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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第2 讲 三角函数的图象与性质
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan(x−π
3)的图象的一个对称中心，则a 的最小值为(
)
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.4 π
3
2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在[−5 π
12 ，π
12]上单调递增，且x= π
12为它的一条对称轴，
(
π
3 ，0)是它的一个对称中心，当x∈[0，π
2]时，f(x)的最小值为( )
A.-
❑√3
2
B.-1
2
C.1
D.0
3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x 和g(x)=sin(2 x−π
4)，下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3 个零点，则ω 的取值范
围是 .
5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B 是直线y=1
2与曲线y=f(x)的两个交点，若|
AB|=π
6 ，则f(π)= .
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6
分.
【考向预测】一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的
变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中
的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式
研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质.
1.【答案】B
【解析】y=2tan(x−π
3)的对称中心的横坐标满足x-π
3 =k π
2 ，k∈Z，即x=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
所以y=2tan(x−π
3)的图象的对称中心是(
π
3 + k π
2 ，0)，k∈Z，
即a=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
又a>0，则当k=0 时，a 最小，最小值是π
3 .
2.【答案】A
【解析】设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有{
π ω
12 +φ = π
2 +2k π ，
π ω
3 +φ =m π ，
m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知π
3 - π
12=(2n+1)T
4
(n∈N)，又ω>0，
即π
4 =2n π + π
2ω
，∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在[−5 π
12 ，π
12]上单调递增，则T
2 ≥π
12-(−5 π
12)=π
2 ，∴π
ω≥π
2 ，0<ω≤2，
∴ω=2，则{
φ = π
3 +2k π ，
φ =m π −2π
3 ，
m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1 时，φ=π
3 ，
∴f(x)=sin(2 x + π
3)，
又当x∈[0，π
2]时，2x+π
3 ∈[
π
3 ，4 π
3 ]，
由正弦函数的单调性可知当2x+π
3 =4 π
3 ，即x=π
2 时，f(x)min=sin 4 π
3 =-
❑√3
2 .
3.【答案】BC
【解析】A 选项，令f(x)=sin 2x=0，
解得x=k π
2 ，k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)=sin(2 x−π
4)=0，
解得x=k π
2 +π
8 ，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π
2 =π，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+π
2 ，k∈Z，
解得x=k π
2 +π
4 ，k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x-π
4 =kπ+π
2 ，k∈Z，
解得x=k π
2 +3 π
8 ，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D 选项错误.
4.【答案】[2，3)
【解析】因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1 有3 个根，
令t=ωx，则cos t=1 有3 个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t 的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
5.【答案】-
❑√3
2
【解析】设A(x1，1
2)，B(x2，1
2)，
由|AB|=π
6 可得x2-x1=π
6 ，
由sin x=1
2可知，
x=π
6 +2kπ，k∈Z 或x=5 π
6 +2kπ，k∈Z，
由图可知，
ωx2+φ-(ωx1+φ)=5 π
6 -π
6 =2π
3 ，
即ω(x2-x1)=2π
3 ，所以ω=4.
因为f (
2π
3 )=sin(
8 π
3 +φ)=0，
所以8 π
3 +φ=kπ，k∈Z，
即φ=-8 π
3 +kπ，k∈Z.
所以f(x)=sin(4 x−8 π
3 + k π)，k∈Z，
所以f(x)=sin(4 x−2π
3 )或f(x)
=-sin(4 x−2π
3 )，
又因为f(0)<0，
所以f(x)=sin(4 x−2π
3 )，
所以f(π)=sin(4 π −2π
3 )=-
❑√3
2 .
考点一 三角函数的图象变换
【典例】1 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< π
2)的最小正周期为π，且过点(−π
3 ，0)，若将
f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的1
2，横坐标不变，再向左平移π
3 个单位长度得到g(x)的图象，则
g(x)等于( )
A.sin(2 x + π
6)
B.sin(2 x−π
6)
C.sin(2 x + π
3)
D.sin(2 x−π
3)
【答案】C
【解析】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，
所以T=2π
ω =π，
则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)，
又函数f(x)过点(−π
3 ，0)，故f (−π
3)=2sin[2×(−π
3)+φ]=0，
即-2π
3 +φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ+2π
3 ，k∈Z，
由|φ|<π
2 得φ=-π
3 ，故f(x)=2sin(2 x−π
3).
