资料来源：微信公众号 智慧学库
专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题
型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦齐次式的计算】..........................................................................................................................2
【题型2 “和”“积”转换】..................................................................................................................................3
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】.........................................................................................................5
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】.....................................................................................................6
【题型5 三角恒等变换的化简问题】......................................................................................................................7
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】.....................................................................................................9
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】....................................................................................................11
【题型8 三角恒等变换的综合应用】....................................................................................................................14
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容
之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、
填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、
合并化简，此时试题难度中等.
【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
2.同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.含2π 整数倍的诱导公式的应用
资料来源：微信公众号 智慧学库
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再
进行运算.
4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三
角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1.给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数
而得解.
3.给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4.三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想
解决相关问题.
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2023 上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sinα cosα
cos
2α −sin
2α
= 1
3，则tanα =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．1
3或1
D．1
2或1
【解题思路】利用弦化切可得出关于tan α的等式，即可求得tan α的值.
【解题思路】因为1−2sin α cosα
cos
2α −sin
2α
= cos
2α +sin
2α −2sin α cosα
cos
2α −sin
2α
=
(cosα −sin α )
2
(cosα +sin α )(cosα −sin α )
= cosα −sin α
cosα +sin α = 1−tan α
1+ tan α = 1
3，解得tan α = 1
2.
故选：B.
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α ∈(0,π)，且sin α −√3cosα =2，则tan α =（ ）
A．−√3
B．−√3
3
C．√3
3
D．√3
【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】由题设(sin α −√3cosα )
2=sin
2α −2√3sin α cosα +3cos
2α = 4，
所以sin
2α −2√3sin α cosα +3cos
2α
sin
2α +cos
2α
= tan
2α −2√3 tan α +3
tan
2α +1
= 4，且α ∈(0,π)，
故tan
2α −2√3 tan α +3= 4 tan
2α + 4，即3 tan
2α +2√3 tan α +1=(√3 tan α +1)
2=0，
所以tan α = −√3
3 .
故选：B.
【变式1-2】（2023 下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ =2，则cosθ−2sinθ
cosθ+sinθ =（ ）
A．0
B．−5
3
C．-1
D．1
3
【解题思路】分子分母同时除以cosθ进行弦切互化即可求解.
【解题思路】由题知，tanθ =2，
则cosθ−2sinθ
cosθ+sinθ =
cosθ
cosθ −2sinθ
cosθ
cosθ
cosθ + sinθ
cosθ
= 1−2tanθ
1+ tanθ
= 1−2×2
1+2
= −3
3 =−1.
故选：C.
【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经
过点P(−2,√5)，则sin2α
cos
2α +1
=（ ）
A．−7√5
2
B．−4√5
13
C．−13√5
4
D．−2√5
7
【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【解题思路】由题意知tanα =−√5
2 ，
则原式=
2sinα cosα
2cos
2α +sin
2α
= 2tanα
2+tan
2α
= −√5
2+ 5
4
=−4√5
13 .
故选：B.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【题型2 “和”“积”转换】
【例2】（2023 下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sin α −cosα = 1
3，则sin α cosα =（ ）
A．−8
9
B．2
3
C．4
9
D．√17
9
【解题思路】把sin α −cosα = 1
3左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案.
【解题思路】∵sin α −cosα = 1
3 ，∴(sin α −cosα ) =
❑
2 1
9 ,1−2sin α cosα = 1
9，∴sin α cosα = 4
9 .
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sin α cosα =−1
6 , π
4 <α < 3 π
4 ，则sin α -cosα的值等于
（ ）
A．2√3
3
B．−2√3
3
C．−√6
3
D．4
3
【解题思路】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.
【解题思路】由于sin α cosα =−1
6 , π
4 <α < 3 π
4 ，所以sin α >0,cosα <0，故sin α −cosα >0，
所以sin α −cosα =√(sin α −cosα )
2=√1−2sin α cosα =√1+ 1
3 = 2√3
3
.
故选：A.
