∵
，
∴
，解得
.
故选：B
变式5-1．若一组样本数据
，
，
，
的平均数为2，方差为4，则数据
，
，
，
，
，
，
，
的方差为 ．
【答案】14
【详解】因为数据数据
，
，
，
的平均数为2，方差为4.
所以
，即
——①
，
，
，
即
——②.
设数据
，
，
，
，
，
，
，
的平均数为
.
设数据
，
，
，
，
，
，
，
的方差为
.
.
故答案为：14.
变式5-2．已知
，
，
的平均数与方差均为3，则
，
，
的平均数为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．20
【答案】B
【详解】
，
所以
，即
，
，
的平均数为12.
故选：B.
变式5-3．在某次测验中，有6 位同学的平均成绩为75 分，且前5 位同学的成绩分别是70，76，72，70，
72．则这6 位同学成绩的标准差
．
【答案】7
【详解】前5 位同学的成绩分别是70，76，72，70，72，6 位同学的平均成绩为75 分，设第6 位学生分数
为
，
所以
，所以
，
所以方差为
，
所以标准差为
.
故答案为：7.
题型06 百分位数在具体数据中的应用
例6．样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53 的下四分位数（25%分位数）为（
）
A．32
B．33
C．48
D．49
【答案】B
【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53，
因为
，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数
.
故选：B.
变式6-1．数据3，1，1，4，5，2 的第三四分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】这组数据共6 个数，从小到大排列是
，由于
,所以第三四分位数是第个数，
即
.
故选：D
变式6-2．样本数据62，75，81，73，90，68，85，78 的上四分位数为 .
【答案】
【详解】将数据从小到大排序为：
.
上四分位数即为
分位数，
，则样本数据的
分位数为
第
个数据与第7 个数据的平均数，为：
.
故答案为：
.
变式6-3．某大学竞选学生会组织部部长的8 位同学的得分依次为92，94，90，94，96，97，93，95，则
这组数据的75%分位数为 .
【答案】95.5
【详解】将这组数据从小到大排列为：90，92，93，94，94，95，96，97，
由8×75%=6，故这组数据的75%分位数为第6 个和第7 个数的平均数，即
.
故答案为：95.5.
题型07 频率分布直方图的相关计算
例7．（多选）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100 名
学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（
）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3 小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2 小时
C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25 小时
D．估计该地初一年级学生做作业的时间的40%分位数在2.5 小时至3 小时之间
【答案】ABC
【详解】对于A，由频率分布直方图得，作业超过3 小时的频率为
，
根据频率估计概率，所以做作业的时间超过3 小时的概率估计为35%，所以A 正确；
对于B，由频率分布直方图得，作业超过2 小时的频率为
，
因为
，所以有一半以上的学生做作业的时间超过2 小时，所以B 正确；
对于C，由频率分布直方图得，做作业的时间的众数为
，所以C 正确；
对于D，由频率分布直方图得，前两个小矩形的面积和为
，
前三个小矩形的面积和为
，
所以做作业的时间的40%分位数在2 小时至2.5 小时之间，所以D 错误.
故选：ABC.
变式7-1．（多选）在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．该班数学成绩的平均分为97.5
B．该班数学成绩不低于115 分的频率为0.15
C．该班数学成绩在
内的学生比在
外的学生少
D．估计该班数学成绩的
分位数为97.5
【答案】BD
【详解】A：由图知区间
的频率值不确定，故平均分估算不出来，但众数为97.5，错误
B：该班数学成绩不低于115 分的频率为
，正确；
C：该班数学成绩在
内的频率为
，
该班数学成绩在
外的频率为
，
由于
，故该班数学成绩在
内的学生比在
外的学生多，错误；
D：该班数学成绩在
的频率为
，
该班数学成绩在
的频率为
，
故该班数学成绩的
分位数落在区间
内，设为
，
则有
，解得
，
估计该班数学成绩的
分位数为97.5，正确.
故选：BD
变式7-2．从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频
数分布表：
质量指标值
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占
全部产品的
”的规定？
【答案】(1)结果见图示
(2)平均数为100，方差为104
(3)不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的
”的规定.
【分析】
【详解】（1）频率分布直方图如图所示：
（2）质量指标值的样本平均数为
.
质量指标值的样本方差为
.
据此估计这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
（3）样本中，质量指标值不低于95 的产品所占比例为
，由于
，
故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的
”的规定.