将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的1
2，横坐标不变，得到y=sin(2 x−π
3)的图象，
再向左平移π
3 个单位长度得到g(x)=sin[2(x + π
3)−π
3]=sin(2 x + π
3)的图象.
(2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移π
6ω个单位长度后
得到函数y=g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)=0 在[0，7 π
12]上有且仅有两个不相等的实数根，则实数
ω 的取值范围是( )
A.[
10
7 ，24
7 )
B.[
16
7 ，4)
C.[
10
7 ，4)
D.[
16
7 ，24
7 )
【答案】B
【解析】由题意得g(x)=acos ω(x + π
6ω)=acos(ωx + π
6)，
若x∈[0，7 π
12]，则ωx+π
6 ∈[
π
6 ，7 π
12 ω+ π
6]，
∵g(x)=0 在[0，7 π
12]上有且仅有两个不相等的实数根，
∴3 π
2 ≤7 π
12 ω+π
6 <5 π
2 ，
解得16
7 ≤ω<4，
即实数ω 的取值范围是[
16
7 ，4).
【考法归纳】三角函数图象平移问题的处理策略
(1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
(2)看左右移动方向：左“+”右“-”.
(3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向进行的，所以ω 和φ
之间有一定的关系，要知道φ 是初相，再经过ω 的放缩，最后移动的单位长度是|
φ
ω|(注意先移后缩和先缩
后移的区别).
【变式训练】1 (1)(2025·南京模拟)把函数y=cos x 图象上所有点的横坐标变为原来的1
2(纵坐标不变)，
再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于( )
A.cos(2 x−π
6)
B.cos(2 x−π
3)
C.cos(
1
2 x−π
6)
D.cos(
1
2 x−π
12)
【答案】B
【解析】把函数y=cos x 图象上所有点的横坐标变为原来的1
2(纵坐标不变)后得到y=cos 2x 的图象，再将图
象上所有的点向右平移π
6 个单位长度后得到的函数图象的解析式为y=cos 2(x−π
6)=cos(2 x−π
3).
(2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)(−π
2 <θ< π
2)的图象先向左平移π
6 个单位长度，再向上平移1 个
单位长度后，所得的图象经过点(
π
4 ，2)，则θ 等于( )
A.-π
6
B.π
6
C.-π
3
D.π
3
【答案】C
【解析】将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移π
6 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后，得到的函数
图象的解析式为
g(x)=sin[2(x + π
6)+θ]+1=sin(2 x + π
3 +θ)+1，
当x=π
4 时，g(
π
4)=sin(2× π
4 + π
3 +θ)+1=2，
即sin(
5 π
6 +θ)=1，
则5 π
6 +θ=π
2 +2kπ，其中k∈Z，解得θ=-π
3 +2kπ，k∈Z，
又-π
2 <θ<π
2 ，所以θ=-π
3 .
考点二 三角函数的图象与解析式
【典例】2 (1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的部分
图象如图所示，图象与x 轴的一个交点为M(
5
2 ，0)，与y 轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足
NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1 个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(-2)等于( )
A.❑√10
B.0
C.
❑√10
2
D.-
❑√10
2
【答案】D
【解析】由题意知，函数f(x)的最小正周期T 满足T
4 =xM-xP=5
2-1=3
2，解得T=6，
所以ω=2π
6 =π
3 ，
则f(x)=Asin(
π
3 x +φ)，
由f(x)的图象与x 轴的一个交点为M(
5
2 ，0)得π
3 ×5
2+φ=kπ(k∈Z)，
则φ=-5 π
6 +kπ(k∈Z)，
因为|φ|<π
2 ，所以φ=π
6 ，
即f(x)=Asin(
π
3 x + π
6)，
则f(0)=Asinπ
6 = A
2 ，
所以f(x)的图象与y 轴的交点为N(0，A
2)，
则⃗NP=(1，A
2)，⃗NM=(
5
2 ，−A
2)，
因为NM⊥NP，所以⃗NM·⃗NP=5
2- A
2
4 =0，解得A=-❑√10(舍去)或A=❑√10，
所以f(x)=❑√10sin(
π
3 x + π
6)，
又将f(x)的图象向左平移1 个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，
则g(x)=❑√10sin(
π
3 x + π
3 + π
6)=❑√10cosπ
3 x，
所以g(-2)=❑√10cos(−2π
3 )=-
❑√10
2 .
