文档文本内容
第03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视.............................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.............................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................. 3
知识点1 五点作图法...........................................................................................................................3
知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质............................................................4
知识点3 函数
的有关概念................................................................................4
知识点4 三角函数的图象变换........................................................................................................5
题型破译.............................................................................................................................. 5
题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）............................................................................5
【方法技巧 三角函数值域的两种常见模型】
题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数............................................................................6
题型3 三角函数的周期性................................................................................................................. 7
【方法技巧 三角函数周期的处理】
题型4 三角函数的单调性................................................................................................................. 8
【易错分析 单调性的注意事项】
题型5 三角函数的奇偶性................................................................................................................. 8
题型6 三角函数的对称性................................................................................................................. 9
题型7 三角函数的零点问题..........................................................................................................10
题型8 三角函数的图象变换..........................................................................................................11
题型9 图象变换中的最小平移.....................................................................................................11
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式.......................................................................12
【方法技巧 求解析式的常用方法】
题型11 三角函数的实际应用....................................................................................................... 14
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................16
05 课本典例·高考素材...........................................................................................................18
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）三角函数的图象
与性质
（2）三角函数图象的
平移变换
（3）三角函数的实际
应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T4 （5
分）
全国二卷T15
（15 分）
北京卷T8 （5
分）
全国甲卷（文）T13（5
分）
全国 I 卷T7（5 分）
全国II 卷T9（6 分）
北京卷T6（5 分）
天津卷T7（5 分）
全国甲卷（文）T12（5
分）
全国甲卷（理）T10（5
分）
全国甲卷（文）T10（5
分）
全国甲卷（理）T6（5
分）
全国 I 卷T15（5 分）
全国 II 卷T16（5 分）
考情分析：
三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的
识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用，例如由函数解析式判
断图象，或根据图象特征求参数值，题目难度多为中等，侧重基础概念与基本技能的考查。
该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质
分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的
检验，是高考中得分的关键板块之一。
复习目标：
1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数、
的图象.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
3.了解参数
对函数图象变化的影响.
4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
知识点1 五点作图法
“五点法”作图原理：
在正弦函数
的图象上，五个关键点是：
,
在余弦函数
的图象上，五个关键点是：
,
自主检测用“五点法”画
的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当
时，
；
当
时，
当 时，
；
当
时，
．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在 上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上
是增函数．
对称性
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴对称图
形.
对称中心
；
对称轴 ，
既是中心对称图形又是轴
对称图形.
对称中心
；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称
图形.
自主检测下列函数中，以2 为最小正周期且是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 函数
的有关概念
振幅
周期
频率
相位
初相
自主检测函数
的初始相位为 .
知识点4 三角函数的图象变换
由函数
的图象通过变换得到
的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
方法一：（先平移后伸缩）
的图象
的图象
的图象
的图象
方法二：（先伸缩后平移）
的图象
的图象
的图象
的图象
注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量
而言的，即图象变换要看“自变量
”发生多大变化，
而不是看“角
”的变化．
自主检测要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向左平行移动
个单位
B．向左平行移动
个单位
C．向右平行移动
个单位
D．向右平行移动
个单位
题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）
例1-1 函数
的定义域为 ．
例1-2 求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
法
方
技巧
三角函数值域的两种常见模型
（1）形如
或
型,可先由定义域求得
的范围,然后求得
(或
)的范围,最后求得最值.
（2）形如
型,可利用换元思想,设
,转化为二次函数
求最值, 的范围需要根据定义域来确定.
【变式1-1】函数
的定义域为
【变式1-2】函数
是（ ）
A．奇函数，且最小值为
B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为
D．偶函数，且最小值为
【变式1-3·变载体】在平面直角坐标系
中，
，
与原点
距离最大值
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数
例2-1 若
的最大值为3，最小值为1，则ab 的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．
例2-2 已知函数
，
既有最小值也有最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（ 2025·上海闵行·二模）已知函数
在区间
上既有最大值1 又有最小
值
，则关于实数
的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【变式2-2】若函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为
.
【变式2-3】已知函数
，若对任意
在区间
上的值域
均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 三角函数的周期性
例3-1 下列函数中，最小正周期为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2020·浙江·模拟预测）已知函数
，
，
与
的最小正周期分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
法
方
技巧
三角函数周期的处理
（1）对形如
或
的周期为
，对形如
的周
期为
；
（2）对形如
或
的周期为
，对形如
的
周期为
【变式3-1】函数
图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】求函数
的最小正周期．
【变式3-3】求函数
的最小正周期．
题型4 三角函数的单调性
例4-1 下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（ 2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】函数
的单调增区间为 .
【变式4-2】已知当
时，函数
不单调，其中
，则实数
可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】若
在
上是减函数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】若函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
题型5 三角函数的奇偶性
例5-1 函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
例5-2（多选）已知函数
，若函数
为偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
析
易错分
单调性的注意事项
在求形如
的函数的单调区间时，
若①
时,一般用诱导公式转化为
后求解;
②若
,则单调性相反.
【变式5-1】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知函数
，若
，则
．
【变式5-3】已知常数
，函数
为偶函数，则
.