变式7-3．南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100 个香瓜，称得其质量（单位：克）分
别在
，
，
，
，
中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：
(1)在样本中，用分层随机抽样的方法从质量在
中的香瓜中随机抽取了n 个香瓜，其中质量在
中的香瓜有6 个，求n 的值．
(2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该
种植园中大概共有香瓜20000 个，经销商提出以下两种收购方案，方案①：所有香瓜以5 元/500 克收购；
方案②：对质量低于350 克的香瓜以3 元/个收购，对质量高于或等于350 克的香瓜以5 元/个收购．请分别
计算两种方案该种植园获得的收入，并说明种植园选择哪种方案收入更多．
【答案】(1)
(2)77400 元，85200 元，种植园选择方案②收入更多
【分析】
【详解】（1）由分层随机抽样，知
，所以
．
（2）按照方案①：由题意可知20000 个香瓜中，
200 克的有
（个），300 克的有
（个），
400 克的有
（个），500 克的有
（个），
600 克的有
（个），
则以5 元/500 克收购获得的收入为
77400（元）.
按照方案②：质量低于350 克的香瓜有
（个），
质量高于或等于350 克的香瓜有
（个），
则对质量低于350 克的香瓜以3 元/个收购，对质量高于或等于350 克的香瓜以5 元/个收购获得的收入为
（元）.
因为
，
所以该种植园选择方案②收入更多.
题型08 用样本平均数和样本方差估算总体
例8．一次数学测验中，将全班的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成六段：
，
，…，
，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中
的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80 百分位数（同组中数据用该组区间
中点值作代表）；
(2)全班有男生32 人，女生16 人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用
上述数据计算全班学生的平均分
，总方差
.
【答案】(1)
，众数为75，平均数为72，第80 百分位数为85
(2)平均分73，总方差26
【分析】
【详解】（1）
各组小矩形的面积之和为1，
所以
解得
.
由频率分布直方图可知：众数为75，
平均数为
.
设第80 百分位数为
，成绩在
的频率为
，
成绩在
的频率为
所以
，
，
解得
故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80 百分位数为85.
（2）依题意，得两组成绩合并后的总平均数为
，
总方差
.
故全班学生的平均分73，总方差26.
变式8-1．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的
伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1000 名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用分层随机
抽样的方法抽取100 人，已知这1000 名高二年级学生中男生有600 人，且抽取的样本中男生成绩的平均数
和方差分别为14.5cm 和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5cm 和17.64.则总体方差
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】按照分层随机抽样，设在男生女生中分别抽取
､
m 名和n 名，
则
，解得
，
由题意，男生样本的平均数为
，样本方差为
，
女生样本的平均数为
，样本方差为
，
记抽取的总样本的平均数为
，总样本的样本方差为
，
可得
，
所以
.
故选：C.
变式8-2．据统计某市学生的男女生人数比为
，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人
数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3 小时，方差为2，
女生每天睡眠时长的平均数为6.8 小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为
小时，方差为 ；
参考公式：分层抽样中，假设第一层有m 个数，平均数为
，方差为
；第二层有y 个数，平均数为
，
方差为
．则样本方差
．
【答案】
【分析】
【详解】
该市学生的男女生人数比为
，
设男生人数为
，女生人数为
，
男生每天睡眠时长的平均数为7.3 小时，故
个男生睡眠时长为
小时；
女生每天睡眠时长的平均数为6.8 小时，故
个女生睡眠时长为
小时，
则该市学生每天睡眠时长的平均数为
（小时）；
由题干可得
，
，
，
，
，
，
代入公式得，
.
故答案为：
；
.
变式8-3．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均
位于区间
，从中随机取出了200 名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中
的值；
(2)根据此频率分布直方图依次求出众数、中位数、平均数、与
分位数；
(3)若样本数据在
的平均成绩
，方差
，在
的平均成绩
，方差
，求在
的平均成绩
和方差
；
【答案】(1)
(2)众数：75、中位数：75、平均数：74.5、80%分位数：86
(3)
，
【分析】
【详解】（1）根据题意可得
，解得
，
所以
的值为
.
（2）由频率分布直方图知，样本数据在
，
，
，
，
的频率分别为：
，
所以众数落在区间
内，故众数为
，
设中位数为
，则
，解得
，所以中位数为
，
由频率分布直方图知平均数为
，
设
分位数为
，则
，解得
，
所以第
分位数为86.