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横
坐标伸长到原来的3
2倍，再将所得函数图象向左平移π
8 个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的
解析式为( )
A.g(x)=2cos(
9 x
2 −π
8)
B.g(x)=2cos(2 x−π
8)
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
【答案】D
【解析】由图象可知A=2，
π
6 + 2π
3
2
=5 π
12 ，
则f(x)图象的一个最低点为(
5 π
12 ，−2)，
f(x)的最小正周期T=2π
3 ，则ω=2π
T =3，
f (
5 π
12)=2cos(3× 5 π
12 −φ)=-2，
即5 π
4 -φ=π+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π
4 -2kπ(k∈Z)，
又因为|φ|<π
2 ，所以φ=π
4 ，
所以f(x)=2cos(3 x−π
4)，
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3
2倍，得到y=2cos(2 x−π
4)的图象，
再将所得函数图象向左平移π
8 个单位长度，
得到y=2cos[2(x + π
8)−π
4]=2cos 2x 的图象，
故g(x)=2cos 2x.
【考法归纳】由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得
B= M +m
2
，A= M −m
2
.
(2)T 定ω：由周期公式T=2π
ω ，可得ω=2π
T .
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势.
【变式训练】2 (1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=❑√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，
B，C，D 四点在同一个圆上，则ω 等于( )
A.1
B.1
2
C.π
D.π
2
【答案】D
【解析】连接BC 交x 轴于点E，如图，
由于A，B，C，D 四点在同一个圆上，且A，D 和B，C 均关于点E 对称，
故E 为圆心，故AE=BE，
AE=1
2T= π
ω，BE=❑√(
1
4 T)
2
+(❑√3)
2=❑√(
π
2ω)
2
+3，
故❑√(
π
2ω)
2
+3= π
ω，解得ω=π
2 .
(2)如图所示，将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P 和
P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A 分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若
AP⊥AP1，S△AP P1=15，则g(x)的解析式为 .
【答案】g(x)=3sin(
π
8 x−5 π
8 )
【解析】将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移φ
ω个单位长度得g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，
由于B，A 分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，结合图象可知AB= φ
ω.
S△AP P1=1
2AB×3×2=15，故AB= φ
ω=5，
由于AP⊥AP1，所以BP1=BP=AB=5，
设f(x)的最小正周期为T，则1
4 T=❑√B P
2−3
2=4，故T=2π
ω =16，
解得ω=π
8 ，φ=5ω=5 π
8 ，
故g(x)=3sin(
π
8 x−5 π
8 ).
考点三 三角函数的性质
【典例】3 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2❑√3sin2x+sin(2 x + 2π
3 )，则下列说法正确的是(
)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点(
π
3 ，❑√3)对称
C.f(x)在区间(0，π
2)上的值域为[
❑√3−1，3 ❑√3
2 )
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则φ 的最小值为5 π
12
【答案】BCD
【解析】因为f(x)=2❑√3sin2x+sin(2 x + 2π
3 )=2❑√3·1−cos2 x
2
+sin 2xcos2π
3 +cos 2xsin2π
3
=❑√3-❑√3cos 2x-1
2sin 2x+
❑√3
2 cos 2x=❑√3-(
1
2 sin 2 x +
❑√3
2 cos2 x)
=❑√3-sin(2 x + π
3)，
对于A 选项，函数f(x)的最小正周期T=2π
2 =π，A 错误；
对于B 选项，因为f (
π
3)=❑√3-sin π=❑√3，故f(x)的图象关于点(
π
3 ，❑√3)对称，B 正确；
对于C 选项，当0<x<π
2 时，π
3 <2x+π
3 <4 π
3 ，则-
❑√3
2 <sin(2 x + π
3)≤1，
所以f(x)=❑√3-sin(2 x + π
3)∈[
❑√3−1，3 ❑√3
2 )，
故f(x)在区间(0，π
2)上的值域为[
❑√3−1，3 ❑√3
2 )，C 正确；
对于D 选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，
即函数y=❑√3-sin[2( x−φ)+ π
3]=❑√3-sin(2 x + π
3 −2φ)为偶函数，
故π
3 -2φ=kπ+π
2 (k∈Z)，解得φ=- π
12-k π
2 (k∈Z)，
因为φ>0，故当k=-1 时，φ 取得最小值5 π
12 ，D 正确.
