第五章 统计与概率单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了
次试验，发现正面朝上出现了
次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
某同学用一枚质地均匀的硬币做了
次试验，发现正面朝上出现了
次，
出现正面朝上的频率为：
，
又
每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是
，
出现正面朝上的概率为：
，
出现正面朝上的频率为
，概率为
．
故选：B．
2．箱子中有大小质地完全相同的红球3 个，白球2 个，从箱子中有放回地依次取出两个球，取到两个白球
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意每次取球，取到白球的概率为
，
又从箱子中有放回地依次取出两个球，则第一次取球的结果与第二次取球的结果相互独立，
所以取到两个白球的概率
.
故选：C
3．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14 位社区居
民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题
的得分如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．讲座前问卷答题得分的中位数小于70
B．讲座后问卷答题得分的众数为90
C．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差
D．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】B
【详解】对于A：由图可知，讲座前问卷答题得分的中位数为
，故A 正确；
对于B：由图可知，讲座后问卷答题得分中，95 分出现四次，次数最多，故众数为95，即B 不正确；
对于C：由图可知，讲座前问卷答题得分比讲座后的较分散，即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得
分的方差，故C 正确；
对于D：讲座前问卷答题得分的极差大约为
，讲座后问卷答题得分的极差小于
，故
D 正确.
故选：B
4．一个不透明的袋子中装有5 个黑球和3 个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4 个
球，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的4 个球中至少有一个是白球
B．摸出的4 个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4 个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4 个球中至少有两个是白球
【答案】B
【详解】因为袋中有大小、质地完全相同的5 个黑球和3 个白球，
所以从中任取4 个球共有：3 白1 黑，2 白2 黑，1 白3 黑，4 黑四种情况.
故事件“摸出的4 个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A 错误；
事件“摸出的4 个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B 正确；
事件“摸出的4 个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C 错误；
事件“摸出的4 个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D 错误.
故选：B.
5．自2016 年起，每年4 月24 日设立为“中国航天日”，以纪念1970 年4 月24 日长征一号火箭将我国第
一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025 年4 月24 日是第10 个“中国航天日”，搭乘陈冬、
陈中瑞、王杰3 名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第
10 个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前
夕凯旋回家．
某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40
个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5
个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1 行第16 个数字2 开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳
过，则选出的5 个问题编号依次为（ ）
A．28，03，36，24，40
B．03，36，24，40，04
C．28，03，65，67，52
D．28， 03，40，01，11
【答案】D
【详解】从随机数表第1 行第16 个数字2 开始由左向右依次选取两个数字为：28,03,65（舍去），67（舍
去），52（舍去），40,44（舍去），01,85（舍去），11.
所以选出的5 个问题编号依次为：28,03,40,01,11.
故选：D
6．已知数据5，6，x，x，8，9 的平均数为7，则该组数据的40%分位数为（ ）
A．6
B．7
C．7.5
D．8
【答案】B
【详解】由
，则解得
.
由
，则该组数据的40%分位数为
.
故选：B.
7．某次试验掷一个骰子5 次，记录下5 个点数
，若已知这组数据有且仅有一个6，中位数为
3，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1 个数，该数小于众数的概率为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不妨设
，
因为这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，
所以
，设平均数为
，方差为
，
，
所以
，
因为
，由题意分析可知，众数只能为
，
若众数为，则5 个点数可能为：
；
；
；
；
；
计算
；
；
；
四组数的平均数和方差，方差均不为2.8.
当这五个数为：
，可得
，
，所以成立.
若众数为
，则5 个点数可能为：
；
.
计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8.
若众数为，则5 个点数可能为：
；
.
计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8.
综上：这5 个点数只能为
，则
的众数为，小于的数有
，共2 个，
则从这组数据中随机抽取1 个数，该数小于众数的概率为：
.
