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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第1 讲 三角函数的运算
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)等于( )
A.
❑√2
10
B.
❑√2
5
C.3 ❑√2
10
D.7 ❑√2
10
2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于( )
A.-3m
B.-m
3
C.m
3
D.3m
3.(2024·全国甲卷，理T8)已知
cosα
cosα −sin α =❑√3，则tan (α + π
4)等于( )
A.2❑√3+1
B.2❑√3-1
C.
❑√3
2
D.1-❑√3
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=1
3，cos αsin β=1
6，则cos(2α+2β)等于( )
A.7
9
B.1
9
C.-1
9
D.-7
9
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC 的面积为1
4 ，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=1
4 ，则(
)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=❑√2
C.sin A+sin B=
❑√6
2
D.AC2+BC2=3
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=❑√2+1，则
sin(α+β)= .
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查
一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6 分.
【考向预测】一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同
角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解
齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角
公式的灵活运用等.
1.【答案】D
【解析】由题意得cos α=2cos2α
2 -1
=2×(
❑√5
5 )
2
-1=-3
5，
因为0<α<π，则sin α=❑√1−co s
2α=❑√1−(−3
5)
2
=4
5 ，
所以sin(α −π
4)=sin αcos π
4 -cos αsin π
4 =4
5 ×
❑√2
2 -(−3
5)×
❑√2
2 =7 ❑√2
10 .
2.【答案】A
【解析】由cos(α+β)=m 得cos αcos β-sin αsin β=m.
①
由tan αtan β=2 得sin α sin β
cosα cos β =2，
②
由①②得{
cosα cos β =−m，
sin α sin β =−2m，
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
3.【答案】B
【解析】因为
cosα
cosα −sin α =❑√3，
所以
1
1−tan α =❑√3⇒tan α=1-
❑√3
3 ，
所以tan(α + π
4)= tan α +1
1−tan α =2❑√3-1.
4.【答案】B
【解析】因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=1
3，
而cos αsin β=1
6，
因此sin αcos β=1
2，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=2
3，
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(
2
3)
2
=1
9.
5.【答案】ABC
【解析】cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2，
整理可得sin C=sin2A+sin2B，A 选项正确；
方法一 由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，
若A+B=π
2 ，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立；
若A+B<π
2 ，即0<A<π
2 -B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<sin(
π
2 −B)=cos B，同理sin B<cos
A，
又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0，
与条件不符，故A+B<π
2 不成立；
若A+B>π
2 ，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>π
2 不成立.
综上可知，A+B=π
2 ，即C=π
2 .
则cos Acos Bsin C=1
4 =cos Acos B，由A+B=π
2 ，得cos B=sin A，即sin Acos A=1
4 ，
则sin 2A=1
2，同理sin 2B=1
2，因为A，B∈(0，π
2)，则2A，2B∈(0，π)，
不妨设A<B，则2A=π
6 ，2B=5 π
6 ，
即A= π
12，B=5 π
12 ，
由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin π
12+sin 5 π
12 =
❑√6−❑√2
4
+
❑√6+ ❑√2
4
=
❑√6
2 ，C 选项正确；
由两角和的正切公式可得，tan 5 π
12 =2+❑√3，
设BC=t(t>0)，AC=(2+❑√3)t，
则AB=(❑√2+❑√6)t，
由S△ABC=1
2(2+❑√3)t2=1
4 ，则t2=4−2❑√3
4
=(
❑√3−1
2 )
2
，则t=
❑√3−1
2
，
于是AB=(❑√2+❑√6)t=❑√2，B 选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D 选项错误.
方法二 sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]，
于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，
设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，
由余弦定理可知cos C≥0，则C∈(0，π
2]，
若C∈(0，π
2)，则A+B>π
2 ，注意到cos Acos Bsin C=1
4 ，则cos Acos B>0，
于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈(0，π
2)，
结合A+B>π
2 ⇔A>π
2 -B，而A，π
2 -B 都是锐角，则sin A>sin(
π
2 −B)=cos B>0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sin C≤1 矛盾，
故C∈(0，π
2)不成立，则C=π
2 .下同方法一.