(2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=❑√3sin πωx-cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3 个最值点和3 个零点，则实
数ω 的取值范围是( )
A.(
10
3 ，23
6 ]
B.[
10
3 ，23
6 )
C.[
7
3 ，19
6 )
D.[
8
3 ，19
6 )
【答案】D
【解析】因为f(x)=❑√3sin πωx-cos πωx=2sin(π ωx −π
6)(ω>0)，
且当0≤x≤1 时，-π
6 ≤πωx-π
6 ≤πω-π
6 ，
因为函数f(x)在[0，1]内恰有3 个最值点和3 个零点，
所以5 π
2 ≤πω-π
6 <3π，解得8
3≤ω<19
6 .
【考法归纳】研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式，然后结合正弦函数
y=sin x 的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x 的性质求出f(x)的性质，然后判断各选
项；另一种是由x 的值或范围求得t=ωx+φ 的范围，然后由y=sin t 的性质判断各选项.
【变式训练】3 (1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx −π
6)(ω>0)在(−π
3 ，π
6)上单调递增，且其图
象关于点(
π
3 ，0)对称，则f (
2π
3 )等于( )
A.-
❑√3
2
B.-1
2
C.1
2
D.
❑√3
2
【答案】C
【解析】由函数f(x)=sin(ωx −π
6)(ω>0)在(−π
3 ，π
6)上单调递增，得2π
ω ≥2[
π
6 −(−π
3)]=π，
解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点(
π
3 ，0)对称，得π
3 ω-π
6 =kπ，k∈Z，
解得ω=3k+1
2，k∈Z，于是k=0，ω=1
2，f(x)=sin(
1
2 x−π
6)，
所以f (
2π
3 )=sin(
1
2 × 2π
3 −π
6)=sinπ
6 =1
2.
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0，−π
2 <φ< π
2)的图象经过点(0，-❑√3)，
g(x)=f(x)-1 的零点之间距离的最小值为2，则( )
A.f(2)=
❑√3
3
B.f(x)的单调递增区间为(−1
3 +2k ，5
3 +2k)(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k + 2
3 ，0)(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )(0≤x≤5)的解集为{
2
3 ，14
3 }
【答案】BC
【解析】由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=π
2 ，
因为函数f(x)=tan (ωx+φ)(ω>0，−π
2 <φ< π
2)的图象经过点(0，-❑√3)，
所以tan φ=-❑√3，因为-π
2 <φ<π
2 ，
所以φ=-π
3 ，
所以f(x)=tan(
π
2 x−π
3)，
则f(2)=tan2π
3 =-❑√3，所以A 错误；
当且仅当-π
2 +kπ<π
2 x-π
3 <π
2 +kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，
解得2k-1
3<x<2k+5
3(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(−1
3 +2k ，5
3 +2k)(k∈Z)，所以B 正确；
令π
2 x-π
3 =k·π
2 (k∈Z)，得x=k+2
3(k∈Z).
所以f(x)的图象关于点(k + 2
3 ，0)(k∈Z)对称，所以C 正确；
因为f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )=sin(−π
2 x + π
3 + π)=sin(
π
2 x−π
3)(0≤x≤5)，
可得sin(
π x
2 −π
3)=tan(
π x
2 −π
3)=
sin(
π x
2 −π
3)
cos(
π x
2 −π
3)
，
即sin(
π x
2 −π
3)[cos(
π x
2 −π
3)−1]=0，
所以sin(
π x
2 −π
3)=0 或cos(
π x
2 −π
3)=1，
而当cos(
π x
2 −π
3)=1 时，
sin(
π x
2 −π
3)=0，
故只需sin(
π x
2 −π
3)=0，
则π x
2 -π
3 =mπ(m∈Z)，解得x=2m+2
3(m∈Z)，
因为0≤x≤5，故x∈{
2
3 ，8
3 ，14
3 }，
因此，f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )(0≤x≤5)的解集为{
2
3 ，8
3 ，14
3 }，所以D 错误.