（3）因为
的人数为
，
的人数为
，
所以在
平均成绩为
，
在
的成绩的方差为
.
题型09 事件关系的判断
例9．某同学参加跳远测试，共有3 次机会．用事件
（
）表示随机事件“第i（
）次跳
远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
表示前两次测试成绩均及格，故A 错误；
表示后两次测试都没有及格，故B 错误；
表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C 正确；
表示三次测试成绩均不及格，故D 错误，
故选：C
变式9-1．（多选）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】CD
【详解】对于A，两个事件能同时发生，故不互斥，即
错误；
对于B，两个事件也可同时发生，故不互斥，可得
错误；
对于C、D 中两个事件是不可能同时发生的，故它们是互斥的.
故选：CD．
变式9-2．把红、蓝、黑、白
张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁
个人，每人分得张，事件“甲分得红
牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立
B．相等
C．相互独立
D．互斥但不对立
【答案】D
【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白
张，分给甲、乙、丙、丁
个人，每人一张，
则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥；
同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件，
故这两个事件不是对立事件.
故选：D.
变式9-3．掷一枚骰子，记事件
“出现奇数点”，事件
“出现4 点或5 点”，事件
“点数不超
过3”．写出事件
所包含的样本点： ，事件
所包含的样本点： ．
【答案】
【详解】由题得
，
，
，
则
，
．
故答案为：
；
题型10 简单古典概型的计算
例10．某学校有四位教师
，
，
，
，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每
位教师不能继续任教原班级，则教师
被分配到班级4 的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若每位教师不能继续任教原班级，依据教师情况去分配班级情况，
不改变教师的顺序，则有如下情况，
，
，
共9 种情况，符合条件的有3 种，设教师
被分配到班级4 的概率为
，
由古典概型公式可得
，故B 正确.
故选：B
变式10-1．从集合
中任取两个不同的数s，t，则
的概率为 .
【答案】
【详解】从集合
中任取两个不同的数
所得样本空间为
，共有6 个样本点，
记事件
“
”，则满足事件A 的样本点为
，共4 个样本点，
所以所求概率为
.
故答案为：
变式10-2．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件
表示“出现小于的偶数点”，事件
表
示“出现小于的点”，则一次试验中，事件
发生的概率为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，样本空间为
，
，
，故
，
由古典概型的概率公式可得
.
故答案为：
.
变式10-3．若以连续两次掷均匀骰子得到的点数
，作为点
的横、纵坐标，则点
在直线
上的概率为
【答案】
【详解】由题意，试验发生所包含的基本事件的个数为
个，
满足条件的是点
在直线
上有
，共有个，
所以点
在直线
上的概率为
.
故答案为：
题型11 互斥与对立计算概率
例11．袋中有12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是
，得到
黑球或黄球的概率是
，得到黄球或白球的概率是
，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少?
【答案】黑球2 个，黄球4 个，白球3 个.
【详解】记事件
“取到红球”，事件
“取到黑球”，事件
“取到黄球”，事件
“取到白
球”，且事件
两两互斥，
由概率加法公式知得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或白球的概率是
，
综上得
，解得
.
所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是
，故袋中有黑球2 个，黄球4 个，白球3 个.
变式11-1．已知某样本空间中共有18 个样本点，其中事件
有10 个样本点，事件
有8 个样本点，事件
有16 个样本点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得事件
共有
个样本点，由
有16 个样本点，
又
，故
共有
个样本点，
则
有
个样本点，故
.
故选：C.
变式11-2．已知一个古典概型的样本空间
和事件A，B，其中
，
，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：D.