方法三 cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B，
所以sin C=sin2A+sin2B，故A 正确；设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R，
可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，
则cos C>0，0<C<π
2 ，
则A+B>π
2 ⇒A>π
2 -B，则sin A>sin (
π
2 −B)，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈(0，π
2)矛盾，故a2+b2=c2，则C=π
2 ，
即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=1
4 ，则sin Asin B=1
4
，
因为S△ABC=1
2absin C=1
4 ⇒ab=1
2，
所以
ab
sin A sin B =(2R)2=2⇒2R=❑√2，所以
c
sinC =2R=❑√2⇒c=❑√2，故B 正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+1
2=3
2⇒sin A+sin B=
❑√6
2 ，故C 正确；
因为C=π
2 ，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D 错误.
6.【答案】-2❑√2
3
【解析】方法一 由题意得tan(α+β)
= tan α + tan β
1−tan α tan β =
4
1−(❑√2+1)=-2❑√2，
因为α∈(2k π ，2k π + π
2)，
β∈(2m π + π ，2m π + 3 π
2 )，k，m∈Z，
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α+β)=-2❑√2<0，
则α+β∈((2m+2k )π + 3 π
2 ，(2m+2k )π +2π)，k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，
则sin(α + β)
cos(α + β)=-2❑√2，
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
解得sin(α+β)=-2❑√2
3
.
方法二 因为α 为第一象限角，β 为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cos α=
cosα
❑√sin
2α +co s
2α
=
1
❑√1+tan
2α
，
cos β=
cos β
❑√sin
2 β +co s
2 β
=
−1
❑√1+tan
2 β
，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
−4
❑√1+tan
2α
❑√1+tan
2 β
=
−4
❑√(tan α + tan β)
2+(tan α tan β −1)
2
=
−4
❑√4
2+2
=-2❑√2
3
.
考点一 同角三角函数基本关系与诱导公式
【典例】1 (1)(2025·石家庄模拟)已知x∈[0，π
4]，cos(x−π
2)-cos(3π+x)=3 ❑√5
5
，则tan(x + 5 π
4 )等于(
)
A.1
B.2
C.❑√5
D.3
【答案】D
【解析】因为cos(x−π
2)-cos(3 π + x)=3 ❑√5
5
，
所以sin x+cos x=3 ❑√5
5
，
方法一 所以❑√2sin(x + π
4)=3 ❑√5
5
，
所以sin(x + π
4)=3 ❑√10
10
，
因为x∈[0，π
4]，
则x+π
4 ∈[
π
4 ，π
2]，
所以cos(x + π
4)=❑√
1−sin
2(x + π
4)=
❑√10
10 ，
所以tan(x + π
4)=3，
所以tan(x + 5 π
4 )=tan(π + x + π
4)=tan(x + π
4)=3.
方法二 与sin2x+cos2x=1 联立得
{
sin x =
❑√5
5 ，
cos x = 2❑√5
5
或{
sin x = 2❑√5
5
，
cos x =
❑√5
5
(舍去)，
所以tan x=1
2，
所以tan(x + 5 π
4 )=tan(x + π
4)= tan x +1
1−tan x =3.
(2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β- sin
2 β
tan
2 β
等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3
【答案】B
【解析】因为tan2βsin2β=3，
所以(sin2β)2=3(1-sin2β)，
所以sin4β+3sin2β=3，
则tan2β-2sin2β- sin
2 β
tan
2 β
=
3
sin
2 β -2sin2β-
sin
2 β
3
sin
2 β
=
3
sin
2 β -2sin2β-sin
4 β
3
=9−6 sin
4 β −sin
6 β
3 sin
2 β
=3 sin
4 β +9 sin
2 β −6 sin
4 β −sin
6 β
3 sin
2 β
=−3 sin
2 β +9−sin
4 β
3
=−3 sin
2 β +3 sin
4 β +9 sin
2 β −sin
4 β
3
=2sin
4 β +6 sin
2 β
3
=2×3
3
=2.
