文档文本内容
4.1 三角函数的概念、诱导公式
目录
01思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、任意角与弧度制................................................................................................................3
知识点二、任意角的三角函数............................................................................................................4
知识点三、三角函数的诱导公式........................................................................................................4
方法总结1：三角完全平方公式.........................................................................................................5
方法总结2：齐次式转化.....................................................................................................................5
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................7
题型一：角的概念及表示方法..........................................................................................................12
题型二：弧度制的定义与应用..........................................................................................................15
题型三：三角函数的基本定义..........................................................................................................17
题型四：同角三角函数基础关系式..................................................................................................19
题型五：三角函数诱导公式..............................................................................................................21
题型六：同角关系式与诱导公式综合应用......................................................................................23
题型七：割圆术类问题......................................................................................................................27
05 课后拓展精练................................................................................................................................31知识点一、任意角与弧度制
1、各种角的集合：
角的集合 角度制 弧度制
①与角 终边相
同的角的集合(含角
)
②终边在 轴的
非负半轴上的角的集
合
③终边在 轴上
的角的集合
④终边在坐标轴
上的角的集合
⑤终边在第一(二
三四)象限的角的集合
2、注意角 与角 及 的象限关系．
（1)图中序号表示角 的象限，序号所在区域为角 (或 ）的终边所在区域．
（2）由角 的象限推理角 及 的象限，列不等式对 进行赋值判断即可．
3、角度与弧度的互化公式：① ，② ，③
4、①弧长公式： ，
②扇形面积公式： ，其中 ．知识点二、任意角的三角函数
1、任意角的三角函数的定义：
(1)借助单位圆来定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，
则： ， ， ．
(2)设角 终边上任意一点 的坐标为 ，它到原点的距离为 ，
则： ， ， ．
①定义域、值域： ， 定义域都是 ，值域都是 ； 定义域是 ，
值域为 ．
②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
③ 点又可表示为 ，在已知 或 的情形下使用，这将给解题带来方便．
2、单位圆中的三角函数线(有向线段)： ， ， (如下图)．
3、同角三角函数的基本关系式：
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： ．
知识点三、三角函数的诱导公式
1、诱导公式
公
一 二 三 四 五 六
式
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正
sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
弦余
cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
弦
正
tanα tanα −tanα −tanα
切
口 函数名改变，符号看
函数名不变，符号看象限
诀 象限
2、“奇变偶不变，符号看象限”
(1)奇、偶是指 中的 奇偶． 奇函数名改变， 偶函数名不变
①正弦和余弦互相变，
②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导．
(2)默认 为第一象限角
(3)观察 整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况．
方法总结1：三角完全平方公式
①
②
③
方法总结2：齐次式转化
①一次分式齐次 同除以 进行弦化切．
②二次整式齐次 除以1 ，再除以 进行弦化切．1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
，
即集合 ，且集合 ，所以 .
2．（2025年高考天津卷数学真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，则“ ”是“ ”的充分条件；
又当 时， ，可知 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件，
综上可知，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上，
．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
7．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
8．（2025年高考北京卷数学真题）已知 ，且 ， .写出满足条件的一组 的值 ________， _________．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】因为 ， ，
所以 的终边关于 轴对称，且不与 轴重合，
故 且 ，
即 ，
故取 可满足题设要求；
故答案为： ； （答案不唯一）
9．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于
原点对称.若 ，则 的最大值为________．
【答案】 /
【解析】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
10．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若 ，则 ________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .故答案为： .
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 __________，
_________．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .题型一：角的概念及表示方法
【典例1-1】下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是
B．若 是第二象限角，则 也是第二象限角
C．终边落在直线 上的角的集合是
D．若圆心角为 的扇形的面积为 ，则扇形的弧长为
【答案】D
【解析】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，
时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为 ，
4小时转过的角度为 ，故A错误；
对于B，若 为第二象限角，则 ，
所以 ，则 是第一或第三象限角，故B错误；
对于C，终边落在直线 上的角满足 ，故C错误；
对于D，若圆心角为 的扇形的面积为 ，
设扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，则 ，
由 ，故D正确．
【典例1-2】下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角都比第二象限角小
B．小于 的角是锐角
C．终边相同的角一定相等
D．终边在 轴非负半轴上的角的集合是【答案】D
【解析】选项A. 是第一象限角， 是第二象限角，但是 ，错误.
