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第五章 统计与概率（高效培优单元测试卷·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知甲、乙投篮命中的概率分别为
，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1 次，则
两人共命中1 次的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设“甲投篮1 次命中”为事件A，“乙投篮1 次命中”为事件B，“甲、乙各投篮1 次，两人共命
中1 次”为事件C，
由题意
，则
，
又
，
所以
.
故选：C
2．如图是某地100 户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由频率分布直方图可得众数为
；
因中位数是频率为
时对应的样本数据，由
，而
，
故中位数在第二组，中位数为
.
故选：D.
3．如果事件A，B 互斥，且事件C，D 分别是A，B 的对立事件，那么（ ）
A．
是必然事件
B．
是必然事件
C．C 与D 一定互斥
D．C 与D 一定不互斥
【答案】B
【详解】方法一、因为事件A 与B 互斥，所以
，则
（U 为全集），所以
是必然
事件．
方法二、利用图形来看，如图所示，C 是A 的补集，D 是B 的补集，因此
是全集，故
是必然
事件．
故选：B.
4．一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为
，且
．设这组数据的平
均数为
，中位数为m．下列条件一定能使得
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令样本数据总个数为
对于A，
，A 不是；
对于B，
，B 不是；
对于C，
，C 是；
对于D，
，D 不是.
故选：C
5．随机事件A 发生的概率为
，随机事件B 发生的概率为
，则事件A，B 同时发生的概率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，由
，
得
，又
，
则当
时，
，
所以事件A，B 同时发生的概率的取值范围是
.
故选：C
6．已知集合
，
，从集合A 中任取3 个不同的元素，其中最小的元素用a 表示，
从集合B 中任取3 个不同的元素，其中最大的元素用b 表示，记
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，从集合A 中任取3 个不同的元素，有4 种可能，
分别为：
，
，
，
，其中最小的元素a 的取值分别为1，2．
从集合B 中任取3 个不同的元素，有10 种可能，分别为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中最大的元素b 的取值分别为3，4，5．
当
时，有3 种情况，此时
有3 种情况，
当
时，有6 种情况，此时
有1 种情况，
所以
有
种情况，
所以
．
故选：C
7．设
、
及
分别为某组数
的平均数、分布域（极差）及方差，而
、
及
分别为
这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（ ）
I．
II．
III．
A．只有I 及II
B．只有I 及III
C．只有II 及III
D．I、II 及III
【答案】A
【详解】假设
，
则
中，
最小，
最大，
则
，
，
，I 对；
，II 对；
，III 错，
故选：A
8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出
，2024 共2023 个正整
数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再
擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2 和3），则判甲胜；否则（如2 和4），判
乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，
注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024 中有1011 个奇数，1012 个偶数.
（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.
理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，
从而所剩两数不互质，故乙胜.
（2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.
理由如下：设裁判擦去的是
，则将余下的数配成1011 对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成：
这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲
必获胜.
甲获胜的概率为
.
故选:B.
【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是
解答此题的关键.
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知点
与点
关于点
对称，若
，
，
，
的
平均数为
，中位数为
，方差为，极差为
，则
，
，
，
这组数满足（ ）
A．平均数为
B．中位数为
C．方差为
D．极差为
【答案】BCD
【详解】因为点
与点
关于点
对称，
所以
，则
，
又
，
，
，
的平均数为
，中位数为
，方差为，极差为
，
所以
，
，
，
，
这组数的平均数为
，中位数为
，方差为
，极差为
，
故BCD 正确，A 错误.
故选：BCD
10．盒子里有2 个红球和2 个白球，从中不放回地依次取出2 个球，设事件
“两个球颜色相同”，
“第1 次取出的是红球”，
“第2 次取出的是红球”，
“两个球颜色不同”．则（ ）
A．
与
互为对立事件
B．
与
互斥
C．
与
相互独立
D．
【答案】ACD
【详解】设盒子里两个红球为
，
，两个白球为
，
，
从中不放回地依次取出2 个球，所有的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共12 个.