【考法归纳】应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α 的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
【变式训练】1 (1)(多选)已知sin α=4
5 ，α∈(
π
2 ，π)，则( )
A.sin(π-α)=4
5
B.tan(π+α)=-3
4
C.sin(
π
2 −α)=-3
5
D.cos(
3 π
2 −α)=-3
5
【答案】AC
【解析】因为sin α=4
5 ，α∈(
π
2 ，π)，
所以cos α=-3
5，
则tan α= sin α
cosα =-4
3 .
则sin(π-α)=sin α=4
5 ，
tan(π+α)=tan α=-4
3 ，
sin(
π
2 −α)=cos α=-3
5，
cos(
3 π
2 −α)=-sin α=-4
5 .
(2)(2025·安庆模拟)已知tanθ tan2θ
tanθ−tan2θ=4
5 ，则sin4θ+cos4θ 等于( )
A. 9
25
B.3
5
C.17
25
D.24
25
【答案】C
【解析】因为tanθ tan2θ
tanθ−tan2θ =4
5 ，
所以
sinθ
cosθ · sin 2θ
cos2θ
sinθ
cosθ −sin 2θ
cos2θ
=4
5 ，
所以
sinθsin2θ
sinθcos2θ−cosθsin2θ =4
5 ，
所以sinθsin 2θ
sin(θ−2θ)=4
5 ，
所以sin 2θ=-4
5 ，
所以2sin θcos θ=-4
5 ，
所以sin θcos θ=-2
5，
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2× 4
25=17
25.
考点二 三角恒等变换
考向1 公式的直接应用
【典例】2 (1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin(α −π
6)=
❑√3
4 ，则cos(2α + π
3)等于( )
A.3 ❑√3
8
B.5
8
C.-3 ❑√3
8
D.-5
8
【答案】B
【解析】由cos α+sin(α −π
6)=
❑√3
4 ，
得cos α+
❑√3
2 sin α-1
2cos α=
❑√3
2 sin α+1
2cos α=sin(α + π
6)=
❑√3
4 ，
所以cos(2α + π
3)=1-2sin2(α + π
6)=1-2×(
❑√3
4 )
2
=5
8.
(2)(2025·昆明质检)若cos2α
1+sin 2α = sin 2 β
1+cos2 β ，则( )
A.tan(α-β)=1
B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1
D.tan(α+β)=-1
【答案】B
【解析】因为cos2α
1+sin2α = sin2 β
1+cos2 β ，
则co s
2α −sin
2α
(cosα +sin α )
2=2sin β cos β
2co s
2 β
，
则cosα −sin α
cosα +sin α = sin β
cos β ，所以1−tan α
1+ tan α =tan β，
所以1-tan α=tan β+tan αtan β，
即得1-tan αtan β=tan β+tan α，
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β =1.
考向2 角的配凑
【典例】3 (1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=
❑√5
5 ，sin(α+β)=
❑√2
10 ，则cos β 等于(
)
A.
❑√10
10
B.-
❑√10
10
C.9 ❑√10
50
D.-9 ❑√10
50
【答案】B
【解析】由α∈(0，π)，0<cos α=
❑√5
5 <
❑√2
2 ，
可得α∈(
π
4 ，π
2)，
则sin α=❑√1−co s
2α=❑√1−1
5=2❑√5
5
，
因为β∈(0，π)，所以α+β∈(
π
4 ，3 π
2 )，
又因为0<sin(α+β)=
❑√2
10 <
❑√2
2 ，
所以3 π
4 <α+β<π，cos(α+β)=-7 ❑√2
10 ，
cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-7 ❑√2
10 ×
❑√5
5 +
❑√2
10 ×2❑√5
5
=-
❑√10
10 .