【限时训练】（限时：60 分钟）
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x 的图象，只要将函数y=sin(2 x + π
3)的图象( )
A.向右平移π
3 个单位长度
B.向左平移π
6 个单位长度
C.向右平移π
6 个单位长度
D.向左平移π
3 个单位长度
【答案】C
【解析】将函数y=sin(2 x + π
3)的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数y=sin[2(x−π
6)+ π
3]=sin 2x 的图象.
2.(2025·杭州模拟)“φ=-π
4 +kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点(
π
4 ，0)对称”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数y=tan(x+φ)的图象关于点(
π
4 ，0)对称，则π
4 +φ=k π
2 (k∈Z)，
解得φ=-π
4 +k π
2 (k∈Z)，
因为{φ|φ =−π
4 + k π ，k ∈Z}是{φ|φ =−π
4 + k π
2 ，k ∈Z}的真子集，
所以“φ=-π
4 +kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点(
π
4 ，0)对称”的充分不必要条件.
3.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=❑√3sin 2x-2cos2x 的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于( )
A.
❑√3
3
B.-
❑√3
3
C.❑√3
D.-❑√3
【答案】D
【解析】因为f(x)=❑√3sin 2x-2cos2x =❑√3sin 2x-cos 2x-1
=2(
❑√3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x)-1=2sin(2 x−π
6)-1，
因为函数f(x)=❑√3sin 2x-2cos2x 的图象关于直线x=x0对称，
所以2x0-π
6 =kπ+π
2 ，k∈Z，
所以2x0=kπ+2π
3 ，k∈Z，
所以tan 2x0=tan(k π + 2π
3 )=tan2π
3 =-❑√3，k∈Z.
4.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)=sin(ωx −3 π
4 )的图象向左平移π
12个单位长度后，得到的图象
关于y 轴对称，则满足条件且|ω|最小的ω 的值为( )
A.3
B.-3
C.15
D.2
【答案】A
【解析】由题设，函数y=sin[ω(x + π
12)−3 π
4 ]=sin(ωx + ω π
12 −3 π
4 )为偶函数，
所以ω π
12 -3 π
4 =π
2 +kπ，k∈Z，得ω=15+12k，k∈Z，
要|ω|最小，取k=-1，得ω=3.
5.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin(
1
2 x + π
3)，若f(x)在区间[a，a+ π
6](0<a<2π)上不单调，则实数a 的取值范
围是( )
A.(
π
6 ，π
4)
B.(
π
6 ，π
3)
C.(
π
4 ，π
3)
D.(
π
6 ，5 π
3 )
【答案】B
【解析】画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为0<a<2π，所以π
6 <a+π
6 <13 π
6
<7 π
3 .
又因为f(x)在区间[a，a+ π
6](0<a<2π)上不单调，
所以{
0<a< π
3 ，
a+ π
6 > π
3 ，
解得π
6 <a<π
3 .
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ< π
2)的图象如图所示.已知A(−5
3 ，−2)，B(
1
3 ，2)，将f(x)的图象向
右平移2 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2sin(
π
2 x−π
3)
B.g(x)=2sin(
π
2 x + π
3)
C.g(x)=-2sin(
π
2 x−π
3)
D.g(x)=-2sin(
π
2 x + π
3)
【答案】D
【解析】由题意可知f(x)的周期T 满足
T
2 =1
3-(−5
3)=2，得T=4，
即2π
ω =4，得ω=π
2 ，
所以f(x)=2sin(
π
2 x +φ)，
因为点B(
1
3 ，2)是f(x)图象上的一个点，
所以f (
1
3)=2sin(
π
6 +φ)=2，sin(
π
6 +φ)=1，
则π
6 +φ=π
2 +2kπ，k∈Z，即φ=π
3 +2kπ，k∈Z，
又0<φ<π
2 ，所以φ=π
3 ，
所以f(x)=2sin(
π
2 x + π
3)，
将f(x)的图象向右平移2 个单位长度，
得到函数g(x)=2sin[
π
2 ( x−2)+ π
3]
=-2sin(
π
2 x + π
3)的图象.