题型6 三角函数的对称性
例6-1 已知函数
的最小正周期为
，则
图象的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 已知函数
的图象关于点
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】若点
是函数
图像的一个对称中心，则
的最小值为 .
【变式6-2】已知函数
在
上单调递增,且其图像关于点
对称,则
．
【变式6-3】函数
在
内恰有两个对称中心，
，则
.
【变式6-4】已知直线
与点
分别是函数
的图象在同一周期
内的对称轴和对称中心，则
.
题型7 三角函数的零点问题
例7-1 已知函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 已知函数
，则
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】设函数
，若
在区间
上有且仅有一个零
点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式7-3】已知函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】函数
在
上的零点从小到大依次为
，则
的值为 .
题型8 三角函数的图象变换
例8-1 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上的所有点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移π/6 个单位长度
D．向右平移
个单位长度
例8-2 将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】（多选）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是偶函数
C．
的图象关于直线
轴对称
D．
在
上单调递增
【变式8-2】为了得到函数
的图像，只要把正弦函数上所有点（）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【变式8-3】已知函数
的图象是由函数
的图象向左平移
个单位长度得到的，
若
是奇函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 图象变换中的最小平移
例9-1（ 2025·天津·二模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位长度
得到函数
的图象，函数
的一个对称轴为
，则
的最小取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2（ 2025·安徽安庆·二模）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原
点成中心对称，则
的最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得函数
的图象，则
的最小正值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】已知
，
，函数
，
．
(1)求函数
的对称轴方程；
(2)将函数
按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求
最小时的．
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
例10-1（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下列选项错误的是
（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于
中心对称
D．函数
的图象关于直线
对称
例10-2 函数
的部分图象如图中实线所示，
为函数
与
轴的交点.圆
与
的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F 六点，且
在
轴上，则下列结论错
误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
法
方
技巧
求解析式的常用方法
（1）如果从图象可直接确定A 和
,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“
”注意
正确判断哪一点是“第一零点”)求得
或选取最值点代入公式
,求
.
（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,
.这里需要注意的是,要认清所
选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
【变式10-1】已知函数
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的最值及对应的
的取值；
(3)当
时，写出函数
的单调递增区间.
【变式10-2】如图，函数
有三个相邻的零点
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式10-3】（多选）函数
的部分图象如图所示，
的图象与y 轴
交于M 点，与x 轴交于C 点，点N 在
图象上，点M、N 关于点C 对称，下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
单调递增
D．函数
的图象向右平移
后，得到函数
的图象，则
为奇函数
题型11 三角函数的实际应用
例11-1 时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花
时间与气温密切相关，开花时所需气温约为
，气温上升到约
开始闭合，在花期内，时钟花每天
开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6 时~16 时的气温
随时间
（时）的变化趋势近似满足函数
，则在6 时~16 时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3 时~11.3 时B．8.7 时~11.3 时
C．7.3 时~12.7 时
D．8.7 时~12.7 时
例11-2 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min 转一圈，摩天轮上
点P 的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P 离地面的高度h 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型
是函数
．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为
，部分图像如图所示，图像
过点
．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数
，其中
，则
．
【变式11-2】
（多选）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电
插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为
，三根相线（火线）电压分别为
，
，
，其中
（单位：
），
（单位：
）．
三根相线间的电压叫线电压，记
，
，
，线电压的最大值分别为
，
，
，有效值分别为
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．三根相线电压的频率均为50（单位：
）
B．
C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值
D．线电压的有效值
（单位：
）
【变式11-3】（多选）中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从
而达到记录里程的目的．如图1 所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对
半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、
中、小平轮和立轮的半径分别为
．随着转动，以下说法正确的是（ ）
A．小平轮转2 圈，大平轮转1 圈
B．AB 两点距离最大为18
C．AB 两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度
得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·天津·高考真题）已知函数
的最小正周期为
．则
在区间
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
4．（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称中心，则a 的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
6．（2023·上海·高考真题）已知
，函数
在区间
上最小值为，在区间
上的最
小值为
变化时，下列不可能的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
7．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
8．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
1．函数
的简图为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
内，下列区间中使得
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
，
，且
的最小正周期大于
等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．关于
的两个函数
与
有以下命题：
①不存在
，使得
既是奇函数又是偶函数；
②对任意的
都不是奇函数；
③对于任意的
，存在
，使得
与
有相同的最小正周期；
④对于任意的
，存在
，使得
的最小正周期大于
的最小正周期．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
5．将函数
的图象向左平移
个单位，再将横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．已知函数
，将函数
的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移
个
单位长度，得到函数
的图象，则
的最大值为（ ）
A．16
B．
C．
D．8
7．函数
的值域为 ．
8．已知函数
，若
在
内单调递减，则
的值为 ．
9．已知函数
．
(1)若
，求函数
的定义域及最小正周期；
(2)若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围．
10．已知交流电的电压
（单位：V）随时间（单位：s）的变化可用
表示，其部分图象如下所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)如果电压
在一段时间
内至少达到一次最大值和一次最小值，那么
的最小值是多少？