(2)(2025·济南模拟)若sin 2α=
❑√5
5 ，sin(β-α)=
❑√10
10 ，且α∈[
π
4 ，π
2]，β∈[π ，3 π
2 ]，则α+β 等于( )
A.4 π
3
B.5 π
3
C.7 π
4
D.11π
6
【答案】C
【解析】因为α∈[
π
4 ，π
2]，所以2α∈[
π
2 ，π]，则由sin 2α=
❑√5
5 >0，
得cos 2α=-❑√1−sin
22α=-❑√
1−(
❑√5
5 )
2
=-2❑√5
5
，同时也能确定α∈(
π
4 ，π
2)，
因为sin(β-α)=
❑√10
10 >0，β∈[π ，3 π
2 ]，α∈(
π
4 ，π
2)，所以β-α∈(
π
2 ，π)，
cos(β-α)=-❑√1−sin
2( β −α )=-❑√
1−(
❑√10
10 )
2
=-3 ❑√10
10
，
所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α
=(−3 ❑√10
10 )×(−2❑√5
5 )-
❑√10
10 ×
❑√5
5 =
❑√2
2 ，
因为α∈(
π
4 ，π
2)，β∈[π ，3 π
2 ]，所以α+β∈(
5 π
4 ，2π)，
故α+β=7 π
4 .
考向3 积化和差与和差化积
【典例】4 (1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈(0，π
4)是偶函数，则g(x)=sin
xsin(x+4θ)的最大值为( )
A.-1
4
B.3
4
C.1
D.1
4
【答案】B
【解析】由f(x)是偶函数，得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ)，
展开并整理得cos 2θ=sin 4θ，
根据二倍角公式得cos 2θ=2sin 2θcos 2θ，
又θ∈(0，π
4)，则2θ∈(0，π
2)，
所以cos 2θ≠0，则sin 2θ=1
2，θ= π
12，
则g(x)=sin xsin(x + π
3)，
利用积化和差公式得
sin xsin(x + π
3)
=1
2[cos(−π
3)−cos(2 x + π
3)]，
化简得g(x)=1
4 -1
2cos(2 x + π
3)，
当cos(2 x + π
3)=-1 时，g(x)取得最大值3
4 .
(2)(2025·南昌模拟)已知α，β 终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于( )
A.3
2
B.2
3
C.4
3
D.3
4
【答案】D
【解析】因为sin α-3cos β=sin β-3cos α，
所以sin α-sin β=3(cos β-cos α)，
又sin α-sin β=2cosα + β
2
sinα −β
2
，
cos β-cos α=2sinα + β
2
sinα −β
2
，
所以2cosα + β
2
sinα −β
2
=6sinα + β
2
sinα −β
2
，
因为α，β 的终边不重合，则α-β≠2kπ(k∈Z)，则α −β
2
≠kπ(k∈Z)，
所以sinα −β
2
≠0，则3sinα + β
2
=cosα + β
2
，所以tanα + β
2
=1
3，
因此tan(α+β)=
2tan α + β
2
1−tan
2 α + β
2
=
2× 1
3
1−1
9
=3
4 .
【考法归纳】三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=α + β
2
+α −β
2
，2α=(α+β)+(α-
β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单
一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
【变式训练】2 (1)(2025·亳州模拟)已知sin α=3
5，α∈(
π
2 ，π)，若sin(α + β)
cos β
=4，则tan(α+β)等于(
)
A.-16
7
B. -7
8
C.16
7
D.2
3
【答案】C
【解析】因为sin α=3
5，α∈(
π
2 ，π)，
所以cos α=-❑√1−sin
2α=-4
5 ，
tan α= sin α
cosα =-3
4 ，
因为sin(α + β)
cos β
=sin α cos β +cosα sin β
cos β
=sin α+cos αtan β=3
5-4
5 tan β=4，
所以tan β=-17
4 ，
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β
=
−3
4 −17
4
1−(−3
4)×(−17
4 )
=16
7 .