选项B. ，但它不是锐角，错误.
选项C.终边相同的角相差 的整数倍，不一定相等，错误.
选项D.终边在 轴非负半轴上的角，就是 加上 的整数倍，集合表示为 ，
正确.
【变式1-1】下列各角中，与 终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】与 终边相同的角为 ，
当 时， ，
故下列各角中，与 终边相同的角为 ．
【变式1-2】若角 和 的终边关于 轴对称，则必有（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】如图，设 ， 分别是角 ， 终边相同的角，
由角 和 的终边关于 轴对称，得 ，所以 ， ．
【变式1-3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先将角度转化为弧度， ，
所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为 .
【变式1-4】若 ，则 是（ ）
A．第二或第四象限角 B．第三象限角
C．第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】A
【解析】由 ， ，则 是第三象限角，
即 ，
所以 ，
当 ，即 为偶数时，
，此时 是第二象限角；
当 ，即 为奇数时，
，此时 是第四象限角；
综上 是第二或第四象限角.
【变式1-5】若 是第二象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角
【答案】D
【解析】 ， ，
， ，
当 时， ， 是第一象限角；当 时， ， 是第二象限角；
当 时， ， 是第四象限角.
故选：D.
题型二：弧度制的定义与应用
【典例2-1】已知某扇形的圆心角为 ，半径为12，则此扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知圆心角 ，半径 ，
利用扇形弧长公式得： .
【典例2-2】现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为 ，完全
展开时扇骨间的夹角为 .若扇面的上弧长与下弧长之比为 ，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆台的上下底面半径分别为 ， ，由题知扇面的外径为 ，内径为 ，
所以圆台的母线长 ，上弧长 ，则 ，
下弧长 ，则 ，
则圆台的高 .
【变式2-1】当代水墨画常以扇环形构图.如图，若 ， ， ，则此扇环形水
墨画的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ， ， ，
所以此扇环形水墨画的面积为 .
【变式2-2】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的周长为 ，
所以 ，所以扇形的面积为 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以当 时，扇形的面积取得最大值.
【变式2-3】第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫
（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为
，弦长为 ，求弓形的面积约为（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设扇形所在圆 的半径为 ，
则弦长的一半为 ，弦的中点到圆心的距离为 ，根据勾股定理得 ，整理得 ，解得 ，
设扇形所对的圆心角为 ，因为弦长为 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，即
所以扇形的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
因为 ，所以弓形的面积为 .
题型三：三角函数的基本定义
【典例3-1】若角 的终边上有一点 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． 或1 D． 或
【答案】B
【解析】由题意得： ，
所以 ，解得 .
【典例3-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
点 在角 的终边上，则角 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， , 且 为第四象限角，则 ，
根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意.
【变式3-1】（2026·江苏无锡·三模）在平面直角坐标系 中，已知锐角 的终边与单位圆交于 ，
角 的终边与单位圆交于 ，若 ，则 的值为（ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为锐角 的终边与单位圆交于 ，角 的终边与单位圆交于 ，
所以，由三角函数的定义知 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为锐角 ， ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得 ，则 .
【变式3-3】（2026·广西贵港·三模）若角 的终边经过点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由角 的终边经过点 ，得 ，
所以 .
【变式3-4】（2026·河北保定·二模）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在
直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当角 的终边落在第二象限时，取一点 ，
则 ，
所以 ；
当角 的终边落在第四象限时，取一点 ，
则 ，
所以 ，
综上所述： .
题型四：同角三角函数基础关系式
【典例4-1】已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
【典例4-2】若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得 整理可得 ，注意到 ，则 ．
【变式4-1】已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
代入 ，化简得 ，
又 ， ，所以 ，
则有 ， .
【变式4-2】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知 ，若 ，等式不成立；
若 ，则 ，
．
【变式4-3】已知 ，则 （ ）
A． B．7 C． D．3
【答案】A
【解析】由 ，则 ，
所以 .