变式11-3．从
这
个整数中随机选择一个数，设事件
表示“选到的数能被
整除”，事件
表示
“选到的数能被整除”，求下列事件的概率：
(1)这个数既能被
整除也能被整除；
(2)这个数能被
整除或能被整除．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）从1~20 这20 个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．
“这个数既能被2 整除也能被3 整除”即事件
，
因为1~20 这20 个整数中既能被2 整除也能被3 整除的有6，12，18，共3 个，
所以
．
（2）从1~20 这20 个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．
其中这20 个整数中能被2 整除的有10 个，能被3 整除的有6 个，
所以
．
“这个数能被2 整除或能被3 整除”即事件
，
则
．
题型12 事件独立性的判断
例12．（多选）一个正八面体，八个面分别标以数字1 到8，任意抛掷一次这个正八面体，等它停止后，
观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为
，记事件
，则下列说法正确的是（ ）
A．
相互独立
B．
相互独立
C．
相互独立
D．
【答案】BCD
【详解】由题设
，且
，
，
，
，
所以
，
所以
，
综上，
不相互独立，
、
分别相互独立，A 错，B、C、D 对，
故选：BCD
变式12-1．（多选）有6 个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球
全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编
号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至
少有一个1.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．事件A 与事件C 相互独立
C．事件A 与事件E 相互独立
D．事件A 与事件B 相互独立
【答案】ABD
【详解】根据题意，
，
，
，
，
对于A，由于是不放回的取球，则
，故A 正确；
对于B，因为
，所以事件
与
相互独立，故B 正确；
对于C，因为
，所以事件
与
不相互独立，故C 错误；
对于D，因为
，所以事件
与
相互独立，故D 正确.
故选：ABD.
变式12-2．（多选）有6 个相同的球，分别编号
，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放
回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字大于4；乙：第二次取球编号数字为奇数；丙：第三次取
球编号为3；丁：前两次取球编号数字和为6；戊：第一三次取球编号数字至少有一个
､
5.则下列事件与甲
事件独立的是：（ ）
A．乙
B．丙
C．丁
D．戊
【答案】AB
【详解】根据题意，
，
，
，
，
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故
错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：AB.
变式12-3．（多选）抛掷一红一白的两枚骰子，用
表示红色骰子朝上的点数，用
表示白色骰子朝上的
点数，用
表示一次实验结果．记事件
：“
”，
：“
”，
：“
”，
：“
”，则（ ）
A．事件
与
互斥
B．事件
与
对立
C．事件
与
相互独立
D．事件
与
相互独立
【答案】ACD
【详解】事件
包含的基本事件有：
，共
个基本事件，
事件
包含的基本事件有：
，共3 个基本事件，
事件
包含的基本事件有：
，共12 个基本
事件，
事件
包含的基本事件有：
，共
个基本事件，
对于A，
，事件
与
互斥，A 正确；
对于B，
，即事件
与
互斥，而事件
与
可以同时不发生，
如事件
发生，因此事件
与
不对立，B 错误；
对于C，事件
包含的基本事件有：
，共2 个基本事件，
，
，事件
与
相互独立，C 正确；
对于D，事件
包含的基本事件有
，共1 个基本事件，
，
，事件
与
相互独立，D 正确.
故选：ACD
题型13 独立事件概率的计算
例13．如图，用
三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且
、
至少有一个正常工作时，
系统正常工作.已知
正常工作的概率依次为
，则系统不能正常工作的概率为（ ）
A．0.846
B．0.154
C．0.181
D．0.504
【答案】B
【详解】系统能正常工作的概率为
，
所以系统不能正常工作的概率为
.
故选：B
变式13-1．（多选）高二五班龙哥同学早晨上学经常迟到，班级每周对他进行四次考核，若每次考核中能
够准时入校，本周通过考核，否则在本周请同学们遇到龙哥温馨提醒“龙哥早起”．已知龙哥在四次考核
中能够准时入校的概率依次是
，且各次考核互不影响，则（ ）
A．龙哥本周通过考核的概率为
B．龙哥至少能够通过两次考核的概率为
C．龙哥在本周第三次考核迟到的概率为
D．龙哥在本周前三次考核中至少有一次迟到的概率为
【答案】AD
【详解】龙哥本周通过四次考核的概率为
，故A 正确；
龙哥至少能够通过两次考核的概率为
，故B 错误；
龙哥在本周第三次考核迟到的概率为
，故C 错误；
龙哥前三次考核至少有一次迟到的概率为
，故D 正确；
故选：AD
变式13-2．射覆是汉代流行的占卜游戏，将物品藏于容器中让人猜测.《汉书·东方朔传》记载其玩法，通
过概率猜对获得奖品，与现代彩票的随机性逻辑相近.假设甲、乙、丙是汉代的三位射覆游戏参与者，且甲、
乙、丙每次进行猜测时，猜中与否是等可能的.若甲、乙、丙各猜测1 次，则这3 人中恰有1 人猜中的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设甲、乙、丙猜中分别记为事件
，
由题意得
，
所以这3 人中恰有1 人猜中的概率为
.