事件
“两个球颜色相同”，包含
，
，
，
共4 个基本事件，所以
；
“第1 次取出的是红球”，包含
，
，
，
，
，
共6 个基本事件，
所以
；
“第2 次取出的是红球”，包含
，
，
，
，
，
共6 个基本事件，
所以
；
“两个球颜色不同”，包含
，
，
，
，
，
，
，
共8 个基本事件，所以
.
因为
,故
,
对立，故A 正确；
因为事件
包含
，
2 个基本事件，所以事件
，
可以同时发生，故事件
，
不互斥，
故B 错误；
因为事件
包含
，
2 个基本事件，所以
,
又
，所以
，所以事件
，
相互独立，故C 正确；
因为
，故D 正确.
故选：ACD
11．在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立，发送0 时，收到1 的概率为
收到0 的概
率为
；发送1 时，收到0 的概率为
收到1 的概率为
．共有两种传输方案：单次传输
和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3 次．收到信号需要译码，
译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码
（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1 的概率为
C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0 和发送1 的概率都是
），则收到的译码为1 的
概率为
D．当
时，若发送0，采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
【答案】BCD
【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为
，故A 错误；
对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1 的情况分别为“
”、“
”、“
”、“
”，
则译码为1 的概率为
，故B 正确；
对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1 的概率为
，故C 正确；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0 的情况有“
”、“
”、“
”、“
”，
所以收到译码为0 的概率
；
若发送0，采用单次传输方案译码为0 的概率为
，
由
，且
，
则
，即
，故D 正确；
故选：BCD.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知一组数据
，
，
，
，
的平均数为
，则这组数据的第
百分位数为 .
【答案】
【详解】由题意可得
，解得
，
将数据排序得，
，
，
，
，
，则这组数据的第
百分位数为第
和第位数的平均数，即
.
故答案为：
.
13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学
生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12 的样本，并算得样本的平均数为
5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8 的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙
两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20 的样本，则合在一起后的样本方差为 .
【答案】12.4
【详解】甲同学抽取的样本占总样本的比例为
，
乙同学抽取的样本占总样本的比例为
，
总平均数为
，
总方差为：
，
故答案为：
14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷
次，乙掷
次
，设甲投掷出现偶数
点的次数为
，乙投掷出现奇数点的次数为
，则
.
【答案】
/
【详解】可以先考虑甲、乙各抛掷
次的情形，
①如果甲投掷出现偶数点的次数等于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为
，
则第
次甲必须再抛掷出偶数点，才能使得甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数；
②如果甲投掷出现偶数点的次数小于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为
，
则第
次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然不大于乙投掷出现奇数点的次数；
③如果甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为
，
则第
次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然大于乙投掷出现奇数点的次数；
由对称性可知
故
，而由于
，
故
.
故答案为：
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）人工智能算力是驱动
时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的
“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30 台服务器的单机均值算力数据（单位：
），数据范
围在
之间（模拟数据排序如下）．
，
．
(1)计算这组数据的极差，众数；
(2)实验室增加2 台服务器，收集算力数据分别是a 和b
，通过计算发现，平均值210 和上四分位数
都不变，求
的值；
(3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200 家，其服务器算力能力分为三类，A 类企业有80 家，其算力
均值为
类企业有80 家，其算力均值为
类企业有40 家，其算力均值为150．根据上述信息，从
总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由．
【答案】(1)极差为
，众数为220；
(2)68；
(3)答案见解析，理由见解析.
【分析】
【详解】（1）观察已知数据，得极差为
，众数为220.
（2）增加前，由
，得上四分位数为244，
增加后，
，
，
而
，记第24，25 个数为
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
因此
，所以
.
（3）由（2）知，样本数据的平均数为
，
按分层抽样算力的平均值为
，
认为符合分层抽样调查，因为分层抽样均值210，等于实验平均值210.
认为不符合分层抽样调查，因为实验具有随机性，不能说明.