【变式4-4】已知 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
【变式4-5】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
题型五：三角函数诱导公式
【典例5-1】若角 的终边经过 ，则 __________.
【答案】 /
【解析】根据三角函数的定义得 ，又因为 ，所以 .
【典例5-2】已知 为第三象限角， ，则 ___．
【答案】 /
【解析】因为 为第三象限角， ，
所以 ，
则 .【变式5-1】已知 ，则 _________.
【答案】
【解析】由 ，
所以 ，解得 .
【变式5-2】求值： =_____.
【答案】
【解析】原式＝
.
【变式5-3】（2026·北京·三模）已知 ， ，且 ， ．则满足条
件的一组 ， 的值可以是 ________， ________．
【答案】
（答案不唯一）
（答案不唯一）
【解析】由诱导公式知 ，所以 ，即 ① ，
，即 ②，
因为 ， ，故 ，由①得 ，因此 ，
由②得 ，因此 ，由诱导公式知 ，又 ，与 的取值范围一致，因此 ，
取 ，则 ，代入①②验证均成立，符合条件，
则满足条件的一组 ， 的值可以是 ， .（答案不唯一）
【变式5-4】已知 ，则 的值为_____.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
可得
.
【变式5-5】（2026·山东日照·模拟预测）已知 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
题型六：同角关系式与诱导公式综合应用
【典例6-1】已知 ， ，则 ________， ________．
【答案】 / /
【解析】由 ，平方得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
则 ，所以 ；
由 ， ，
则 ， ，
故 .
【典例6-2】（2026·山东烟台·模拟预测）若 ， ，则 的值为
______．
【答案】 /
【解析】因为分子：
分母： ， .
所以原式 .
已知 ，两边同时平方可得：
，
所以 .
【变式6-1】已知 ， ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，在等式 两边平方得 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，故 .
【变式6-2】已知 ，且 为第二象限角，则 ______.
【答案】
【解析】因为 为第二象限角，所以 ，所以 .
对 两边同时平方得
，即 ，
所以 ，所以 .
所以 ，
所以 （负值舍去）.
【变式6-3】已知 为第二象限角，且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】 同时平方可得 ， ，
因为 为第二象限角，所以 ，
，解得 ，
所以 .
故答案为：
【变式6-4】已知 ，且 ，则 ________， ________．【答案】 /0.96 /
【解析】因为 ，则 ，解得
又 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以 ，
则 .
【变式6-5】已知 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】 展开得 ，即 ，
因为 且 ，
所以 ，即 ，故 ，
因此 ，
因为 ，所以 ，
【变式6-6】已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
，
故
.
故答案为： .
题型七：割圆术类问题
【典例7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先
在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于
圆的周长.刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体
而无所失矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正 边形，使
用刘徽割圆术，得到 的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，圆的内接正多边形被半径分成 个如图所示的等腰三角形，其顶角为 ，即 ，
作 于点 ，则 ，
设半径为 的圆内接正 边形的周长为 ，圆的直径为 ，
则 ，
在 中， ，即 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
【典例7-2】公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率 的近似
值.设圆的半径为 ，圆内接正 边形的周长为 ，下列说法错误的是（ ）
A．圆内接正 边形的边长为 B．用 近似圆周长时，
C．当 时， 的近似值为3 D．边数 越大， 的值越小于
【答案】D
【解析】对于A：圆内接正 边形的中心角为 ，用正 边形的一边与圆心构成等腰三角形，
则边长为 ，A正确.
对于B：正 边形的周长 ，圆周长为 ，
用 近似圆周长时， ，即 ，B正确.
对于C：当 时，圆内接正六边形的边长等于半径 ，周长 ，
近似圆周长 ，得 ，C正确.
对于D：边数 越大，正 边形的周长越接近圆周长， 会越来越接近 ，而不是“越小于 ”，D错
误.
【变式7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先
在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于
圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 边
形，使用刘徽割圆术，得到 的近似值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆内接正 边形的边长为 ，圆的半径为 ，
如图所示，连接 ，取 中点 ，连 ，令 ，
易知 ， ，得到 ，
由题意知，周长（近似）为 ，所以 ，
得到 ，
故选：A.