【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sinα −cosα = 1
5 ,α ∈(−π
2 ,π
2 )，则sinα cosα
sinα +cosα =
（ ）
A．−12
5
B．12
5
C．−12
35
D．12
35
【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【解题思路】由题意可得：(sinα −cosα )
2=1−2sin α cosα = 1
25，整理得sinα cosα = 12
25 >0，
且α ∈(−π
2 ,π
2 )，可得α ∈(0,π
2 )，
即sinα >0,cosα >0，可得sinα +cosα >0，
因为(sinα +cosα )
2=1+2sin α cosα = 49
25 ，可得sinα +cosα = 7
5，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以sinα cosα
sinα +cosα =
12
25
7
5
= 12
35 .
故选：D.
【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sin α +cosα = x，且sin
3α +cos
3α =a3 x
3+a2 x
2+a1 x +a0，
则a0+a1+a2+a3=（ ）
A．－1
B．1
2
C．1
D．√2
【解题思路】根据题意，求出sin α cosα = x
2−1
2
，则可以得到，
sin
3α +cos
3α = 3 x
2 −x
3
2 =a3 x
3+a2 x
2+a1 x +a0，进而可得a0+a1+a2+a3的值.
【解题思路】sin α +cosα = x，故(sin α +cosα )
2= x
2，
得1+2sin α cosα = x
2，得到sin α cosα = x
2−1
2
，
sin
3α +cos
3α =(sin α +cosα )(sin
2α −sin α cosα +cos
2α )
= x(3−x
2)
2
= 3 x
2 −x
3
2
，
所以，3 x
2 −x
3
2 =a3 x
3+a2 x
2+a1 x +a0，
得a0=0，a1= 3
2，a2=0，a3=−1
2，
则a0+a1+a2+a3=1
故选：C.
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2023 上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知α ∈(
π
2 ,π)，若
cos(
π
6 −α)=−√2
4 ，则cos(α + 5π
6 )的值为（ ）
A．√2
4
B．−√2
4
C．−√14
4
D．√14
4
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】根据诱导公式，结合题设，即可求得答案.
【解题思路】由题意得cos(α + 5π
6 )=cos[π−(π
6 −α )]=−cos(
π
6 −α)= √2
4 ，
故选：A.
【变式3-1】（2023 上·全国·高一期末）已知sin(
π
6 +α)= 1
3，且α ∈(
π
3 ,π)，则cos(
π
3 −α)的值为
（ ）
A．−2√2
3
B．−1
3
C．2√2
3
D．1
3
【解题思路】以π
6 +α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解题思路】由题意可得：cos(
π
3 −α)=cos[
π
2 −(
π
6 +α)]=sin(
π
6 +α)= 1
3.
故选：D.
【变式3-2】（2023 上·高一课时练习）已知 sin(π−α )= 1
3，则sin(α −2021π)的值为（ ）
A．2√2
3
B．−2√2
3
C．1
3
D．−1
3
【解题思路】根据题意得到sin α = 1
3，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.
【解题思路】由sin(π−α )=sin α，可得sin α = 1
3，
则sin(α −2021π)=sin[(α −π)−2020π]=sin(α −π)=−sin α =−1
3.
故选：D.
【变式3-3】（2023 上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cos(π
6 +α )= 1
3 ，则
cos( 5π
6 −α )−sin( 5π
3 +α )=（ ）
A．0
B．2
3
C．1+2√2
3
D．1−2√2
3
【解题思路】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】依题，令π
6 +α =t，则sin t = 1
3 , 5π
6 −α =π−(
π
6 +α)=π−t，
5π
3 +α = 3π
2 +π
6 +α = 3π
2 +t，
所以cos( 5π
6 −α )−sin( 5π
3 +α )
=cos(π−t )−sin( 3π
2 +t )
=−cost +cost =0.
故选：A.
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
【例4】（2023 上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+α )=a，则sin (α −3π)+cos(π−α )
sin (−α )−cos(π+α )
的值为
（ ）
A．a−1
a+1
B．a+1
a−1
C．-1
D．1
【解题思路】由诱导公式以及商数公式进行化简运算即可.
【解题思路】由题意得tan(7π+α )= tan α =a，
sin (α −3π)+cos(π−α )
sin (−α )−cos(π+α )
= −sin α −cosα
−sin α +cosα = tan α +1
tan α −1 = a+1
a−1.
故选：B.
