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同角三角函数关系式及诱导公式
3-2
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
3-2 同角三角函数关系式及诱导公式...............................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................2
考点1：同角三角函数的基本关系.....................................................................................................2
考点2：三角函数诱导公式...................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 同角三角函数基本关系..........................................................................................................3
题型二 诱导公式......................................................................................................................................5
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用........................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：si n
2α+cos 2α=1
．
sinα π
=tanα(α≠ +kπ)
(2)商数关系：cosα 2 ；
考点2：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【常用结论总结】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.二、分类题型
题型一 同角三角函数基本关系
【例题精析1】 已知 为第二象限角，且 ，则 ______， _____．【例题精析2】 若 ，则 ________．
【例题精析3】 已知 ，且 ，则 _________
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三
个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【对点精练1】 我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直
角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 ，
小正方形的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练2】 如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点精练3】 已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【对点精练4】 已知 为锐角，满足 ，则 ________．
题型二 诱导公式
【例题精析4】 已知 ，则 ___．
【例题精析5】 在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数――――――→任意正角的三角函数――――――→0～2π 内的角的三角函
数――――――→锐角三角函数．
【对点精练5】 已知 .(1)化简 ；
(2)若 为第四象限角，且 ，求 的值.
【对点精练6】 等腰三角形的底和腰之比为 （黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美
的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形 的顶角 ．
根据这些信息，可求得 的值为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练7】 如图所示，角 的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为 ，OP绕O逆时针
旋转 后与单位圆交于点Q，角 的终边在OQ上，则（ ）
A． B． C． D．题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【例题精析6】 已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵
活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
【对点精练8】 已知 ， 为第四象限角．
(1)求 的值；
(2)设 ,求 的值．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•凉州区模拟）若 ，则
A． B．3 C． D．
2．（2019•新课标Ⅰ）
A． B． C． D．
3．（2022秋•宁波期末）已知 ，则
A． B． C． D．
4．（2022秋•河北区期末）
A． B． C． D．
5．（2022秋•深圳期末）
A． B． C． D．
6．（2022秋•越秀区校级期末）A． B． C． D．
7．（2023•通州区模拟）已知 ， 是第一象限角，且角 ， 的终边关于 轴对称，则
A． B． C． D．
8．（2022秋•酒泉期末）已知 ，则
A． B． C． D．
9．（2022秋•吉林期末）若 ，则
A． B． C． D．
10．（2022秋•河东区期末） 的值为
A． B． C． D．
11．（2022秋•通州区期末）
A． B． C． D．
12．（2022秋•南关区校级期末）已知 ，则
A． B． C． D．
13．（2023春•钦南区校级期中）已知 ，则
A． B． C． D．14．（2022秋•鄠邑区期末）设角 的值等于
A． B． C． D．
15．（2017•上海）若 ，则 ．
1．（2021秋•武汉期末）若 ，则 等于
A． B． C． D．
2．（2019秋•凉山州期末）若 ，则 等于
A． B． C． D．
3．（2019秋•福州期末）计算 的结果是
A． B． C． D．
4．（2021秋•长安区校级期末）设 ，则 的值为 ．
5．（2019秋•让胡路区校级期末）已知 ，且 ，则
．
6．（2018 秋•荆州区校级月考）已知 是方程 的根， 是第三象限角，则．
7．（2021秋•和平区校级期中）（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
8．（2020春•冷水滩区校级月考）已知 是第四象限角， ．
（1）化简 ．
（2）若 ，求 的值．
1．（2023春•大兴区期中）
A． B． C． D．
2．（2023春•辽宁月考）若 ， ，
A． B． C． D．
3．（2022秋•武汉期末）已知 ，则 等于
A． B． C． D．
4．（2023春•东湖区校级期中） ．