7.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度得到，则y=f(x)的
图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】因为y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度所得图象对应的函数为y=cos[2(x + π
6)+ π
6]
=cos(2 x + π
2)=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，
而y=1
2x-1
2显然过(0，−1
2)与(1，0)两点，
作出y=f(x)与y=1
2x-1
2的大致图象如图所示，
考虑2x=-3 π
2 ，2x=3 π
2 ，2x=7 π
2 ，
即x=-3 π
4 ，x=3 π
4 ，x=7 π
4 处f(x)与y=1
2x-1
2的大小关系，
当x=-3 π
4 时，f (−3 π
4 )=-sin(−3 π
2 )=-1，
y=1
2×(−3 π
4 )-1
2=-3 π + 4
8
<-1；
当x=3 π
4 时，f (
3 π
4 )=-sin3 π
2 =1，
y=1
2×3 π
4 -1
2=3 π −4
8
<1；
当x=7 π
4 时，f (
7 π
4 )=-sin7 π
2 =1，
y=1
2×7 π
4 -1
2=7 π −4
8
>1.
所以由图可知，f(x)的图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为3.
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈(
π
4 ，π
3)，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，1]
B.[❑√3，+∞)
C.(1，❑√3)
D.[1，❑√3]
【答案】C
【解析】若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上不是单调函数，
易知f'(x)=acos x-sin x，
若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上单调递增，则f'(x)≥0 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，
即acos x-sin x≥0，
所以a≥sin x
cos x =tan x 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，
则a≥❑√3；
同理，若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上单调递减，则f'(x)≤0 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，得a≤1，
即若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上不单调，则1<a<❑√3.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·荆州质检)已知函数f(x)=sin(x + π
4)+sin(x−π
4)，则( )
A.函数f (x−π
2)为偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间(−π
4 ，π
4)上单调递增
D.曲线y=f(x)关于点(k π + π
2 ，0)，k∈Z 对称
【答案】AC
【解析】f(x)=sin(x + π
4)+sin(x−π
4)=
❑√2
2 (sin x+cos x)+
❑√2
2 (sin x-cos x)=❑√2sin x.
对于A，设g(x)=f (x−π
2)=❑√2sin(x−π
2)=-❑√2cos x，
函数g(x)的定义域关于原点对称，由g(-x)=-❑√2cos(-x)=-❑√2cos x=g(x)，可得函数g(x)=f (x−π
2)为偶函数，
故A 正确；
对于B，由于y=sin x 的最大值为1，因此f(x)max=❑√2×1=❑√2，故B 错误；
对于C，当x∈(−π
4 ，π
4)时，y=sin x 单调递增，故f(x)=❑√2sin x 在(−π
4 ，π
4)上单调递增，故C 正确；
对于D，由于曲线y=sin x 关于点(kπ，0)，k∈Z 对称，因此曲线y=f(x)关于点(kπ，0)，k∈Z 对称，故D 错
误.
10.(2025·湖北八校协作体联考)已知函数f(x)=sin 2x，若将f(x)的图象向右平移π
12个单位长度后，再把所得
曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.g(x)=sin(x−π
12)
B.g(x)的图象关于点(
π
6 ，0)中心对称
C.g(x)的图象关于直线x=π
3 对称
D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0，2π]内有4 个交点
【答案】BD
【解析】对于A，将f(x)的图象向右平移π
12个单位长度后，可得f (x−π
12)=sin 2(x−π
12)=sin(2 x−π
6)，
进而可得g(x)=sin(x−π
6)，故A 错误；
对于B，g(
π
6)=sin(
π
6 −π
6)=0，故B 正确；
对于C，g(
π
3)=sin(
π
3 −π
6)=1
2≠±1，故直线x=π
3 不是g(x)图象的对称轴，故C 错误；
对于D，分别作出f(x)与g(x)在[0，2π]内的图象，可知有4 个交点，故D 正确.