【变式7-2】（2026·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周
率 约等于 ，和 相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 的近似值
还可以表示成 ，则 的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 代入 ，
可得.
故选：C.
【变式7-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提
出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中
国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正 边形等分成 个等腰三角形（如图所示），当
越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为 ，底边约为 ，
由题意得 ，
故选：C1．两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为 （转/分钟），小轮圆
周的半径为 ，那么小轮圆周上一点每 转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动 周，
当大轮的转速为 时，小轮转速为 ，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为： .
又小轮的半径为 ，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为： .
2．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明
代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面
展开图（图2），该扇环圆心角为 ，扇环外半径与内半径之差为 ，且圆台侧面积为 ，则
圆台上底面半径 与下底面半径 之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设扇环内半径为 ，外半径为 ，圆心角 ，
扇环面积等于圆台侧面积： ，则 ，
已知 ，则 ，即 ，
解得 ，
又 ，
故 ．3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为 ，
面积为 ，则其圆心角弧度数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 .
由题意得， ，解得， 或 ，
由 得， 或 .
4． 为坐标原点，角θ的终边经过点 ，且 ，则 的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点 到原点 的距离为 ，则 ，
由任意角的正弦函数定义，得 ，
又已知 ，故 .
因为 ，解得 ，则得 ，故向量 ，
则 ，故 的单位向量为 .
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
所以 ，
故 .
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设有 ，
故 ，
因为 ，
所以若 ，则 ，与 矛盾；
故
.
7．已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，所以 .
8．角 的终边上有一点 ，则 的值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由任意角的三角函数定义可知 ，则 ，
所以 ， ，
又 ，
则 ，
所以 ，
即 .
9．（多选题）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若 的终边经过点 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为 的终边经过点 ，则 ，
可得 ， ， ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
10．（多选题）下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ，则
【答案】BD
【解析】A选项，若 ，则 ，A错误；
B选项，若 ，则 ，B正确；
C选项，若 ，
则 ，C错误；
D选项，若 ，则 ，
即 ， ， ，D正确.
11．（多选题）已知角 终边上 ， 且 ，则 的值可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由于 ，故 ，解得 或 .
当 时， ，则 ， ；
当 ，则 ，
12．（多选题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 可得 ，
进而可得 ，所以 ，故 ，A正确，
由于 ，故 ，结合 ，因此 ，因此，C正确，
，D正确，
，B错误.
13．（多选题）已知 ，则下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由 ，则 ，且 是第二或第四象限角，
结合 ，则 ，故 或 ，
所以 ， ， ，
综上，A错，B、C、D对.
14．设点 是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置 出发，绕原点按逆时针方向转动角
后到达点 ，然后继续绕原点按逆时针方向转动角 到达点 ；若 的横坐标是 ，则
的坐标是______．
【答案】
【解析】设 是 角终边上一点，且 ，
因为点 到原点的距离： ，所以 .
由题意知点， 的横坐标为 ，
所以 ，即 .由 ，得 ，
所以 .
所以
，
，
所以点 的坐标为 ，即 .
15．已知 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】由 ，则 ，而 ，
所以 ，故 ，即 ，
所以 .
16．已知 ，则 的值为______．
【答案】 或 ，
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 或 ， ，解得 或 ， ．
17．（2026·上海黄浦·三模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 至 ，则点
的横坐标为________．
【答案】
【解析】设 ，则以 为终边的角为 ，
又 ， ，
所以 ，
所以点 的横坐标为
18．角 的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为 ，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经
过的弧长为 ，则点B的横坐标为______．
【答案】
【解析】由三角函数的定义可知，单位圆上点的横坐标为对应角的余弦值，因此 ，
因为角 的终边在第一象限，根据同角三角函数的平方关系 ，
可得： ，
单位圆的半径 ，点 逆时针运动经过的弧长为 ，由弧长公式 ，得点 转过的圆心角 ，因此点B对应的角为 ，点B的横坐标为 ， .