故选：C
变式13-3．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节
时制谜、猜谜的人众多.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10 道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8
道，乙同学猜对了6 道，丙同学猜对了
道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：设
“任选一道灯谜甲猜对”
“任选一道灯谜乙猜对”，
“任选一道灯谜丙
猜对”，
则
，
可得
，
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”
且
与
互斥，
每位同学独立竞猜，故
互相独立，则
与
与
与
均相互独立，
所以
，
所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为
.
（2）解：设事件
“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则
，
所以
，
解得
，所以实数
的值5.
一、单选题
1．某地区有大型商铺
家，中型商铺
家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一
个样本容量为
的样本，则应抽取中型商铺（ ）
A．家
B．
家
C．
家
D．
家
【答案】C
【详解】依题意，分层抽样的抽样比为
，
所以应抽取中型商铺
（家）.
故选：C.
2．从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量（单位：
）调查，将得到的数据按
分为6 组，画出的频率分布直方图如图所示，
则在被调查的用户中，月用电量落在
内的户数为（ ）
A．35
B．40
C．42
D．45
【答案】B
【详解】易知
，所以
，
即
，
而月用电量落在
内的户数为
.
故选：B
3．样本数据7，9，12，15，23，25 的第70 百分位数是（ ）
A．14
B．15
C．23
D．24
【答案】C
【详解】由题意样本数据7，9，12，15，23，25 共6 个，
因为
，所以第70 百分位数是从小到大第5 个数据23.
故选：C.
4．不透明的盒子里装有3 个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，
再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球，
共有
等6 种可能的情况；
其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有
，
故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是
，
故选：A
5．给定一个正整数
，从集合
中随机抽取一个数，记事件
表示“抽到的数为偶数”，
事件
表示“抽到的数为3 的倍数”．则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的正整数
，事件
和事件
互斥
B．存在正整数
，使得
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【详解】对于A，若抽取的数为6，则事件
同时发生，A 错误；
对于B，设
表示不超过x 的最大整数，则
，
当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
不存在正整数
，使得
，B 错误；
对于C，
时，
表示抽到的数既为偶数又是3 的倍数，
这样的数的个数为
，
而
，
故
，
，
则
，C 正确；
对于D，不妨取
，此时
，
则
不成立，D 错误，
故选：C
6．某园林公司欲从甲、乙两个苗圃中选购一种高度约为2
的风景树进行街道绿化，采购组从两个苗圃中
随机各抽取了7 株树苗，测量得到其高度（保留整数）数据如下表所示，则（ ）
甲苗圃树苗高度/
194
198
203
206
198
202
199
乙苗圃树苗高度/
196
198
201
212
199
204
197
A．甲苗圃这7 株树苗高度的极差比乙的大
B．甲苗圃这7 株树苗高度的中位数比乙的小
C．乙苗圃这7 株树苗高度的平均数比甲的大D．乙苗圃这7 株树苗高度的方差比甲的小
【答案】C
【详解】甲苗圃树苗高度从小到大排序：194，198，198，199，202，203，206，
乙苗圃树苗高度从小到大排序：196，197，198，199，201，204，212．
甲苗圃树苗高度的极差是
，乙苗圃树苗高度的极差是
，
所以，甲苗圃这7 株树苗高度的极差比乙的小，A 错误；
甲苗圃树苗高度的中位数是199，乙苗圃树苗高度的中位数是199，
所以，甲苗圃这7 株树苗高度的中位数与乙的相等，B 错误；
甲苗圃树苗高度的平均数是
，
乙苗圃树苗高度的平均数是
，
所以，乙苗圃这7 株树苗高度的平均数比甲的大，C 正确；
甲苗圃树苗高度的方差是
，
乙苗圃树苗高度的方差是
，
所以，乙苗圃这7 株树苗高度的方差比甲的大，D 错误．
故选：C.