故选：C
8．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3 张黑色牌和3 张红色牌，小王手中有3 张黑色牌和2
张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两
张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7 张牌的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】进行两次后，小王手中有7 张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为
种，小王赢的事件数是
种，
则第一次小王赢的概率是
，
第一次赢之后小张有5 张牌，第一种情况是有2 张黑色牌，3 张红色牌，
小王有4 张黑色牌，有2 张红色牌，
第二次总事件数为
种，小王赢的事件数是
种，
则第二次小王赢的概率是
：
第二种情况是有3 张黑色牌，2 张红色牌，小王有3 张黑色牌，有3 张红色牌，
第二次总事件数为
种，小王赢的事件数是
种，
则第二次小王赢的概率是
：
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是
，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是
，
则两次均赢的概率为：
.
故小王手中有7 张牌的概率为
.
故选：D.
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都没有中靶
【答案】ABC
【详解】设事件
“第一次射击中靶”，
“第二次射击中靶”，
“至少一次中靶”
则事件
至少一次中靶包含：
，
对于A，至多一次中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于B，两次都中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于C，只有一次中靶包含
，所以与事件
不对立；
对于D，两次都没有中靶包含
，所以与事件
对立.
故选：ABC.
10．我校多媒体社团制作了5 个视频和3 张图片，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片
乙都入选”为事件
，“视频甲入选”为事件
，“图片乙入选”为事件
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】选项 A：
，
，不成立，故A 错误；
选项 B：
，且
，
成立，故B 正确；
选项 C： 由选项B 知：
，可得
独立.
，
，
，
右边：
，
左边 ：
，不成立，故C 错误；
选项 D：
，
，
有
，故D 正确.
故选：BD
11．若图G 的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V 可划分为两个子集
和
，且图中的每一条边的一个关联结点在
中，另一个关联结点必在
中，则将图
G 称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
【答案】BC
【详解】
对于图（1），图中出现了
，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内，
这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图．
除了这两个图，其他四个图都是二部图，
例如，对于图（3），当
时，图中的每一条边的一个关联结点在
中，
另一个关联结点必在
中；
对于图（5），当
时，图中的每一条边的一个关联结点在
中，
另一个关联结点必在
中．从这六个图中任选两个，所有的选择为
，
，
，共15 种．
这两个图都是二部图的选择共有6 种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14 种，
这两个图不都是二部图的选择共有9 种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8 种，
故这两个图都是二部图的概率为
，故A 错误；
这两个图至少有一个是二部图的概率为
，故B 正确；
这两个图不都是二部图的概率为
，故C 正确；
这两个图恰有一个是二部图的概率为
，故D 错误.
故选：BC
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是
、
、
、
、、
，若这组数据的平均数
与众数的和是中位数的
倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 .
【答案】
【详解】设丢失的数据为
，则这七个数的平均数为
，众数为
，
因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的
倍，分以下几种情况讨论：
若
，则中位数为
，此时，
，解得
；
若
，则中位数为
，此时，
，解得
；
若
，则中位数为
，此时，
，解得
.
综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为
.
故答案为：
.
13．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3 组，分别为
．估计该样本
数据的第60 百分位数是 ．
【答案】14
【详解】由题图知，数据落在区间
上的频率为
，
数据落在区间
上的频率为
，
所以第
百分位数是
．
故答案为：
.
14．在一次机器狗搜索演习中，
只机器狗组成一个搜索小队，每只机器狗独立发现特定目标的概率均为
，且互不影响.若搜索小队中至少有一只机器狗发现目标，则搜索任务成功.要使搜索任务成功的概率超过
，则
的最小值是 .
【答案】4
【详解】由题设，每只机器狗不能发现目标的概率为
，
所以搜索小队中至少有一只机器狗发现目标的概率为
，
令
，则
，而
，
所以
，故
的最小值是4.
故答案为：4
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件
“三个
圆的颜色全不相同”，事件
“三个圆的颜色不全相同”，事件
“其中两个圆的颜色相同”，事件
“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间.
（2）用集合的形式表示事件
.