【变式4-1】（2023 上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cos(−x)+sin (π−x)= 3
5，则
sin x⋅sin(
π
2 + x)=（ ）
A．16
25
B．−16
25
C．8
25
D．−8
25
【解题思路】由诱导公式有sin x⋅sin(
π
2 + x)=sin x cos x，已知cos(−x)+sin (π−x)= 3
5，由诱导公式
有cos x +sin x = 3
5，两边同时平方即可求值.
【解题思路】由cos(−x)+sin (π−x)= 3
5得：cos x +sin x = 3
5，
资料来源：微信公众号 智慧学库
两边平方得：1+2sin x cos x = 9
25，解得：sin x cos x =−8
25，
∴sin x⋅sin(
π
2 + x)=sin x cos x =−8
25.
故选：D.
【变式4-2】（2023 上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sinα +cosα =−1
2，则
cos(
π
2 +α)
1−tan(−α )
的值为
（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．−3
16
D．3
16
【解题思路】对sinα +cosα =−1
2平方，得到sin α cosα的值，然后对
cos(
π
2 +α)
1−tan(−α )
化简求值即可.
【解题思路】因为sinα +cosα =−1
2，所以(sinα +cosα )
2=1+2sin α cosα = 1
4 ，
所以sin α cosα =−3
8，
所以
cos(
π
2 +α)
1−tan(−α ) = −sin α
1+ tan α = −sin α
1+ sin α
cosα
=
−sin α
cosα +sin α
cosα
= −sin α cosα
cosα +sin α =
3
8
−1
2
=−3
4 ，
故选：A.
【变式4-3】（2023 上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cos(
3π
2 +θ)sin(π−θ)=2，且θ为第二象限角，
则
cos(π+θ)
sin(
π
2 −θ)+sin(θ−π)
=
（ ）
A．−1−√2
B．1+√2
C．√2−1
D．1−√2
【解题思路】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有sinθ ,cosθ ,tanθ的形式，
再用同角三角函数基本关系式转化即可.
【解题思路】因为3cos(
3π
2 +θ)sin(π−θ)=3sin
2θ =2，所以sin
2θ = 2
3，
资料来源：微信公众号 智慧学库
且tan
2θ =
sin
2θ
1−sin
2θ
=2.
因为θ为第二象限角，所以tanθ =−√2.
则
cos(π+θ)
sin(
π
2 −θ)+sin(θ−π)
=
−cosθ
cosθ−sinθ =
−1
1−tanθ =1−√2
，
故选：D.
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
【例5】（2023 上·江苏南京·高二统考期中）已知cos x +sin x = √2
3 ，则
sin 2 x
cos(x−π
4)
＝（ ）
A．−7
16
B．−7√2
6
C．−7
6
D．−7
3
【解题思路】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【解题思路】
sin 2 x
cos(x−π
4)
=
2sin x cos x
√2
2 cos x + √2
2 sin x
= (sin x +cos x)
2−1
√2
2 × √2
3
=3[(
√2
3 )
2
−1]=−7
3 .
故选：D.
【变式5-1】（2023 上·河北·高三校联考阶段练习）设0<θ<π
2 ，若(sinθ+cosθ)
2+√3cos2θ =3，则
sin2θ =（ ）
A．√3
2
B．1
2
C．√2
2
D．3
4
【解题思路】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出sin(2θ+π
3 )=1，结合角的范围求得θ，即可求得答
案.
【解题思路】由题意(sinθ+cosθ)
2+√3cos2θ =3，
则1+2sinθcosθ+√3cos2θ =3，即sin2θ+√3cos2θ =2，
故2sin(2θ+π
3 )=2，即sin(2θ+π
3 )=1，
由于0<θ<π
2 ，所以2θ+π
3 ∈(π
3 ,4π
3 )，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则2θ+π
3 =π
2 ，即θ =π
12，
故sin2θ =sinπ
6 = 1
2，
故选：B.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：
sin 2α −2cos
2α
sin(α −π
4 )
=（ ）
A．√2cosα
B．2√2cosα
C．√2sin α
D．2√2sin α
【解题思路】利用二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式可化简所求代数式.
【解题思路】原式= 2sin α cosα −2cos
2α
√2
2
(sin α −cosα )
= 2cosα (sin α −cosα )
√2
2
(sin α −cosα )
=2√2cosα.
