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第六章 平面向量初步（高效培优单元测试卷·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知
，则与
同向的单位向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题
，则与
同向的单位向量是
，对应坐标是
.
故选：A．
2．已知
，
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】由题意得，点
为
中点，设点
，则
，解得
，
所以点
的坐标为
.
故选:B．
3．若
，
为非零向量，则“
”是“
，
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，
共线，所以充分性成立；
，
共线可能同向共线、也可能反向共线，
所以
，
共线得不出
，所以必要性不成立．
故选：A．
4．如图，在重
的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子
拉力的大小分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】解：如图所示：
设两根绳子的拉力分别为
，
.
作
，使
，
.
在
中，
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
故两根绳子拉力的大小分别为
，
.
故选：C.
5．已知平面四边形
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，垂直于
的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
因为
，
，
化简
，即
化简得
，即
所以
，即
,
故选：B.
6．若向量
、
满足
，且向量
与向量
的夹角为
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
，利用向量的加法的三角形法则得到
，从而将
的最小值问题转化为
中
的最小值问题，再借助三角函数求解即可.
【分析】
【详解】如图示，以B 为原点，
为x 轴正方向，
为y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则
，
所以
，
.
所以
，
所以
（当且仅当
时等号成立）.
所以
的最小值是6.
故选：D
8．已知O 是
内一点，
，若
与
的面积之比为
，则实数m 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，
设
，则
.
由于
，所以A，B，D 三点共线，如图所示，
∵
与
反向共线，
，∴
，∴
，
∴
.
故选：D
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知两点
，
，与
平行，且方向相反的向量
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】已知两点
，
，则
，
对于A，
，所以
符合题意，A 是；
对于B，
，所以
不符合题意，B 不是；
对于C，
，所以
不符合题意，C 不是；
对于D，
，所以
符合题意，D 是.
故选：AD.
10．如图，在
中，点
是
的上一点（不包括端点），过点
的直线分别交直线
，
于不同
的两点
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
是
的中点，则
C．若
是
的中点，则
D．若
，则
【答案】BCD
【详解】解：
，A 错误；
若
是
的中点，则
，
由
三点共线可设
，则
，
∴
，
∴
，得
，B，C 正确；
设
，则
，
∵
三点共线，∴
，得
，D 正确；
故选：BCD.
11．若正方形
，O 为
所在平面内一点，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
可以表示平面内任意一个向量
B．若
，则O 在直线BD 上
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【详解】A：由题意
，又
，以
为基底的坐标系中，
根据平面向量基本定理易知
可以表示平面内任意一个向量，对；
B：由向量共线的推论知：
，则O 在直线BD 上，对；
C：由题设
，则
，
所以
，错；
D：由
，则
，
若
为
中点，则
，即
且
，如下图示，
所以
，对.
故选：ABD
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．在
中，
为
上一点，
，
为线段
上任一点，若
，则
的最
小值是 ．
【答案】8
【详解】因为
，所以
．
因为
，
，
三点共线，所以
，
所以
．
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以
的最小值是8.
故答案为：8
13．在
中，点
满足
，当点
在线段
（不含端点
）上移动时，若
，则
．
【答案】3
【详解】如图所示，在
中，由已知
，所以
，
又点
在线段
上移动，设
，所以
，
又
，所以
，所以
，
故答案为：3．
14．如图，在
中，
为
的中点，
为
上一点，且满足
，
.
若
，则
.
【答案】
/0.4
【详解】因为
，
所以
.
设
，所以
①.
因为
为
的中点，所以
.
设
，又
，
所以
.
②
由①②可得
，解得
.
所以
，所以
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）在直角坐标系
中，向量
，
，
，
，其中
，
，
.
(1)若
，
，
三点共线，求实数
的值；
(2)若四边形
为菱形，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知得
，
，
因为
，
，
三点共线，
共线，
所以
；
（2）
,
,
由四边形
为菱形得
，即
，
即
①，
由菱形得
,
将
代入①，解得
，
所以
.
16．（15 分）如图，在四边形
中，
是
的中点.
(1)用向量
表示向量
；
(2)若
为
上一点，且
，求
的值.
【答案】(1)
；
；
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
是
的中点，由向量的线性运算法则，
可得：
，
.
（2）由
三点共线，
，
又因为
，
，所以
，
所以
由
三点共线，所以
所以
.
17．（15 分）如图所示，在
中，
是边
边上中线，
为
中点，过点
点直线交边
，
于
，
两点，设
，
，（
，
与点
，
不重合）
(1)证明：
为定值；
(2)求
的最小值，并求此时的
，
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
是边
边上中线，，所以
.
又
是
的中点，
，
所以
.
因为
三点共线，所以
且
所以
，即
为定值；
（2）由（1）
所以
，
当且仅当
,即
时，等号成立.
所以
时，
的最小值
.
18．（17 分）如图，在直角梯形
中，
//
，
，
，
为
上靠近
的
三等分点，
交
于
，
为线段
上的一个动点．
(1)用
和
表示
；
(2)设
，求
，
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
，
.
【分析】
【详解】（1）因为
为
上靠近
的三等分点，故可得
，
又
//
，且
，故
，
则
.
即
.
（2）根据题意，因为
，故以
为坐标原点，
建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
因为点
在
上运动，故可设其坐标为
，
则
，
由
可得
，
则
，因为
，则
，
故
.
19．（17 分）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步
或
，有两种路径可以
选择，如图所示：
若某点
可以表示为
（
为整数），则称
为可达点．
已知：向量的加法：
；向量的数乘：
．
(1)分析可达点
中
、
满足的函数关系，判断
是否为可达点，并说明理由．
(2)证明：若
是可达点，则
也是可达点．
(3)若某些可达点满足
，求在所有满足条件的可达点中，
最小的点及此时
的值．
【答案】(1)
，不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）
，
得
，即
．
．
即
．
所有可达点满足
．
代入点
，有
，故
不是可达点．
（2）由
为可达点可知，
．
构造：
．将
表达为
的形式，
有
，
解得
．
故
．
即仍为可达点．
（3）
．
令
，即
．
由
是整数可知，
，
即
．
不妨设
，则有
．
即
．
为使
尽可能小，即要求
尽可能大，且
，解不等式有
．
时，
．
此时点坐标为
，
最短步长为
．