(2)(2025·长春模拟)已知cos(α + π
3)=4
5 ，cos(β −π
3)= 5
13，α，β∈(−π
3 ，π
3)，则cos(α+β)等于( )
A.16
65
B.33
65
C.56
65
D.63
65
【答案】C
【解析】∵α，β∈(−π
3 ，π
3)，
∴α+π
3 ∈(0，2π
3 )，β-π
3 ∈(−2π
3 ，0)，
又∵cos(α + π
3)=4
5 >0，cos(β −π
3)= 5
13>0，
∴α+π
3 ∈(0，π
2)，β-π
3 ∈(−π
2 ，0)，
∴sin(α + π
3)>0，sin(β −π
3)<0，
∴sin(α + π
3)=❑√
1−co s
2(α + π
3)=3
5，
sin(β −π
3)=-❑√
1−co s
2(β −π
3)=-12
13，
则cos(α+β)=cos[(α + π
3)+(β −π
3)]
=cos(α + π
3)cos(β −π
3)-sin(α + π
3)sin(β −π
3)=4
5 × 5
13-3
5×(−12
13)=56
65.
(3)(2025·新余模拟)已知α，β∈(0，π
2)，cos2α-cos2β=1
5，cos(α+β)=2❑√2
3
，则tan α −β
2
等于( )
A.-1
3
B.1
3
C.3
D.-3
【答案】A
【解析】因为cos2α-cos2β=1
2(cos 2α-cos 2β)
=-sin(α+β)sin(α-β)=1
5，
又因为cos(α+β)=2❑√2
3
，且α，β∈(0，π
2)，α+β∈(0，π)，
所以sin(α+β)=1
3，故sin(α-β)=-3
5，
又由于α，β∈(0，π
2)，
α-β∈(−π
2 ，π
2)，
所以cos(α-β)=4
5 ，
tan α −β
2
= sin(α −β)
1+cos(α −β)=-1
3.
专题强化练
[分值：84 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知cos(
9 π
2 −α)=7
8，则sin(3π+α)等于( )
A.-7
8
B.7
8
C.-
❑√15
8
D.
❑√15
8
【答案】A
【解析】由cos(
9 π
2 −α)=cos(2π ×2+ π
2 −α)=cos(
π
2 −α)=sin α=7
8，
得sin(3π+α)=-sin α=-7
8.
2.已知cos α+❑√3sin α=8
5，则sin(α + π
6)等于( )
A.3
5
B.4
5
C.-3
5
D.-4
5
【答案】B
【解析】因为cos α+❑√3sin α
=2(
1
2 cosα +
❑√3
2 sin α)=2sin(α + π
6)=8
5，
所以sin(α + π
6)=4
5 .
3.(2025·惠州模拟)若tan α= cosα
3−sin α ，则sin(2α + π
2)等于( )
A.2
3
B.1
3
C.8
9
D.7
9
【答案】D
【解析】tan α= sin α
cosα = cosα
3−sin α ，化简得3sin α-sin2α=cos2α，
所以3sin α=sin2α+cos2α=1，
即sin α=1
3，
所以sin(2α + π
2)=cos 2α=1-2sin2α=7
9.
4.(2025·济宁模拟)已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α 终
边上一点，则cos(2α −π
4)等于( )
A.-
❑√2
10
B.- 1
10
C. 1
10
D.
❑√2
10
【答案】A
【解析】由题意可得，tan α=3m
m =3，所以sin 2α= 2tan α
1+tan
2α = 2×3
1+3
2=3
5，
cos 2α=1−tan
2α
1+tan
2α
=1−3
2
1+3
2 =-4
5 ，
cos(2α −π
4)=
❑√2
2 (cos 2α+sin 2α)=
❑√2
2 ×(−1
5)=-
❑√2
10 .
