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同角三角函数关系式及诱导公式
3-2
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
3-2 同角三角函数关系式及诱导公式...............................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................2
考点1：同角三角函数的基本关系.....................................................................................................2
考点2：三角函数诱导公式...................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 同角三角函数基本关系..........................................................................................................3
题型二 诱导公式......................................................................................................................................6
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用........................................................9
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................11一、主干知识
考点1：同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：si n
2α+cos 2α=1
．
sinα π
=tanα(α≠ +kπ)
(2)商数关系：cosα 2 ；
考点2：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【常用结论总结】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.二、分类题型
题型一 同角三角函数基本关系
【例题精析1】 已知 为第二象限角，且 ，则 ______， _____．
【解答】因为 为第二象限角，且 ，所以 ，
.故答案为： ； .
【例题精析2】 若 ，则 ________．
【解答】对待求表达式分子分母同时除以 ，即 .
故答案为：
【例题精析3】 已知 ，且 ，则 _________
【解答】解法1、因为 ，则 ，
解得 或 ，又因为 ，所以 ，
所以 ．
解法2、因为 ，可得 ，
所以 ，，
所以 且 ，
解得 ， ，所以 ．故答案为： .
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三
个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【对点精练1】 我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直
角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 ，
小正方形的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】设大正方形的边长为 ，则直角三角形的直角边分别为 ，
因为 是直角三角形较小的锐角，所以 ，
可得 ，则 ，
即 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .故选：C.
【对点精练2】 如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为角 的终边在直线 上，所以 .
所以 .故选：B.
【对点精练3】 已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，所以 ，即 ，所以
.
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .故选：B.
【对点精练4】 已知 为锐角，满足 ，则 ________．【解答】因为 ，
整理得 ，解得 或 ，
又因为 为锐角，则 ，所以 .
故答案为：2.
题型二 诱导公式
【例题精析4】 已知 ，则 ___．
【解答】因为 ，
所以 ．故答案为： ．
【例题精析5】 在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．【解答】（1）由题知角 终边经过点 ，则 ，
∴ ， ，
故 .
（2）由（1）知 ，
则 ，
故 .
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数――――――→任意正角的三角函数――――――→0～2π 内的角的三角函
数――――――→锐角三角函数．
【对点精练5】 已知 .
(1)化简 ；
(2)若 为第四象限角，且 ，求 的值.【解答】（1）由三角函数诱导公式知：
.
（2） 为第四象限角，且 ，则 ，
可得 .
【对点精练6】 等腰三角形的底和腰之比为 （黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美
的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形 的顶角 ．
根据这些信息，可求得 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由图形知 ，则 ，所以 ，
， .故选：
A
【对点精练7】 如图所示，角 的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为 ，OP绕O逆时针
旋转 后与单位圆交于点Q，角 的终边在OQ上，则（ ）A． B． C． D．
【解答】由三角函数定义可知 ，
又 为第一象限角，所以 ；
又 ，所以 , .
故A，B错误；
因为 ，所以 ，
所以 .
.
故C错误，D正确；故选：D题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【例题精析6】 已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【解答】（1）因为 ，则 ， ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵
活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
【对点精练8】 已知 ， 为第四象限角．
(1)求 的值；(2)设 ,求 的值．
【解答】（1）解：因为 ， 为第四象限角，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•凉州区模拟）若 ，则
A． B．3 C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
2．（2019•新课标Ⅰ）
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选： ．3．（2022秋•宁波期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（2022秋•河北区期末）
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
5．（2022秋•深圳期末）
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
6．（2022秋•越秀区校级期末）
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
7．（2023•通州区模拟）已知 ， 是第一象限角，且角 ， 的终边关于 轴对称，则A． B． C． D．
【解答】解： 是第一象限角，且角 ， 的终边关于 轴对称，
， ，
．
故选： ．
8．（2022秋•酒泉期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，即 ，
．
故选： ．
9．（2022秋•吉林期末）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ．
故选： ．
10．（2022秋•河东区期末） 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．11．（2022秋•通州区期末）
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
12．（2022秋•南关区校级期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
13．（2023春•钦南区校级期中）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，所以 ，解得 ．
故选： ．
14．（2022秋•鄠邑区期末）设角 的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
则．
故选： ．
15．（2017•上海）若 ，则 ．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
1．（2021秋•武汉期末）若 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知， ，分子和分母同除以 得，
，解得 ，
，故选： ．
2．（2019秋•凉山州期末）若 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：
故选： ．
3．（2019秋•福州期末）计算 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：
故选： ．
4．（2021秋•长安区校级期末）设 ，则 的值为 ．
【解答】解：
．
又 ， ， 原式 ．
故答案为：5．（2019秋•让胡路区校级期末）已知 ，且 ，则
．
【解答】解：
原式
故答案为：
6．（2018 秋•荆州区校级月考）已知 是方程 的根， 是第三象限角，则
．
【解答】解：解得方程 的两根为 ， ，
由于 是第三象限角， ，则 ，
．
故答案为： ．7．（2021秋•和平区校级期中）（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
【解答】解：（1）由已知得： ，
即 ，故 ；
（2）由已知得 ，结合 得 ，
故 ，由 得 ，
因此 ，
故 ．
8．（2020春•冷水滩区校级月考）已知 是第四象限角， ．
（1）化简 ．
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） ．
．
（2）因为，
所以 ．
因为 是第四象限角，
所以 ，所以 ．
1．（2023春•大兴区期中）
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（2023春•辽宁月考）若 ， ，
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
， ，
．
故选： ．
3．（2022秋•武汉期末）已知 ，则 等于A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
4．（2023春•东湖区校级期中） ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