故选：B.
【变式5-3】（2023 下·浙江嘉兴·高二统考期末）已知α , β ∈(0,π)且满足
sinα +sin β =√3(cosα +cos β)，则（ ）
A．tan(α + β)=√3
B．tan(α + β)=−√3
C．cos(α + β)= √3
2
D．cos(α + β)=−√3
2
【解题思路】运用配凑角α = α + β
2
+ α −β
2
，β = α + β
2
−α −β
2
代入已知等式中可得tan α + β
2
，再结合角的
范围可求得α + β的值，进而可求得tan(α + β)、cos(α + β)的值.
【解题思路】因为sin α +sin β =sin( α + β
2
+ α −β
2
)+sin( α + β
2
−α −β
2
)=2sin α + β
2
cos α −β
2
，
cosα +cos β =cos( α + β
2
+ α −β
2
)+cos( α + β
2
−α −β
2
)=2cos α + β
2
cos α −β
2
，
sin α +sin β =√3(cosα +cos β)，
所以2sin α + β
2
cos α −β
2
=√3×2cos α + β
2
cos α −β
2
，
又因为α，β ∈(0,π)，
所以−π
2 < α −β
2
<π
2 ，0< α + β
2
<π，
所以cos α −β
2
>0，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以sin α + β
2
=√3cos α + β
2
，
所以tan α + β
2
=√3，
又因为0< α + β
2
<π，
所以α + β
2
=π
3 ，
所以α + β =2π
3
所以tan(α + β)= tan 2π
3 =−√3.
所以cos(α + β)=cos 2π
3 =−1
2，
故选：B.
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】
【例6】（2023 上·天津武清·高三校考阶段练习）已知α、β ∈(0, π
4)，且sin α = 1
3，cos(2α + β)= 1
3，
则cos β的值为（ ）
A．23
27
B．1
3
C．25
27
D．19
27
【解题思路】由α、β ∈(0, π
4)，可计算出sin 2α、cos2α、sin(2α + β)的值，利用
cos β =cos(2α + β −2α )计算即可得.
【解题思路】由sin α = 1
3，α ∈(0, π
4)，则cosα =√1−sin
2α = 2√2
3
，
则sin 2α =2sin α cosα = 4√2
9
，cos2α =1−2sin
2α = 7
9，
由cos(2α + β)= 1
3，则sin(2α + β)=±√
1−(
1
3)
2
=± 2√2
9
，
又α、β ∈(0, π
4)，则0<2α + β <π，
故sin(2α + β)= 2√2
9
，
cos β =cos(2α + β −2α )=cos(2α + β)cos2α +sin (2α + β)sin 2α
资料来源：微信公众号 智慧学库
= 1
3 × 7
9 + 2√2
9
× 4√2
9
= 23
27 .
故选：A.
【变式6-1】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知tan(α +π
6 )= 1
2，tan(
π
12 + β)= 1
3，则
tan(α −2 β)=（ ）
A．−9
13
B．−2
11
C．10
11
D．2
5
【解题思路】利用二倍角正切公式求得tan(
π
6 +2 β)，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求
得答案.
【解题思路】由tan(
π
12 + β)= 1
3得，tan(
π
6 +2 β)=
2tan(
π
12 + β)
1−tan
2(
π
12 + β)
=
2× 1
3
1−( 1
3 )
2 = 3
4 ，
而tan(α +π
6 )= 1
2，
故tan(α −2 β)= tan((α +π
6 )−(2 β +π
6 ))=
tan(α +π
6 )−tan(2 β +π
6 )
1+ tan(α +π
6 )⋅tan(2 β +π
6 )
=
1
2 −3
4
1+ 1
2 × 3
4
=−2
11，
故选：B.