5.(2025·张家口模拟)已知sin(α + π
6)=- 1
12，则sin(2α −π
6)等于( )
A.12
13
B.-12
13
C.71
72
D.-71
72
【答案】D
【解析】方法一 (整体代换法)
因为sin(α + π
6)=- 1
12，
则sin(2α −π
6)=-sin(
π
6 −2α)=-sin[
π
2 −2(α + π
6)]=-cos 2(α + π
6)
=-[1−2sin
2(α + π
6)]=2×(−1
12)
2
-1=-71
72.
方法二 (换元法)
令t=α+π
6 ，则α=t-π
6 ，sin t=- 1
12，
所以sin(2α −π
6)=sin[2(t −π
6)−π
6]
=sin(2t −π
2)=-cos 2t=2sin2t-1
=2×(−1
12)
2
-1=-71
72.
6.(2025·南昌模拟)已知α，β 都是锐角，sin(α+β)=3 ❑√10
10
，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于( )
A.
❑√6
3
B.2❑√5
5
C.
❑√6
4
D.3 ❑√10
10
【答案】D
【解析】由tan α=2tan β，得sin αcos β=2cos αsin β，由sin(α+β)=3 ❑√10
10
，
得sin αcos β+cos αsin β=3 ❑√10
10
，
则sin αcos β=
❑√10
5 ，cos αsin β=
❑√10
10 ，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=
❑√10
5
-
❑√10
10 =
❑√10
10 ，
由α，β 都是锐角，得-π
2 <α-β<π
2 ，
所以cos(α-β)=❑√1−sin
2(α −β )=3 ❑√10
10
.
7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，
G，H 恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于( )
A.-3
B.-2❑√2
C.-2❑√2+1
D.-❑√2-1
【答案】D
【解析】如图，连接AE，BF，CG，DH，AC，BE，BH，
设线段AE 与CG 的交点为O，线段BH 与线段AE 的交点为M，
因为∠COB=∠AOB=π
4 ，
所以∠AOC=π
2 ，又OC=OA，
所以∠ACG=π
4 ，
设OA=a，则OB=OE=a，
所以OM=BM=
❑√2
2 a，
所以tan∠EBH= EM
BM =OE+OM
BM
=
a+
❑√2
2 a
❑√2
2 a
=2+ ❑√2
❑√2 =❑√2+1，
所以tan α=1，tan β=❑√2+1，
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β = 1+ ❑√2+1
1−(❑√2+1)=-❑√2-1.
8.(2025·南通模拟)已知x，y∈(0，π
2)，cos(x+y)=- 5
13，sin 2x-sin 2y=- 6
13，则tan 2x 等于( )
A.63
16
B.33
16
C.-33
56
D.-9
8
【答案】C
【解析】由和差化积公式得sin 2x-sin 2y=2sin(x-y)cos(x+y)，
由题意可知sin 2x-sin 2y=- 6
13，cos(x+y)=- 5
13，所以sin(x-y)=3
5，
因为x，y∈(0，π
2)，sin(x-y)>0，cos(x+y)<0，
所以x-y∈(0，π
2)，x+y∈(
π
2 ，π)，
所以cos(x-y)=❑√1−sin
2( x −y )=4
5 ，sin(x+y)=❑√1−co s
2( x + y )=12
13，
因为sin 2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=12
13×4
5 +(−5
13)×3
5=33
65，
cos 2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=(−5
13)×4
5 -12
13×3
5=-56
65，
所以tan 2x= sin2 x
cos2 x =-33
56.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·佛山模拟)已知角α 的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是( )
A.sin(α-π)=4
5
B.sin(α + π
2)=-3
5
C.sin 2α=-24
25
D.cos 2α= 7
25
【答案】BC
【解析】由角α 的终边经过点A(-3，4)，
可得sin α=4
5 ，cos α=-3
5，
对于A，sin(α-π)=-sin α=-4
5 ≠4
5 ，故A 错误；
对于B，sin(α + π
2)=cos α=-3
5，故B 正确；
对于C，sin 2α=2sin αcos α=2×4
5 ×(−3
5)=-24
25，故C 正确；
对于D，cos 2α=2cos2α-1=2×(−3
5)
2
-1=- 7
25≠7
25，故D 错误.
