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第十章 复数章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一下·重庆涪陵·阶段练习）复平面内，复数
表示的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数
，
，为虚数单位，若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·湖南·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）适合
的实数
，
的值是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
5．（2025·甘肃·一模）若复数
在复平面内对应的点位于第二象限，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
6．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数
，
对应的两点之间的距离为（ ）
A．1
B．
C．4
D．5
7．（2025·湖南·模拟预测）若
是复数，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一下·河北·期中）已知复数
是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．7
B．3
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数
：满足
，则（ ）
A．
B．
的实部为1
C．
的共轭复数为
D．
在复平面中对应的点位于第四象限
10．（24-25 高一下·安徽宿州·期中）已知复数
满足
，
，其中是虚数单位，
表示
的
共轭复数，则下列正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
是纯虚数
D．若
是关于
的实系数方程
的一个根，则
11．（24-25 高一下·浙江金华·阶段练习）已知
，
都是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·广东惠州·阶段练习）复数z 满足
（为虚数单位），则z 的虚部为 .
13．（24-25 高一下·广东广州·期中）复数
的值是 .
14．（2025 高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数
，则
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（24-25 高一上·上海·课后作业）当实数
为何值时，复数
，
是实数？纯虚数？零？
16．（15 分）（24-25 高一下·江苏南京·期中）设
为实数，已知复数
．
(1)若
对应的点在第一象限，求
的取值范围；
(2)若
为实数，且
与复数
相等，求
的值．
17．（15 分）（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数
满足
．
(1)求复数
；
(2)
，求
；
(3)复数
是关于
的方程
的一个根，求出方程
的两个复数根．
18．（17 分）（24-25 高一下·福建龙岩·期中）已知复数
，
，且
是纯虚数，其中a 为实
数，i 是虚数单位.
(1)求a 的值；
(2)在复平面内，O 为坐标原点，向量
，
对应的复数分别是
，
，若
，求实数c
的值.
19．（17 分）（24-25 高一下·吉林四平·阶段练习）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即
可将有序复数对
视为一个向量，记作
.类比平面向量的线性运算可以定义复向量
的线性运算：两个复向量
，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的
模定义为
．
(1)设
，
，求复向量
与
的模；
(2)①求证：对任意的实向量
与
，都有
；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等
式的取等条件；
③设复向量
，
，求证：对任意两个复向量
与
，不等式
仍然成立.
