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第十章 复数章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一下·重庆涪陵·阶段练习）复平面内，复数
表示的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义求解即可.
【详解】在复平面内，复数
表示的点的坐标为
，位于第四象限.
故选：D.
2．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数
，
，为虚数单位，若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数
的等式，解之即可.
【详解】由题意可得
为纯虚数，则
，解得
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·湖南·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案.
【详解】
，则
.
故选：B．
4．（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）适合
的实数
，
的值是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】根据复数相等，得到方程组，求出
，
，得到答案.
【详解】
，
若
，则
，故
，
，满足要求，
若
，则
，则
，无解，
综上，
且
，C 正确
故选：C
5．（2025·甘肃·一模）若复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可.
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，若其在第二象限，
则
，解得
.
故选：C.
6．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数
，
对应的两点之间的距离为（ ）
A．1
B．
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解.
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，
复数
在复平面内对应的点为
，
则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为
，
故选：B.
7．（2025·湖南·模拟预测）若
是复数，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由条件结合复数的几何意义确定复数
在复平面上的对应点为
的轨
迹，结合复数模的几何意义求结论.
【详解】设
，则复数
在复平面上的对应点为
，
因为
，
所以
，故
，
所以点
的轨迹为以点
为圆心，为半径的圆，
所以点
到原点的最大距离为
，
所以
的最大值为.
故选：B．
8．（24-25 高一下·河北·期中）已知复数
是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．7
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】将
代入
，求得
，进而得到答案.
【详解】因为
是关于
的方程
的一个根，所以
，
即
，所以
且
，解得
，
，
所以
．
故选：D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数
：满足
，则（ ）
A．
B．
的实部为1
C．
的共轭复数为
D．
在复平面中对应的点位于第四象限
【答案】ABD
【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可.
【详解】因为
，所以
，
的实部为1，虚部为1，故B 正确；
，故A 正确；
的共轭复数为
，故C 不正确；
在复平面中对应的点
位于第四象限，故D 正确.
故选：ABD.
10．（24-25 高一下·安徽宿州·期中）已知复数
满足
，
，其中是虚数单位，
表示
的
共轭复数，则下列正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
是纯虚数
D．若
是关于
的实系数方程
的一个根，则
【答案】BCD
【分析】由已知，解得
，
，结合复数的概念、几何意义及运算性质，逐项判断即可.
【详解】根据题意
，
，解得
，
，
所以
的虚部为
，故A 错误；
又
，则
在复平面内对应的点为
，位于第一象限，故B 正确；
又
，故C 正确；
若
是方程
的一个根，则方程的另一根为
，
根据韦达定理有
，
，
解得
，
，所以
，故D 正确.
故选：BCD.
11．（24-25 高一下·浙江金华·阶段练习）已知
，
都是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】举例说明判断AB；利用代数形式的复数运算，结合共轭复数以及模的计算求解判断CD.
【详解】对于A，取
，满足
，而
且
，A 错误；
对于B，取
，
，B 错误；
对于C，设
，
，C 正确；
对于D，设
，
，
，D 正确.
故选：CD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·广东惠州·阶段练习）复数z 满足
（为虚数单位），则z 的虚部为 .
【答案】
【分析】设
化简式子求得
值即可.
【详解】设
，则
，即
得
，故z 的虚部为
.
故答案为：
13．（24-25 高一下·广东广州·期中）复数
的值是 .
【答案】
【分析】利用复数的运算可化简所求复数.
【详解】
.
故答案为：
.
14．（2025 高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数
，则
．
【答案】
【分析】首先根据
和
的计算，发现
的计算周期，即可求解.
【详解】
复数
所以
，所以
，
所以
的周期为3，
由
，所以
，
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（24-25 高一上·上海·课后作业）当实数
为何值时，复数
，
是实数？纯虚数？零？
【答案】当
时是实数；当
时是纯虚数；当
时是零
【分析】根据复数的分类可列方程，即可得解.
【详解】当复数为实数时，
，解得
或
，即当
时是实数；
当复数为纯虚数时，
，解得
，即当
时是纯虚数；
当复数为零时，
，解得
，即当
时是零.
16．（15 分）（24-25 高一下·江苏南京·期中）设
为实数，已知复数
．
(1)若
对应的点在第一象限，求
的取值范围；
(2)若
为实数，且
与复数
相等，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）由题设列出关于x 的不等式组即可计算求解；
（2）由复数相等得方程组
，解方程组即可得解.
【详解】（1）由
对应的点在第一象限得
，解得
，
所以
的取值范围是
；
（2）由
得
，即
，
所以
，解得
或
．
17．（15 分）（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数
满足
．
(1)求复数
；
(2)
，求
；
(3)复数
是关于
的方程
的一个根，求出方程
的两个复数根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到
，结合复数的运算法则，即可求解；
（2）由（1）得
，根据
，求得
，结合
，即可求解.
（3）将
代入带入方程，得到
，得出方程组，求得
和
的值，得到
，进而确定方程的根.
【详解】（1）解：由复数
，可得
.
（2）解：由（1）知
，可得
，
又由
，则
，可得
，
则
，
所以
.
（3）解：由（1）知：
，
将
代入带入方程得
，
整理得
，
所以
，解得
，即方程
，
则方程
的复数根为
.
18．（17 分）（24-25 高一下·福建龙岩·期中）已知复数
，
，且
是纯虚数，其中a 为实
数，i 是虚数单位.
(1)求a 的值；
(2)在复平面内，O 为坐标原点，向量
，
对应的复数分别是
，
，若
，求实数c
的值.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解；
（2）由复数的几何意义得出
，结合向量减法及模长公式即可得解
【详解】（1）复数
，
，
，
则
.
因为
是纯虚数，所以
，解得
.
（2）由（1）得
，
.
由题意得，点O，A，B 的坐标分别为
，
，
，
所以
，
，因为
，
所以
，解得
或
.
19．（17 分）（24-25 高一下·吉林四平·阶段练习）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即
可将有序复数对
视为一个向量，记作
.类比平面向量的线性运算可以定义复向量
的线性运算：两个复向量
，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的
模定义为
．
(1)设
，
，求复向量
与
的模；
(2)①求证：对任意的实向量
与
，都有
；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等
式的取等条件；
③设复向量
，
，求证：对任意两个复向量
与
，不等式
仍然成立.
【答案】(1)
，
(2)①证明见解析；②证明见解析，当且仅当
与
共线；③证明见解析
【分析】（1）利用定义的复向量的数量积，即可求复向量的模；
（2）利用实向量就等价于平面向量的坐标运算，所以可用平面向量的数量积来证明；
复向量的数量积则借助复数的运算，及模的运算来证明即可.
【详解】（1）令
．
由已知得
，所以
由
，可得
，
由
，可得
．
（2）①设实向量
与
的夹角为
，则
，
因为
，所以
，
即
，当且仅当
与
共线时等号成立．
②设
，
（
为实数）．
，
，
．
由①得
成立，
当且仅当
与
共线，即
时等号成立．
③设复向量
，
，
，
，
由
得
．
又因为
，
，
所以
仍然成立．
