文档文本内容
【第16 讲：同角三角函数的基本关系与诱导公式】
【新高考课程标准要求】
1. 理解同角三角函数的基本关系式：掌握平方关系
，商数关系
。能够利用平方关系实现正弦、余弦的互化，利用商数关系实现弦切互
化，同时要注意公式的逆用及变形应用，如
，
等，开方时要根据角
所在象限确定符号。
2.推导并掌握诱导公式：能借助单位圆的对称性，推导出
，
的正弦、余弦、正切的诱导公式，
理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，其中奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的
变化。并能利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，进行化简、求值等运算。
【知识梳理】
一：同角三角函数的基本关系
平方关系：
。该公式可变形为
，
，
。
商数关系：
，也可变形为
。
二.三角函数的诱导公式
公式一：
，
，
，
。
公式二：
，
，
。
公式三：
，
，
。
公式四：
，
，
。
公式五：
，
。
公式六：
，
。
这些诱导公式可概括为：对于
的三角函数值，当
是偶数时，函数名不变；当
是奇数时，
函数名变为相应的余函数，即
与
互变，
与
互变（高中阶段常用
、
、
）。符号
则看把
视为锐角时，原三角函数在
所在象限的符号，简记为“奇变偶不变，符号看象限”。
【课前自测】
1．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，若
，则
的值为 ．
3．已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴非负半轴重合，终边在直线
上，求值：
．
4．（多选题）在
中，下列各式的值为常数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【考点一：同角三角函数的基本关系的应用】
【角度1：“知一求二”问题】
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，角
的终边分别与单位圆交于
两点，
两点的纵坐
标分别为
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
知识讲解与常考题型
题型分类
【针对训练】
1．已知
（x 是第二象限角），则
．
2．已知
，
，则
，
．
3．已知
，且
在第三象限，则
【解题策略】
“知一求二”是同角三角函数基本关系的核心应用，即已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个值，求另
外两个值。解题的关键是灵活运用平方关系
和商数关系
，同时结合角的
终边所在象限（或范围）确定三角函数值的符号。以下是具体解题思路分析：
一、明确已知条件与目标
1. 已知类型：通常已知
、
、
中的一个值，需求另外两个。
2. 核心公式：
平方关系：用于正弦与余弦的互求（已知其一，可通过开方求另一个）。
商数关系：用于“弦”与“切”的互化（已知弦求切，或已知切求弦）。
二、分情况解题步骤
（一）已知
或
，求另外两个值
1. 第一步：用平方关系求另一个“弦”
若已知
，则
；
若已知
，则
。
关键：开方后的符号由角
的终边所在象限决定（参考“三角函数值的符号判定”）。
2. 第二步：用商数关系求
由
，代入已求得的
和
计算即可。
（二）已知
，求
和
1. 第一步：建立方程组
联立平方关系与商数关系：
由第二个方程得
，代入第一个方程：
进而得
。
2. 第二步：确定符号
根据
的符号判断角
所在象限（正切为正，在一、三象限；为负，在二、四象限），再结
合象限对
和
的符号要求确定正负号。
三、关键注意事项
1. 符号判定是核心：
开方或求三角函数值时，必须先明确角
的终边所在象限（或范围），否则可能出现多解错误。若题
目未明确象限，需分情况讨论所有可能的象限。
2. 公式变形的灵活运用：
例如，已知
的值，可通过平方得
（即
），
再结合平方关系求解。
3. 避免增根：
当通过平方运算求解时，可能引入增根，需结合角的范围检验结果是否合理。
总结：“知一求二”的核心流程是“用公式建立关系→根据象限定符号→计算结果”，其中符号判定是避
免错误的关键，需结合三角函数值的象限规律熟练应用。
【角度2：“齐次化”问题】
【例题1】已知
，求
的值．
【针对训练】
1．已知
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．5
2．已知角
的终边落在
上，则
．
3．若
，则
．
4．已知
，求
的值．
【解题策略】
一、齐次式的定义与分类
定义：式子中
和
的次数相同的代数式。
分类：
一次齐次式：
和
均为 1 次，如
或
。
二次齐次式：
和
均为 2 次（平方项或乘积项），如
或其分
式形式。
可转化齐次式：含常数项（如 1），可通过
转化为二次齐次式。
二、“齐次化” 解题策略
核心：利用
，通过分子分母同除以
的幂（一次式除以
，二次式除以
），
将式子转化为仅含
的表达式，简化计算（尤其适用于已知
的场景）。
关键：
确保式子次数统一，必要时用
配凑齐次；
转化后直接代入
的值求解。
【角度3：“和差积”问题】
【例题1】已知
，
，求
的值.