16．（15 分）从某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值
分组
频数
6
26
38
22
8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保
留一位小数）；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占
全部产品的80%”的规定？
质量指标值分
组
频数
6
26
38
22
8
频率/组距
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
【答案】(1)答案见解析
(2)平均数为
，方差为
，中位数为99.7
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）
质量指标值
分组
频数
6
26
38
22
8
频率/组距
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
则频率分布直方图如下图所示：
（2）质量指标值的样本平均数为：
，
质量指标值的样本方差为：
，
∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104．
第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，
∵
，
，
∴中位数落在第三组
内，设中位数为x，
则
，解得
，
因此，中位数为99.7；
（3）质量指标值不低于95 的产品所占比例约为
，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95 的产品至少要占全部
产品的80%”的规定．
17．（15 分）每年的10 月1 日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，
即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为
，
；在第二
轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为
．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率；
(2)若甲，乙两轮都失败的概率为
，甲，乙两轮都胜出的概率为
．
①求
的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
【答案】(1)
(2)①
，
；②
【分析】
【详解】（1）根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率
，
所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率
.
（2）①记事件
为甲在第轮胜出，事件
为乙在第轮胜出，
，
由题意
相互独立，且
，
，
，
，
若甲，乙两轮都失败的概率为
，甲，乙两轮都胜出的概率为
，
则
，
，
整理得
，
所以
，
将
代入
得
，解得
或
，
当
时
；当
时
，不满足
，
综上
，
；
②甲没有两轮都胜出的概率
，
乙没有两轮都胜出的概率
，
所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率
，
所以至少有一人两轮都胜出的概率为
.
18．（17 分）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分
分）选取
名学生参加考核，考核成绩的
频率分布直方图如图所示：
(1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比
例分配），从得分在
内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于
的概率；
(2)现有体育成绩在
分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第
一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有
、
、
、
共四个等级，若两科笔试成
绩均为
，则直接参加国庆营；若一科成绩为
，另一科成绩不低于
，则要参加第二轮面试，面试通过
参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得
、
、
、
四个等级的概率
分别是
、
、
、
；乙在每科笔试中取得
、
、
、
四个等级的概率分别是
、
、
、
，甲、
乙面试通过的概率都为
，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得，
，解得
.
从得分在
内的学生中抽取人，
人中成绩不低于
分的人数为
人，记为
、
、
，
成绩低于
分的人数为
，记为
、
，
从人中抽取两人进行测试，
样本空间为
，
则
，
记“至少有一人得分不低于
分”为事件
，
则
，
即
，
因此
.
（2）记甲能参加国庆营的概率为
，乙能参加国庆营的概率为
，
由题意可得
，
，
由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立，
则甲、乙能同时参加国庆营的概率为
.
19．（17 分）甲、乙、丙3 人打台球，约定：第1 局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者
与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3 人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率
为
，每局台球的结果相互独立.
(1)求前3 局中甲、乙、丙各自轮空1 局的概率；
(2)求前4 局中甲参与了3 局的概率；
(3)求第4 局是甲、乙对打的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）若第2 局甲轮空，第3 局乙轮空，其概率为
.
若第2 局乙轮空，第3 局甲轮空，其概率为
.
故所求概率为
.
（2）分三种情况.
第一种情况：甲第2 局轮空，则其他3 局都参与了.
因为甲第2 局轮空，所以第3 局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4 局，则第3 局甲胜，
其概率为
.
第二种情况：甲第3 局轮空，则其他3 局都参与了.
因为甲第3 局轮空，所以第4 局一定有甲参与，且第2 局甲负，
其概率为
.
第三种情况：甲第4 局轮空，则其他3 局都参与了.
其概率为
.
故所求概率为
.
（3）第4 局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1 局甲胜，第2 局丙胜，第3 局乙胜.
此时第2 局为甲丙对打，第3 局为乙丙对打（甲轮空），第4 局为甲乙对打.
其概率为
. 情况二：第1 局乙胜，第2 局丙胜，第3 局甲胜.
此时第2 局为乙丙对打，第3 局为甲丙对打（乙轮空），第4 局为甲乙对打.
其概率为
.
故所求概率为