7．羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1 分，负方得0 分，每回合由上回合的胜方发球．设
在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1 分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局
比赛中，甲先发球．则比赛进行3 个回合后，甲与乙的比分为
的概率为（ ）
A．0.144
B．0.336
C．0.304
D．0.216
【答案】B
【详解】记“第回合发球，甲胜”为事件
，且事件
相互独立．
记“3 个回合后，甲与乙比分为2 比1”为事件
，
则事件
发生表示事件
或
或
发生，且
，
，
互斥．
又
，
，
．
由互斥事件概率加法公式可得
．
综上，3 个回合后，甲与乙比分为2 比1 的概率为0.336，
故选：B．
8．甲、乙两个人玩一种游戏，他们在两张纸上各写一个数字，分别记为
，其中
必须是集合
中的元素，如果
满足
，我们就称两人是“友好对”．现在任意找两人玩这种游戏，
则他们是“友好对”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解法1：样本空间的样本点个数为36，满足要求的样本点分别为：｛
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
｝，共16 个，
所以他们是“友好对”的概率为
．
解法2：样本空间的样本点个数为36，当
或
时，满足条件
的
的取法各有2 种；
当
时，满足条件
的
的取法各有3 种，
所以满足要求的样本点共有
个，所以他们是“友好对”的概率为
，
解法3：将两人各写一个数字的事件对应到网格线的交点个数，即
，
由
可得
，因为
，
所以由图可得落在直线
或
上的点共有16 个，所以他们是“友好对”的概率为
.
故选：D．
二、多选题
9．随机地排列数字1，2，6 得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成6 个不同的三位数
B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为
D．所得的三位数大于400 的概率为
【答案】AC
【详解】随机地排列数字1，2，6 可以得到的三位数有：126，162，216，261，612，621，共6 个，故A
正确；
其中奇数有：261，621，共2 个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B 不正确；
其中偶数有：4 个，所以所得的三位数是偶数的概率为
，故C 正确；
其中大于400 的有：2 个，所以所得的三位数大于400 的概率为
，故D 不正确．
故选：AC
10．从装有除颜色外完全相同的2 个红球（编号为1，2）和2 个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依
次随机摸出2 个球，
表示事件“恰有1 个白球”，
表示事件“恰有2 个白球”，
表示事件“取到了
编号为1 的小球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件
，
互为对立事件
B．
C．
D．事件
，
为相互独立事件
【答案】BCD
【详解】因为在一次取球中，事件
与事件
不可能同时发生，
除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2 个红球”，故
和
不为对立事件，故A 错误；
因为从袋子中随机地取出2 个球，共有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，12 种情况，
事件
包含8 个基本事件，事件
包含6 个基本事件，事件
包含4 个基本事件，
则
，
，
，
所以事件
，
为相互独立事件，故BCD 正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界
支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出4 名医生，2 名护士支援湖北，现从这6 人中任选2 人定
点支援湖北某医院，则恰有1 名医生和1 名护士被选中的概率为 ．
【答案】
【详解】记这4 名医生为
,2 名护士为
,
从这6 人中任选2 人，有
,共15 种基本情况；
而恰有1 名医生和1 名护士被选中的方法数为种，
故由古典概型概率公式，可得恰有1 名医生和1 名护士被选中的概率为
.
故答案为：
.
12．某班级有30 名男生和20 名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据
的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时
长的方差
的值是 .
【答案】3
【详解】由题知，全体学生周末在家学习时长的平均数为
，
所以
.
故答案为：3.
13．2025 年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，
某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为
，乙
每轮答对的概率为
.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中
恰好答对一个问题的概率为 ；两人在两轮活动中共答对3 个问题的概率为 .
【答案】
【详解】设事件甲第轮答对为
，事件乙第轮答对为
，
，
则
相互独立，且
，
，
，
，
设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为
，
，
则
，其中事件
，
互斥，
所以
，
所以
，故乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为
，
设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为
，
，
则
，其中事件
，
互斥，
所以
，
所以
，
则
，
，
事件两人在两轮活动中共答对3 个问题可表示为
，其中事件
互斥，事件
相互独
立，事件
相互独立，
所以
，
所以两人在两轮活动中共答对3 个问题的概率为
，
故答案为：
；
.
四、解答题
14．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，
更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞
赛，从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）
分成六段：
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求样本成绩的平均数和第62 百分位数；
(2)用分层抽样的方法在分数落在
内的答卷中随机抽取一个容量为5 的样本，现将该样本看成一个总
体，再从中任取2 份，求至多有1 份答卷的分数在
内的概率．
【答案】(1)平均数为74，第62 百分位数79
(2)
.