【变式6-2】（2023 下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知
α ∈(
3π
4
,3π
2 ), β ∈(π,3π
2 ),cos(α −π
4 )=−3
5 ,sin(β −π
4 )= 5
13，则sin(α + β)的值为（ ）
A．16
65
B．−16
65
C．56
65
D．−56
65
【解题思路】先利用诱导公式得sin(α + β)=cos(α + β −π
2 )，再令
cos(α + β −π
2 )=cos[(α −π
4 )+( β −π
4 )]，展开即可求解．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】
sin(α + β)=cos(α + β −π
2 )=cos[(α −π
4 )+( β −π
4 )]=cos(α −π
4 )cos( β −π
4 )−sin(α −π
4 )sin( β −π
4 )
，
因为α ∈(
3π
4
,3π
2 )，所以α −π
4 ∈(
π
2 ,5π
4 )，则α −π
4 在第二或第三象限，
因为cos(α −π
4 )=−3
5，当α −π
4 在第三象限时，由于cos 5π
4 =−√2
2 ，
又y =cos x在x∈[π,3π
2 ]上递增，且−3
5 >−√2
2 ，
所以当α −π
4 在第三象限时，α −π
4 > 5π
4 ，与α −π
2 ∈(
π
4 ,5π
4 )矛盾，
所以α −π
4 在第二象限，
因为cos(α −π
4 )=−3
5，所以sin(α −π
4 )= 4
5 ．
因为β ∈(π,3π
2 )，所以β −π
4 ∈(
3π
4
,5π
4 )，则cos( β −π
4 )<0．
因为sin( β −π
4 )= 5
13，所以cos( β −π
4 )=−12
13．
所以cos(α −π
4 )cos( β −π
4 )−sin(α −π
4 )sin( β −π
4 )=−3
5 ×(−12
13 )−4
5 × 5
13 = 16
65，
即sin(α + β)= 16
65．
故选：A．
【变式6-3】（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知π
2 <α < 3π
2 ，−π
2 < β <0，且
sinα +sin β =√3(cosα +cos β)，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．cos(α −β)=−1
B．sin(α −β)=0
C．cos(α + β)=−1
2
D．sin(α + β)=−√3
2
【解题思路】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.
【解题思路】∵sinα +sin β =√3(cosα +cos β)，∴sinα −√3cosα +sin β −√3cos β =0,
∴2sin(α −π
3 )+2sin(β −π
3 )=0,∴2sin(α −π
3 )=−2sin(β −π
3 )=2sin(
π
3 −β),
资料来源：微信公众号 智慧学库
且π
2 <α < 3π
2 ，−π
2 < β <0，则π
6 <α −π
3 <7π
6 ,−5π
6 < β −π
3 <−π
3 ，∴π
3 <π
3 −β <5π
6 ,
当α −π
3 =π
3 −β ，α + β =2π
3 时,cos(α + β)=−1
2 ，sin (α + β)= √3
2 ,C 选项正确，D 选项不正确;
当α −π
3 +π
3 −β =π，α −β =π时,cos(α −β)=−1,
sin(α −β)=0,sin(α + β)=sin(π+2 β)=−sin2 β ,−π<2 β <0,sin(α + β)=−sin2 β <0,,A,B 选项
正确，D 选项不正确.
故选:D.
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】
【例7】（2023 下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin 2α = √5
5 ，sin (β −α )= √10
10 ，且
α ∈[
π
4 ,π]，β ∈[π, 3
2 π]，则α + β =（ ）
A．7π
4
B．9 π
4
C．4π
3
D．5π
3
【解题思路】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有∴cos(α + β)=cos[2α +(β −α )]，根据三
角函数值确定α + β的值.
【解题思路】∵sin2α =2sin α cosα >0，∴sin α ,cosα符号相同，
又α ∈[
π
4 ,π]，∴α ∈[
π
4 ,π
2 )，2α ∈[
π
2 ,π)，
由sin2α = √5
5 可得cos2α =−2√5
5
，
又β ∈[π, 3π
2 ]，β −α ∈(
π
2 , 5π
4 ]，sin (β −α )= √10
10 >0，
所以β −α ∈(
π
2 ,π)，∴cos(β −α )=−3√10
10
，
∴cos(α + β)=cos[2α +(β −α )]=cos2α cos(β −α )−sin 2α sin (β −α )
= 2√5
5
× 3√10
10
−√5
5 × √10
10 = √2
2 ，
由α ∈[
π
4 ,π
2 )，β ∈[π, 3π
2 ]，得α + β ∈[
5π
4 ,2π)，∴α + β = 7π
4 ，
故选：A．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【变式7-1】（2023 上·全国·高一专题练习）若α ∈(−π
2
,0)，β ∈(0,π
2 )，且tan (α −β)=−1
2，
tan β = 1
7 ，则2α −β的值为（ ）
A．−3π
4
B．−π
4
C．π
4
D．3π
4
【解题思路】求出2α −β的正切值及2α −β的取值范围，即可得出2α −β的值.