11.(2025·安徽A10 联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成
函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则( )
A.f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称
B.f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上先增后减
C.f(x)的值域为[−2，3 ❑√3
2 ]
D.f(x)在区间[0，10π]上有11 个零点
【答案】ACD
【解析】易知“优生成函数”为f(x)=2sin x+|sin 2x|，
因为f(-π-x)=2sin(-π-x)+|sin(-2π-2x)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称，故A 正确；
显然f(x+2π)=2sin(x+2π)+|sin(2x+4π)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以2π 是函数f(x)的一个周期，所以f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上的单调性与在区间(−π
2 ，0)上的单调性相
同，设x∈(−π
2 ，0)，则f(x)=2sin x-sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x-2cos 2x=-4cos2x+2cos x+2=-2(cos x-1)(2cos x+1)>0，
故f(x)在区间(−π
2 ，0)上单调递增，即f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上单调递增，故B 错误；
由f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称及2π 是函数f(x)的一个周期知，
只需考查x∈[−π
2 ，π
2]时f(x)的值域，
因为f (−π
2)=-2+0=-2，f(0)=0+0=0，
f(x)在区间(−π
2 ，0)上单调递增，
故当x∈[−π
2 ，0]时，-2≤f(x)≤0，
当x∈(0，π
2]时，f(x)=2sin x+sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，当0<x<π
3 时，f'(x)>0，当π
3 <x≤π
2 时，f'(x)<0，
所以f(x)在区间(0，π
3)上单调递增，在区间(
π
3 ，π
2]上单调递减，
故当x∈(0，π
2]时，0<f(x)≤f (
π
3)=3 ❑√3
2
，
综上，f(x)的值域为[−2，3 ❑√3
2 ]，故C 正确；
易知f(x)在区间[0，10π]上的零点分别为0，π，2π，…，9π，10π，共11 个，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·南京模拟)函数f(x)=cos 2x-6cos x+1 的值域为 .
【答案】[-4，8]
【解析】f(x)=cos 2x-6cos x+1=2cos2x-6cos x，
设t=cos x，则t∈[-1，1]，
易知二次函数y=2t2-6t=2(t −3
2)
2
-9
2在[-1，1]上单调递减，当t=-1 时，ymax=8，
当t=1 时，ymin=-4，
故函数f(x)的值域为[-4，8].
13.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)=2sin ωx 与g(x)=2cos ωx(ω>0)的图象上任意3 个相邻的交点构成
直角三角形，则ω= .
【答案】
❑√2π
4
【解析】如图所示，设函数f(x)=2sin ωx(ω>0)与g(x)=2cos ωx 的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，
y3)，
由2sin ωx=2cos ωx 得tan ωx=1，
所以ωx1=π
4 ，ωx2=5 π
4 ，ωx3=9 π
4 ，
则y1=y3=2sinπ
4 =❑√2，y2=-❑√2，
由对称性和已知可得△ABC 为等腰直角三角形，
所以点B 到直线AC 的距离为1
2AC，
即y1-y2=1
2(x3-x1)，解得ω=
❑√2π
4
.
14.已知函数f(x)=3sin(2 x−π
3)-2cos2(x−π
6)+1，把函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)
的图象.若x1，x2是关于x 的方程g(x)=a 在[0，π
2]内的两根，则cos(x1+x2)的值为 .
【答案】-
❑√10
10
【解析】f(x)=3sin(2 x−π
3)-2cos2(x−π
6)+1
=3sin(2 x−π
3)-cos(2 x−π
3)
=❑√10sin(2 x−π
3 −φ)，
其中sin φ=
❑√10
10 ，cos φ=3 ❑√10
10
，
因为把函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=f (x + π
6)
=❑√10sin[2(x + π
6)−π
3 −φ]=❑√10sin(2 x−φ)，
当x∈[0，π
2]时，2x-φ∈[-φ，π-φ]，
因为x1，x2是关于x 的方程g(x)=a 在[0，π
2]内的两根，
所以有2 x1−φ+2 x2−φ
2
=π
2 ⇒x1+x2=π
2 +φ，
因此cos(x1+x2)=cos(
π
2 +φ)=-sin φ=-
❑√10
10 .
