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4.1 三角函数的定义及同角三角函数（精练题组版）
题组一 三角函数的定义
1．（2025·安徽滁州·一模）已知角
的始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
，因此，
，
所以，
，
，
，
所以
故选：B.
2．（2025·安徽芜湖·二模）已知角
和角
的顶点在坐标原点，始边均与
轴非负半轴重合，终边关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【解析】由题意可得
，
则
.
故选：C.
3．（2025·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角
、
的顶点与原点重合，它们的始边与
轴的非负
半轴重合，它们的终边关于原点对称.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为角
、
的顶点与原点重合，它们的始边与
轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，所
以
，
由诱导公式知，
,
又
，所以
，所以
，即
的最大值为
.
故选：A.
4．（2025·山东潍坊·二模）已知角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴非负半轴重合，其终边与圆
交于
点
．若角
终边沿逆时针方向旋转角
，交圆
于点
，则角
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为角
的终边与圆
交于点
，
所以由任意角三角函数定义得
，
，
设旋转后的角为
，且旋转后的角交圆
于点
，
则由任意三角函数的定义得
，
，
得到
，
，
故
，当
时，
，故D 正确.
故选：D
5．（2025·陕西榆林·二模）已知角
的始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，即
，又
，则
，
所以
.
故选：C
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意
，
从而
.
故选：AD.
7．（2025·云南大理·模拟预测）（多选）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由角
的终边经过点
，得点
到原点
的距离
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：AC
8．（2025·广东·二模）若角
的终边经过点
，则
.
【答案】
【解析】根据已知条件可知：
，
则
，
故答案为：
.
9．（2025·河北保定·一模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
．
【答案】
【解析】由题：
，
又
是第二象限角，所以
，
所以
，
故答案为：
.
10．（2025·贵州铜仁·模拟预测）复数
对应的点在角
的终边上，则
.
【答案】
【解析】因为复数
对应的点为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
题组二 角或角的范围确定三角函数式的符号
1．（2025·江西 ）若
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
，故充分性成立；
当
时，
，则
，
正负不确定，故必要性不成立，
故选：A
2．（2025 广东肇庆·期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设知：
为一、三象限角，
∴
且 k 为整数，显然A、B 错误；
而
且 k 为整数，易知：
恒成立，而
不一定成立，故C 错误，D 正确.
故选：D.
3．（2025 陕西 ）若
为第二象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
，则
为第二象限角，
，AB 选项错误；
因为
为第二象限角，则
，
，所以，
，C 错D 对.
故选：D.
4．（2025·河南）已知
是第二象限角，则点
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为
是第二象限角，所以
，
，
进而硧定
，
.
所以点
在第四象限.
故选：D
5.（2025 广西）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
为第一象限的角，
所以
，
故选：A
6．（2025 江西赣州·阶段练习）已知点
在第三象限，则角
的终边位置在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因为点
在第三象限，
所以
，
由
，可得角
的终边在第二、四象限，
由
，可得角
的终边在第二、三象限或
轴非正半轴上，
所以角
终边位置在第二象限，
故选：B.
7．（2025·河南 ）已知
为第二象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
为第二象限角，所以
，
，
，所以
，
，
，
.
故选：B.
题组三 弦的齐次
1.（24-25 高三下·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为
，若点
在直线上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知，点
到原点的距离为
，由三角函数定义可得
，
所以
.故选：D.
2.（2025·安徽·模拟预测）若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
.故选：B
3.（2024·全国甲卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，所以
，
故选：B.
4（2025·安徽·三模）已知
为第一象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
解得
，
又因为
为第一象限角，所以
，
故
．
故选：D
5.（2025·陕西）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
由
得
，所以分子分母同除以
得
，
即
，
所以
.
故选：D.
6（2025 安徽）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，
∴
，故选：D.
题组四 sinɑ±cosɑ 与 sinɑ·cosɑ 的关系
1．（2024 江西）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
平方得
，又
故
，
则
．
故选：B.
2.（2025 四川）（多选）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对A，
，∵
，则
，∴
，
∴
，A 对；
对BCD，∵
，
，联立
可解得
，
，BD 对，C 错.
故选：ABD.
3．（2025 江苏）（多选）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】
，两边平方得：
，
解得：
，D 正确；
故
异号，
因为
，所以
，A 正确；
因为
，结合
，得到
，
解得：
，故
，BC 错误.
故选：AD
4．（2025 江西）（多选）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为
所以
即
，所以A 正确;
对于B、C：
因为
，且
，
所以
，即
，所以
所以B 错误，C 正确;
对于D：联立
，解得
所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
5．（2025·福建）（多选）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】
，两边平方后
，
解得：
，故B 正确；
，
，
，
，且
，
解得：
，故D 正确.
故选：BD
6.（2025·浙江）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将
平方得
，
所以
，则
．
所以
，
从而
．
联立
，得
．
所以
，
．
故
．
故选：D
题组五 扇形的弧长与面积
1．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记
的长为，
的长为
，若
，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设扇环所在圆的圆心为
，圆心角为
，则
，
所以
，得
，又
，所以
.
故选：A
2．（2025·江苏 ）如图，为某校数学社团用数学软件制作的
蚊香
．画法如下：在水平直线上取长度为
“
”
1 的
线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D
（第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点A 为圆心，
AE 为半径逆时针画圆弧
．以此类推，当得到的
蚊香
恰好有
……
“
”
8 段圆弧时，
蚊香
的长度为（
“
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，每段圆弧的圆心角均为
，
第一段圆弧长度为
，第二段圆弧长度为
，
第三段圆弧长度为
，第四段圆弧长度为
，
第五段圆弧长度为
，第六段圆弧长度为
，
第七段圆弧长度为
，第八段圆弧长度为
，
故得到的
蚊香
恰好有
“
”
8 段圆弧时，
蚊香
的长度为
“
”
.
故选：C
3．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积
（弦
矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中
弦
指圆弧所对的弦长，
矢
等于半径长与圆
“
”
“
”
心到弦的距离之差.现有圆心角为
，且
，半径等于
的弧田，按照上述给出的面积公
式计算弧田面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
，
故弦长为
，矢长为
，
所以所求弧田面积为
.
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等
发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派
砖雕被称为
南方之秀
，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中
“
”
．
图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环
，如图（2），砖雕厚度为6cm，
，
，
所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
延长
与
交于点
．由
，
，得
，
．
因为
所对的圆心角为直角，所以
，
．
所以该梅花砖雕的侧面积
，
扇环
的面积为
，
则该梅花砖雕的表面积
．
故选：C．
5．（2024·湖南长沙·一模）
会圆术
是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图
“
”
所示
是以
为圆心，
为半径的圆弧，
是
的中点，
在
上，
，则
的弧长的近似值
的计算公式：
.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下
降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6 米，该圆
弧所对的圆心角为
，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3 米
B．6.3 米
C．8.3 米
D．11.3 米
【答案】B
【解析】】依题意，点
共线，
，
，
所以
（米）.
故选：B
6．（2025 黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知
某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为
，连接外弧与内弧的两端的线段长均为
，且该
扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，设弧
的长为
，弧
的长为
.
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，
所以
，
，
即
，
.
因为
，所以
.
又因为
，
联立可得
，
解得
，所以该扇环的内弧长为
.
故选：A
