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第十章 复数 章末题型大总结
题型01 复数的概念与分类
【典例1】（24-25 高一下·江苏盐城·期中）实数
取何值时，复数
是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)0?
【变式1】（24-25 高一下·河南·期中）设为虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数a
的值为（ ）
A．1
B．6
C．5
D．1 或5
解题锦囊
1.求复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
2.复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚数；当
a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即
.
【变式2】（24-25 高一下·江苏连云港·期中）设复数
，
（
）.若
为实数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式3】（24-25 高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设
，若
为纯虚
数，则
的值为 .
【变式4】（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）复数z =1−❑√2i，则（ ）
A．z的实部为−1
B．z的虚部为−❑√2i
C．z的虚部为−❑√2
D．z的虚部为1
【变式5】（24-25 高一下·广东广州·期中）实数
分别取什么数值时，复数
是：
(1)纯虚数；
(2)与复数
互为共轭.
题型02 复数的几何意义
【典例2】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式1】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式2】（多选）（24-25 高一下·全国·单元测试）在复平面内，若
所对应的点
位于第二象限，则实数m 的值可以是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式3】（23-24 高一下·安徽黄山·期中）若复数
的共轭复数
对应的点在第一
象限，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
解题锦囊
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数
复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数
平面向量
【变式4】（24-25 高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数
，其中
是虚数单位，
(1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
题型03 复数相等的充要条件
【典例3】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·云南红河·三模）若
（为虚数单位），其中
，
为实数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）若
（
，
，
），且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三下·河南新乡·阶段练习）复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（2025·天津·一模）是虚数单位，复数
满足
，则
．
题型04 复数的四则运算
解题锦囊
在复数集
中任取两个数
，
，（
），我们规定
.
【典例4】（多选）（24-25 高一下·福建宁德·期中）已知复数
，则（ ）
A．
B．
的共轭复数为
C．
为实数
D．
为纯虚数
【变式1】（24-25 高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·江苏常州·期中）
= .
【变式4】（24-25 高一下·河北·期中）已知复数
，则
．
【变式5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）复数
.
题型05 共轭复数
解题锦囊
(1)复数的加法法则
设
，
(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减
去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
（3）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设
,
是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（4）复数的除法法则
（
）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
【典例5】（多选）（24-25 高一下·江苏宿迁·期中）若复数z 在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
C．若z 为纯虚数，则Z 在虚轴上
D．若
，则点Z 的集合所构成的图形的面积为6π
【变式1】（2025·湖南邵阳·二模）已知复数
在复平面内对应的点的坐标是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·江苏徐州·期中）复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式3】（24-25 高一下·浙江台州·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数
，其共轭复数为
，
为实数.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的值.
题型06 复数的模及其几何意义
解题锦囊
（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不
等于0 的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数
的共轭复数用
表示，即如果
，则
.
（3）共轭复数的性质
设
，
（
）
①
；②
为实数；③
且
为纯虚数
④
；⑤
，
，
.
【典例6】（24-25 高一下·河北唐山·期中）若复数
，
（为虚数单位），则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．1
【变式1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）已知复数
，则
（ ）
A．13
B．
C．5
D．
【变式2】（24-25 高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知
为复数，有以下四个命题，其中真命题的序
号是（ ）
A．若
，则
B．若
．则
C．若
，则
D．若
，则
【变式4】（24-25 高一下·上海宝山·期中）已知复数
满足
，则
.
题型07 复数运算的几何意义
【典例7】（24-25 高一下·广西·阶段练习）已知复数
满足
，则
最大值为（ ）
解题锦囊
向量
的模叫做复数
)的模，记为
或
公式：
，其中
复数模的几何意义：复数
在复平面上对应的点
到原点的距离；
特别的，
时，复数
是一个实数，它的模就等于
(
的绝对值).
解题锦囊
(
)的几何意义
在复平面内,设复数
，
（
）对应的点分别是
，
,则
.
又
复
数
.
则
,故
，即
表示复数
在复平面内对应的点之间
的距离.
．
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数
，则复平面内满足
的点
的集合围成的图形面积为
，则实数
（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
【变式2】（多选）（24-25 高一下·山西·阶段练习）设
，则下列关于复数
的说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．若
，则
为共轭复数
D．若
，则
的最大值为6
【变式3】（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设
，在复平面内
对应的点为
，则满足
的点
的集合形成的图形面积为 ．
【变式4（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）复数
满足
，则
的最大值为 .
题型08 复数范围内方程的根
【典例8】（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）若
（为虚数单位）是关于
方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（24-25 高一上·河北保定·阶段练习）若复数
．则下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
解题锦囊
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0 时，方程有两个不相等的实根
，
；
当∆=0 时，方程有两个相等的实根
；
当∆<0 时，方程有两个虚根
，
，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用．
C．
D．若
是关于
的方程
的根．则
【变式2】（23-24 高一下·安徽黄山·期中）已知复数
（其中为虚数单位），若复数的共
轭复数为
，且
．
(1)求复数
；
(2)求复数
；
(3)若
是关于
的方程
的一个根，求实数
，
的值，并求出方程
的另一个复
数根．
【变式3】（23-24 高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知
是关于
的方程
的一个根.
(1)求
的值；
(2)若
是纯虚数，求实数
的值和
.
题型09 复数性质的综合应用
【典例9】（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知
，
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）已知复数
，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
，则
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）已知复数
，则（ ）
A．若
互为共轭复数，则
为实数
B．若
，则
或
C．若
，则
D．
【变式3】（2025·陕西渭南·二模）已知
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是实数
B．若
为虚数，则
是虚数
C．对于任意的复数
都是实数
D．
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）下列命题中正确的有（ ）．
A．若复数z 满足
，则
B．若复数z 满足
，则
C．若复数
，
满足
，则
D．若复数
，则
【变式5】（24-25 高一下·山西·阶段练习）已知
，
均为复数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是实数
C．若
，则
是纯虚数
D．若
，则
题型10 复数相关的新定义问题
【典例10】（多选）（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：
．若
，且
（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
的模为
C．
D．
在复平面内对应的点位于第二象限
【变式1】（2024·甘肃兰州·二模）定义运算
，则满足
（为虚数单位）的复
数z 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式2】（23-24 高一下·上海·期末）已知
是
定义在复数集上的
次实系数多项式（
是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数
是
的根，即
，那么
也是
的根，即
；
②
可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题
B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题
D．命题①是假命题，命题②是真命题
【变式3】（多选）（23-24 高一下·广西南宁·期中）对任意复数
，
，定义
，其中
是
的共轭复数，对任意复数
，
，
，下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“
维形态复数
”：
，其中
为虚数单位，
，
.
(1)当
时，证明：“2 维形态复数”是“1 维形态复数”的平方；
(2)若“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等，求
的值.
【变式5】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可
将有序复数对
视为一个向量，记作
．类比平面向量的线性运算可以定义复向量
的线性运算；两个复向量
，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的模定义为
．
(1)设
，
，求复向量
与
的模；
(2)已知对任意的实向量
与
，都有
，当且仅当
与
平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量
与
，不等式
仍然成立；
(3)当
时，称复向量
与
平行．设
，
，
，若复向量
与
平行，
求复数z 的值．