【巩固必刷题】 (15 题6 分，16 题5 分，共11 分)
15.(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=sin x|cos x|+cos x|sin x|，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的周期为π
2
B.f(x)的图象关于直线x=π
4 对称
C.f(x)在[0，π]上恰有3 个零点
D.若f(ωx)(ω>0)在[0，π
2]上单调递增，则ω 的最大值为1
2
【答案】BD
【解析】①当x∈[2k π ，2k π + π
2)(k∈Z)时，
f(x)=sin xcos x+cos xsin x=2sin xcos x=sin 2x，
②当x∈[2k π + π
2 ，2k π + π)(k∈Z)时，
f(x)=sin x(-cos x)+cos xsin x=0，
③当x∈[2k π + π ，2k π + 3 π
2 )(k∈Z)时，
f(x)=sin x(-cos x)+cos x(-sin x)=-2sin xcos x=-sin 2x，
④当x∈[2k π + 3 π
2 ，2k π +2π](k∈Z)时，
f(x)=sin xcos x+cos x(-sin x)=0，
因此，f(x)={
sin 2 x，2k π ≤x<2k π + π
2 ，
0，2k π + π
2 ≤x<2k π + π ，
−sin 2 x，2k π + π ≤x<2k π + 3 π
2 ，
0，2k π + 3 π
2 ≤x ≤2k π +2π ，
k∈Z，
所以函数f(x)的图象，如图所示.
A 选项，因为f(x + π
2)
=sin(x + π
2)|cos(x + π
2)|+cos(x + π
2)|sin(x + π
2)|
=cos x|sin x|-sin x|cos x|≠f(x)，故A 错误；
B 选项，由图象可知f(x)的图象关于直线x=π
4 对称，故B 正确；
C 选项，由f(x)的函数解析式以及函数图象可知，
当x∈[0，π
2)时，f(x)≥0，
当x∈[
π
2 ，π)时，f(x)=0，当x=π 时，f(x)=0，所以f(x)在[0，π]上有无数个零点，故C 错误；
D 选项，由ω>0，0≤x≤π
2 ，得0≤ωx≤π ω
2 ，
因为f(ωx)(ω>0)在[0，π
2]上单调递增，所以由f(x)的图象可知0<π ω
2 ≤π
4 ，解得0<ω≤1
2，
则ω 的最大值为1
2，故D 正确.
16.(5 分)(2025·玉溪模拟)直线y=
❑√3
2 与函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的交点为A1，A2，A3，…，
An(1≤i<j≤n，i∈N*，j∈N*)，若x∈[
1
2 ，5]，|AiAj|min=1
4 ，|AiAj|max=9
2，则f (
13
16)= .
【答案】
❑√2
2
【解析】由题意中的|AiAj|max=9
2，
而x∈[
1
2 ，5]，区间长度刚好是5-1
2=9
2，
说明区间的端点刚好是第一个交点A1与最后一个交点An的横坐标，
而|AiAj|min=1
4 ，说明是如图中|A1A2|=1
4 ，
再由sin x=
❑√3
2 在(0，2π)中的两个角之间的最小距离是2π
3 -π
3 =π
3 ，现在相当于把正弦函数中π
3 缩小到1
4 ，即
满足π
3 × 1
ω=1
4 ，解得ω=4 π
3 ，
而根据图象对称性，可知函数的最高点的横坐标为x=1
2+1
2×1
4 =5
8，
代入得f (
5
8)=sin(
4 π
3 × 5
8 +φ)=sin(
5 π
6 +φ)=1，
则5 π
6 +φ=π
2 +2kπ，k∈Z，
解得φ=-π
3 +2kπ，k∈Z，
所以f(x)=sin(
4 π
3 x−π
3 +2k π)=sin(
4 π
3 x−π
3)，k∈Z，即f(
13
16)=sin(
4 π
3 × 13
16 −π
3)=sin3 π
4 =
❑√2
2 .