【针对训练】
1．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题策略】
同角三角函数基本关系中“和差积”问题的解题策略
一、核心关联公式
“和差积”问题围绕
与
的三种形式展开，分别是：
和：
差：
积：
三者通过平方关系
紧密关联，核心推导公式如下：
1.
2.
3.
（和与差的平方和恒为2）
4.
（和与差的平方差为积的4 倍）
二、具体解题策略
1. 已知“和”或“差”，求“积”
若已知
，直接利用
，变形得
。
若已知
，利用
，变形得
。
2. 已知“积”，求“和”或“差”
由
求
：先计算
，再根据角
的象限确定
的符号（正或负），开方得
。
由
求
：先计算
，同理根据象限确定
的符号，开方得
。
3. 已知“和与差”，求“积”或单独三角函数值
利用
，直接得
。
联立
与
，通过解方程组得：
，
，进而可求任意三角函数值。
4. 已知“和与积”或“差与积”，求其他量
已知
和
：利用
（由
推导）求
，或直接通过
和
联立方程求
、
。
已知
和
：利用
求
，同理可进一步求解。
三、关键注意事项
1. 符号判断：
“和”或“差”的符号需结合角
所在象限及
、
的正负确定。例如：
若
在第一象限，
，
的符号由
与
的大小决定；
若
在第二象限，
、
，
的符号取决于两者绝对值大小，
（因
）。
2. 范围限制：
由
和
可知，
与
均非负，因此
的取值范围为
，解题时需确保结
果符合此范围。
3. 整体代换思想：
若问题涉及
、
或
的组合式，可直接将
、
、
作为整体代
入计算，避免单独求解
或
带来的繁琐。
核心思路：以平方关系为桥梁，实现“和、差、积”之间的相互转化，结合符号规则与范围限制，通过整
体代换简化运算，快速求解相关问题。
【考点二：诱导公式的应用】
【例题】
1.已知
，
（
），求
的值．
2.已知
，且
为第二象限角，
，求
的值．
【针对训练】
1．已知
，且
，求
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
等于（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
4．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【解题策略】
一、核心原则：“负化正，大化小，小化锐”
1. 负化正：对负角（如
），利用奇偶性转化为正角三角函数（正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数）。
2. 大化小：对大于
（或
）的角，利用周期性减去
（或
）的整数倍，缩小到
（或
）。
3. 小化锐：对
（或
）的角，通过与锐角的互余、互补关系转化（见下文分类）。
二、常见互余、互补的角及对应诱导公式
互余指两角和为
（或
），互补指两角和为
（或
），此类角度的诱导公式是转化的核心：
1. 与锐角
互余的角（和为
或
）：
（或
）：
，
，
（函数名改变，符号为正）。
（或
）：
可视为
，本质与
互余相关，公式为：
，
（符号由象限决定）。
2. 与锐角
互补的角（和为
或
）：
（或
）：
，
，
（函数名不变，符号
由第二象限特征决定）。
（或
）：
与
的补角再补
，公式为：
，
，
（符号由第三象限特征决定）。
3. 其他特殊关联角：
（或
）：与
终边关于
轴对称，公式为：
，
，
。
（或
）：可视为
，公式为：
，
（函数名改变，符号由第三象限特征决定）。
三、解题策略
1. 按步骤转化：严格遵循“负化正→大化小→小化锐”，优先处理负号和超范围角度，再利用互余、互
补关系转化为锐角。
2. 巧用“符号看象限，函数名变不变”：
对
（
），
为偶数时函数名不变，奇数时改变（正弦
余弦，正切
余切）；符号
↔
↔
由将
视为锐角时原角所在象限的三角函数符号决定。
3. 结合互余互补特征简化：若角度明显与锐角互余（如
）或互补（如
），直接套用对应
公式，减少中间步骤。
4. 合并化简复杂表达式：对含多个诱导公式的式子，先分别转化每个角，再利用同角关系合并（如
）。
四、注意事项
符号判断是关键，可借助“一全正，二正弦，三正切，四余弦”口诀记忆象限符号。
互余角公式核心是“正余互换”，互补角公式核心是“符号调整”，需区分函数名是否变化。
特殊角（如
、
）可直接套用公式（如
），无需额外转化。
一、单选题
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知角
的终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3．已知函数
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
6．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，角
的终边不在
轴上，则
（ ）
课后针对训练
A．0
B．
C．
D．
8．已知
，且
，求
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
9．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．已知
，且
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．已知
，则
.
12．若
，且
，则
.
四、解答题
13．已知
.
(1)化简
；
(2)若
，求
.
14．已知
，α 是第三象限角．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
15．已知关于
的方程
的两根为
和
，其中
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值