【分析】
【详解】（1）由频率和为1 可得：
，则
；
利用中点值来计算样本成绩的平均数为：
；
前三组的频率之和为
；
前四组的频率之和为
；
所以第62 百分位数在第四组，即第62 百分位数为
；
（2）落在
内的样本容量为：
，
落在
内的样本容量为：
.
则应从
中抽2 个，从
中抽3 个.
设
中的样本为：
，
中的样本为：
.
则从中任取2 份的情况有：
，
，共10 种.
分数最多一个在
内有：
共7 种，
则至多有1 份答卷的分数在
内的概率为：
.
15．某校组织“青春筑梦，少年强国”主题演讲比赛，有7 位评委评分.其中
为第i 位评委的评分
.以下是各评委对甲选手的评分数据（单位：分）.
评
分选手
甲
83
91
76
89
81
87
90
去掉一个最高分，去掉一个最低分，把剩余评分的平均数
作为该选手的“初始成绩”，
(1)计算甲选手的“初始成绩”；
(2)为进一步保证比赛公平性，学校规定：若存在
，使得
成立，则认为评委的原始评分中存
在异常；反之，则认为不存在.请判断甲选手的7 个原始评分中是否存在异常.
【答案】(1)86 分
(2)不存在，理由见详解
【分析】
【详解】（1）由题意，
，
即甲选手的“初始成绩”为86 分；
（2）根据表格可知最大值为
，最小值
，
，
，
所以不存在
，使得
成立，
即甲选手的7 个原始评分中不存在异常.
16．鑫隆中学公认的乒乓球高手小宁、小单、小黄要进行巅峰对决，经约定，进行如下4 场比赛决定胜负
关系：
①小单、小黄两位选手进行本场比赛，败者落入败者组；
②小宁与第①场比赛的胜者比赛，败者落入败者组；
③败者组两人进行比赛，败者记为第三名；
④第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名.
已知三位选手实力不分伯仲：
(1)求小黄在第一场比赛中获胜的概率；
(2)求小单在败者组比赛中被淘汰的概率；
(3)求小宁最终获胜（即获得第一名）的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由三位选手实力不分伯仲可知，小黄在第一场比赛中获胜的概率为
.
（2）设小单在一次比赛中获胜为事件
，且
，
小单在败者组比赛中被淘汰分为两种情况：
①第一场与小黄比赛输，第二场在败者组的比赛输，即
；
②第一场与小黄比赛赢，第二场与小宁比赛输，第三场在败者组的比赛输，即
；
综上所述，小单在败者组比赛中被淘汰的概率为
.
（3）设小宁在一次比赛中获胜为事件
，且
，
小宁最终获胜的情况可分为两种情况：
①小宁第一场比赛获胜，第二场比赛也获胜，即
；
②小宁第一场比赛落败，第二场比赛获胜，第三场比赛也获胜，即
.
综上所述，小宁最终获胜的概率为
.
17．在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有
失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进
行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，
胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，
其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛
制：假设四支队伍分别为
，
，
，
，其中
对阵其他三个队伍时获胜的概率均为
，另外
三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为
，最初分组时，
，
同组，
，
同组.
(1)若
，在传统的淘汰赛赛制下，
，
获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下
获得冠军的概率（用
表示），并根据
获得冠军的概率简单分析一下双败赛制
下是否对强队更有利？
【答案】(1)
获得冠军概率为
，
获得冠军的概率为
(2)传统的淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率为
，双败赛制下，
获得冠军的概率为
，双败赛
制对强队更有利.
【分析】
【详解】（1）在传统的淘汰赛赛制下，
获得冠军：
组
获胜，再由
与
组胜者决赛并胜出，
则
获得冠军的概率为
.
依题意，
获得冠军：
组
获胜，再由
与
组胜者决赛并胜出，
则
获得冠军的概率为
.
所以在传统的淘汰赛赛制下
获得冠军概率为
，
获得冠军的概率为
.
（2）在传统的淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率为
，
在双败赛制下，讨论
进入胜者组、败者组两种情况，
当
进入胜者组，若在胜者组
失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组
胜利，
后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为
；
当
进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时
获得冠军的概率为
，
因此
获得冠军的概率为
，
，
由
，得
，
，若
为强队，则
，此时
，
即
，因此
，
获得冠军的概率更大，
若
为强队，即
时，双败赛制对强队更有利.