（3）事件
与事件
有什么关系？事件
和
的交事件与事件
有什么关系？并说明理由.
【详解】(1)由题意可知3 个球可能颜色一样,可能有2 个一样,另1 个异色,或者三个球都异色.则试验的样本
空间
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,
红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.
(2)
{（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.
(3)由(2)可知事件
包含事件
,事件
和
的交事件与事件
互斥.
16．已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1 分钟；②商务套餐，平均
每份取餐时长为0.5 分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5 分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长
为1 分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1 个取餐窗口计算）一共有18 个，就餐
高峰期时有400 名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100
名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50 人选择了自选快餐，30 人选择了商务套餐，15 人选择了现炒现
做，5 人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者
的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）．
(1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10 个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排
队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最
长等待时长是多少分钟？
(2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等
待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由．
【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为
，
这200 人平均分布在10 个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为
，所以选择自选快餐的
消费者的最长等待时长为
分钟．
（2）设自选快餐窗口
个，商务套餐窗口
个，现炒现做窗口个，自售货机
台．
自选快餐高峰期就餐总人数为
，每个窗口等待人数为
，最长等待时长为
分钟；
商务套餐高峰期就餐总人数为
，每个窗口等待人数为
，最长等待时长为
分钟；
现炒现做高峰期就餐总人数为
，每个窗口等待人数为
，最长等待时长为
分钟；
自动售货机高峰期就餐总人数为
，每台售货机等待人数为
，最长等待时长为
分钟．
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，
则可得
，即有
．
因为
．所以
，
，
，
．
故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6 个，2 个，9 个，自动售货机1 台．
17．抽取某车床生产的8 个零件，编号为
，
，…，
，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，
1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间
内的零件为一等品．
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2 个，求至少包含一个直径为1.48 的零件的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2 个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2
个零件直径相等的概率．
【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5 个，非一等品有3 个，直径分别为1.48，1.47，1.53，
编号分别为
，
，
，
则从中随机有放回地依次抽取2 个，样本空间
，共9 个样本点，
其中不包含
的有4 个样本点，故至少包含一个直径为1.48 的零件的概率为
．
（2）一等品零件的编号为
，
，
，
，
，从这5 个一等品零件中不放回地依次随机抽取2 个，样
本空间
，共20 个样本点．
设“从一等品零件中，随机抽取的2 个零件直径相等”为事件B，则
，共8 个样本点．
所以
．
18．某地区有小学生
人，初中生
人，高中生
人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问
答，现用分层抽样的方法从中抽取
名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方
图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前
%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”
的成绩至少为多少分；
(3)已知落在
内的平均成绩为
，方差是，落在
内的平均成绩是
，方差是
，求落在
内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：
.记两组数据总体样本平均数为
，则总体样本方差
【详解】（1）一至六组的频率分别为
，
所以，平均数为
.
由图可知，众数为
.
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为
分，众数为
分.
（2）前
组的频率之和为
，
前组的频率之和为
，
第
%分位数落在第组，设为
，则
，解得
.
“人工智能科普达人”的成绩至少为
分.
（3）
的频率为
，
的频率为
，
所以
的频率与
的频率之比为
，
的频率与
的频率之比为
，
设
内的平均成绩和方差分别为
，
依题意有
，解得
，
，解得
，
所以
内的平均成绩为
，方差为.
19．甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5 局仍未出现连胜，则判定获胜局
数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，且各局比赛的胜负互不影响.
(1)求甲恰好比赛2 局后获胜的概率；
(2)求甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛的概率；
(3)求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答）
【详解】（1）记“甲在第
局获胜”为事件
，
记“甲恰好比赛2 局后获胜”为事件
，
，
即甲恰好比赛2 局后获胜的概率为
.
（2）记“甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛”为事件
，
，
，
，
，
，
.
故甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛的概率为
.
（3）记“甲比赛5 局后赢得比赛”为事件
，“甲赢得比赛”为事件
，
，
，
.
故甲赢得比赛的概率为
.