10.下列说法正确的有( )
A.tan 200°+tan 40°+❑√3tan(-160°)tan 40°=-❑√3
B.已知cos(
π
6 +α)=2
5，则sin(
5 π
6 +2α)=-17
25
C.sin 50°(1+❑√3tan 10°)=1
D.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2
【答案】BCD
【解析】对于A，由诱导公式可知tan 200°=tan(-160°)=tan 20°，
又tan 60°=tan(20°+40°)= tan20°+ tan 40°
1−tan20° tan 40°
=❑√3，
即tan 20°+tan 40°=❑√3-❑√3tan 20°tan 40°，
所以tan 200°+tan 40°+❑√3tan(-160°)tan 40°=tan 20°+tan 40°+❑√3tan 20°tan 40°=❑√3，A 选项错误；
对于B，由cos(
π
6 +α)=2
5，
则sin(
5 π
6 +2α)=sin[2(
π
6 +α)+ π
2]=cos 2(
π
6 +α)=2cos2(
π
6 +α)-1=-17
25，B 选项正确；
对于C，sin 50°(1+❑√3tan 10°)=sin 50°·
❑√3sin10°+cos10°
cos10°
=sin 50°·2sin 40°
cos10° =2sin50°cos50°
cos10°
=sin100°
cos10° =
cos10°
cos10° =1，C 选项正确；
对于D，在△ABC 中，tan C=tan [π-(A+B)]=-tan(A+B)=- tan A + tan B
1−tan A tan B ，
设tan Atan B=k>1，则在△ABC 中，tan A>0，tan B>0，
所以tan A+tan B≥2❑√tan A tan B=2❑√k>2，
tan Atan Btan C=tan Atan B· tan A + tan B
tan A tan B−1>
k
k −1·2=2(1+
1
k −1)>2，D 选项正确.
11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β 满足
1−cos2α
2sin α −sin 2α = sin 2 β
1+cos2 β ，
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则(
)
A.α+2β=π
B.tan(α+β)=-2
C.sin α=3
5
D.tan α∶tan β=2∶3
【答案】ABD
【解析】对于A，由
1−cos2α
2sin α −sin 2α = sin 2 β
1+cos2 β ，
得
2sin
2α
2sin α −2sin α cosα =2sin β cos β
2co s
2 β
，
即
sin α
1−cosα = sin β
cos β ，
所以sin αcos β=sin β-cos αsin β，
所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)，
又α，β∈(0，π
2)，所以α+β∈(0，π)，
所以β+α+β=α+2β=π 或β=α+β(舍去)，故A 正确；
对于B，由
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，
得tan α + tan β
tan α tan β +
2
tan α tan β =2，
即tan α+tan β=-2(1-tan αtan β)，
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β =-2，故B 正确；
对于C，由A 项分析得tan β=tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=2，
所以tan α=tan [(α+β)-β]= tan(α + β)−tan β
1+ tan(α + β)tan β =−2−2
1−4 =4
3 ，
即sin α
cosα =4
3 ，又sin2α+cos2α=1，
所以sin α=4
5(sin α =−4
5 舍去)，故C 错误；
对于D，由C 项分析知，tan α∶tan β=4
3 ∶2=2∶3，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.若cos(α + π
4)cos(α −3 π
4 )=-1
3，则sin 2α= .
【答案】1
3
【解析】因为cos(α + π
4)cos(α −3 π
4 )
=1
2[cos(α + π
4 +α −3 π
4 )+cos(α + π
4 −α + 3 π
4 )]
=1
2[cos(2α −π
2)+cos π] =1
2(sin 2α-1)=-1
3，所以sin 2α=1
3.
13.(2025·浙江Z20 名校联盟联考)已知α，β∈(0，π
2)，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=1
3，则cos α=
.
