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专题08 计数原理与概率统计
1．B
2．D．
3．C.
4．B
5．ACD
6．B
7．ACD
1．B
2．D
3．BC
4．【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50，
根据上述性质可得：
,
解得
；
（2）首先计算前几组的频率：
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
前两组频率之和为
，前三组频率之和为
，
所以中位数在
内，
设中位数为m，则
，
解得
；
考点1
统计
考点2
概率
（3）先计算区间
的频率：
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
区间
的频率：
，
所以区间
的频率为
，区间
的频率为0.18，
M 的月用电量落在区间
中时，
恰好落在区间
中的概率为
.
1．200
2．C
3．D
1．
2．
3．AD
1．ABD
2．【详解】（1）已知每一步沿平行于
的方向移动的概率为
，
沿平行于
的方向移动的概率为
，两次移动后回到
处有两种情况，
沿着
或
方向来回，故
.
（2）由题意可知，
的可能取值为0，1，2，
则
，
考点3
排列组合
考点4
二项式定理
考点5
随机变量及其分布列
，
.
所以
的分布列为：
0
1
2
（3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在
处或
处，故
．
由第一问
，故掷两次后停在
处的概率为
，
由题意得
，
两式相减得
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
又因为
，所以
．
将该点出现在
处记为1，出现在
处记为0，故随机变量
服从两点分布，
，
故
．
3．【详解】（1）法一：由题意得
的可能取值为
．
，
，
，
．
0
1
2
3
因此
．
法二：由题意得
的可能取值为
．
又
，故
（
）．
因此
．
（2）设事件
“ 次之内（含次）停止摸球”，
事件
“第次摸到红球，第
次摸到红球”；
事件
“第次摸到红球，第
次摸到白球，第次摸到红球”；
事件
“第次摸到白球，第
次摸到红球，第次摸到红球”；
事件
“首次选择甲袋是第次摸球”（
），
事件
“一直没有选择甲袋”．
则
．
．
．
因此
．
4．【详解】（1）估计平均年龄为
.
（2）由题意得，这12 人中，年龄在第一组内的有
（人），
年龄在第二组内的有
（人），
则
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以
，
，
，
，
则
的分布列为：
0
1
2
3
4
（3）从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率为
，
设
，由
，且
得
，
所以
，
显然
，
，
令
，
当
时，有
，
，即
，
此时
；
当
时，有
，
，即
，
此时
，即
，
所以
．
1．
/
1．【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为
，
因此：
，解得：
，
下四分位数即第
百分位数，计算累计频率
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
。
，因此第
百分位数在区间
内，
计算得：下四分位数
（2）零假设
：认真完成作业与成绩无关
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
，因为
，
依据小概率值
的独立性检验，零假设
不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001，
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
考点6
正态分布
考点7
独立性检验
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4 倍，差异显著.
2．【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为
，
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的
，故样本中女性驾驶员的人数为
，
由题意，列联表补充如下：
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
零假设
为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．
根据列联表数据，计算得
．
根据小概率值
的独立性检验，可以推断
不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶
员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为
，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为
，
前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．
（2）由题意，抽取的8 人中偏好燃油汽车的人数为
人，偏好新能源汽车的人数为
人．
随机变量
的可能值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
．
3．【详解】（1）零假设为
：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取
名，从效果不明显的患者中抽取
名，
的取值分别为0，1，2，
则
，
所以
的分布列为
0
1
2
．
1．
；
2．3
3．【详解】（1）设事件
表示第
次沿水平方向移动，事件
表示第
次沿竖直方向移动，
，
，
考点8
概率与其他知识交汇问题
另一种计算
的方法：
四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为
；
四次移动中，全部水平移动的概率为
；
四次移动中，全部竖直移动的概率是
；
相加得
.
（2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为
，动点位置不变的概率为
则
，
；
根据全概率公式，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，
.
（3）设移动
步之后，动点停留在点
的概率为
，
则根据全概率公式，
，
，
又因为
，所以
，
，
设随机变量
满足：①当移动
步之后，动点停留在点
，则
；
②当移动
步之后，动点不停留在点
，则
；
显然
服从两点分布，且
，
所以
.
4．【详解】（1）解：由变量
生成的函数为
，
可得
，
所以
，
所以当
为奇数时，可得
.
（2）证明：由
分别对应取到红球蓝球绿球的概率，
､
､
故
，即
，所以
，
所以
生成的函数为
，
可得
，则
，
所以
，
因为
，
所以
，故
，
因为
，
所以
，
所以
.
（3）解：由方程
的自然数中等可能地随机选取一组解，
可得有序三元组
的总数的组合数为
种，
由随机变量
，所以随机变量
的可能取值为
，
当
时，即数组
中，有1 个0 或2 个0，可得
；
当
时，即数组
中，有1 个1 或2 个1，可得
；
当
时，即数组
中，有1 个2 或2 个2，可得
；
当
时，即数组
中，三个数都是3，可得
，
则变量
的分布列为
0
1
2
3
所以
，可得
，
则
，令
，即
，解得
，
所以当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
所以，当
是函数
的极小值点.