【答案】7
9
【解析】方法一 由sin αtan β=1-cos α，
则sin αsin β=cos β-cos αcos β，
因此cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=cos β，
又因为α，β∈(0，π
2)，则α-β∈(−π
2 ，π
2)，
所以α-β=β，所以α=2β，
则sin(α-β)=sin β=1
3，cos α=cos 2β=1-2sin2β=7
9.
方法二 由sin αtan β=1-cos α，
则tan β=1−cosα
sin α
=tanα
2 ，
结合β∈(0，π
2)，α
2 ∈(0，π
4)，则α
2 =β，α=2β，
则sin(α-β)=sin β=1
3，cos α=cos 2β=1-2sin2β=7
9.
14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈(0，π
2)，sin(2α+β)=3sin β，则tan β 的最大值为 .
【答案】
❑√2
4
【解析】因为sin(2α+β)=3sin β，
所以sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]，
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]，
即2cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α，
所以tan(α+β)=2tan α，又tan α>0，
所以tan β=tan[(α+β)-α]= tan(α + β)−tan α
1+ tan(α + β)tan α =
tan α
1+2tan
2α =
1
1
tan α +2tan α ≤
1
2❑√
1
tan α ·2tan α
=
❑√2
4 ，
当且仅当
1
tan α =2tan α，即tan α=
❑√2
2 时，等号成立，所以tan β 的最大值为
❑√2
4 .
【巩固必刷题】(15 题6 分，16 题5 分，共11 分)
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横坐标x 和纵坐
标y 都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x、纵坐标y 都是角α 的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
③把点P 的纵坐标y 的倒数叫做α 的余割函数，记作csc α，即1
y =csc α；
④把点P 的横坐标x 的倒数叫做α 的正割函数，记作sec α，即1
x =sec α.
下列结论正确的有( )
A.csc5 π
4 =-❑√2
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x 的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
【答案】ABD
【解析】csc5 π
4 =
1
sin 5 π
4
=-❑√2，A 正确；
cos α·sec α=cos α·
1
cosα =1，B 正确；
函数f(x)=sec x 的定义域为
{x|x≠k π + π
2 ，k ∈Z}，C 错误；
sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+
1
co s
2α +
1
sin
2α
=1+
1
sin
2α co s
2α =1+
4
sin
22α ≥5，
当且仅当sin 2α=±1 时，等号成立，D 正确.
16.(5 分)在正三角形ABC 中，由e·(⃗AB+⃗BC +⃗CA)=e·0=0(e 为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos
(θ+ 2π
3 )+cos(θ+ 4 π
3 )=0，其中θ=〈e，⃗AB〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式
；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°= .
【答案】cos θ+cos(θ+ 2π
n )+cos(θ+ 4 π
n )+…+cos[θ+ 2(n−1)π
n
]=0 3
2
【解析】记单位向量为e，在边长为a 的正n(n≥3)边形A1A2A3…An中，θ=〈e，⃗A1 A2〉，
因为e·(⃗A1 A2+⃗A2 A3+⃗A3 A4+…+⃗An A1)
=e·0=0，
所以e·⃗A1 A2+e·⃗A2 A3+e·⃗A3 A4+…+e·⃗An A1
=a{cosθ+cos(θ+ 2π
n )+cos(θ+ 4 π
n )+…+ cos[θ+ 2(n−1)π
n
]}=0，
所以cos θ+cos(θ+ 2π
n )+cos(θ+ 4 π
n )+…+cos[θ+ 2(n−1)π
n
]=0，
cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°=1+cos10°
2
+1+cos130°
2
+1+cos250°
2
=3
2+1
2(cos 10°+cos 130°+cos 250°).
由恒等式cos θ+cos(θ+ 2π
3 )+cos(θ+ 4 π
3 )=0，令θ=10°，
可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0，
即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0，
cos25°+sin225°+cos2125°=3
2.