【解题思路】因为α ∈(−π
2
,0)，β ∈(0,π
2 )，则−π<α −β <0，
又因为tan (α −β)=−1
2 >−1，则−π
4 <α −β <0，
由二倍角正切公式可得tan[2(α −β)]= 2tan (α −β)
1−tan
2(α −β)
=
2×(−1
2)
1−(−1
2)
2 =−4
3 ，
所以，tan (2α −β)= tan[2(α −β)+ β]= tan[2(α −β)]+ tan β
1−tan[2(α −β)]tan β
=
−4
3 + 1
7
1−(−4
3)× 1
7
=−1，
因为−π
4 <α −β <0，0< β <π
2 ，则−π
2 <2(α −β)+ β <π
2 ，即−π
2 <2α −β <π
2 ，
因此，2α −β =−π
4 .
故选：B.
【变式7-2】（2023·全国·高三校联考期末）已知
0<α < β < π
2 ,cos2α +cos2 β +1=2cos(α −β)+cos(α + β)，则（ ）
A．α + β = π
6
B．α + β = π
3
C．β −α = π
6
D．β −α = π
3
【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.
【解题思路】由已知可将2α =(α + β)+(α −β)，2 β =(α + β)−(α −β)，
则cos[(α + β)+(α −β)]+cos[(α + β)−(α −β)]+1=2cos(α −β)+cos(α + β)，
资料来源：微信公众号 智慧学库
2cos(α + β)cos(α −β)−2cos(α −β)−cos(α + β)+1=0，
[cos(α + β)−1][2cos(α −β)−1]=0，即cos(α + β)=1或cos(α −β)= 1
2．
又0<α < β < π
2 ，所以0<α + β <π ,−π
2 <α −β <0，
所以cos(α + β)≠1，所以选项A，B 错误，
即cos(α −β)= 1
2，则α −β =−π
3 ，所以β −α = π
3 ．则C 错，D 对，
故选：D.
【变式7-3】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知tan β =cosα
1−sinα ，tan(α + β)= 1+sinα
cosα
，若
β ∈(0,π
2 )，则β =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.
【解题思路】因为tanα =tan(α + β −β)=
tan(α + β)−tan β
1+ tan(α + β)⋅tan β ，
又因为tan β =cosα
1−sinα ，tan(α + β)= 1+sinα
cosα
，
所以tanα =
1+sinα
cosα
−cosα
1−sinα
1+ 1+sinα
cosα
⋅cosα
1−sinα
=
(1+sin α )⋅(1−sin α )−cosα ⋅cosα
cosα(1−sin α )
cosα ⋅(1−sin α )+cosα ⋅(1+sin α )
cosα(1−sin α )
，
所以tanα = (1+sin α )⋅(1−sin α )−cosα ⋅cosα
cosα ⋅(1−sin α )+cosα ⋅(1+sin α ) = 1−sin
2α −cos
2α
2cosα
因为sin
2α +cos
2α =1，所以tanα =0，
所以α =k π,k ∈Z，
所以当k为奇数时，cosα =−1，sin α =0，
当k为偶数时，cosα =1，sin α =0，
因为tan β =cosα
1−sinα ，所以tan β =±1，
因为β ∈(0,π
2 )，所以β =π
4 .
故选：C.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【题型8 三角恒等变换的综合应用】
【例8】（2023 上·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数
f (x)=cos
4 x−sin
4 x−2√3sin xcos x (x∈R).
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π
2 ]时，求f (x)的最大值与最小值的和.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换整理得f (x)=2cos(2 x +π
3 )，进而可得最小正周期；
（2）以2 x +π
3 为整体，结合余弦函数的有界性求最值.
【解题思路】（1）由题意可得：f (x)=cos
4 x−sin
4 x−2√3sin xcos x
=(cos
2 x−sin
2 x)(cos
2 x +sin
2 x)−√3sin2 x
=cos2 x−√3sin2 x =2cos(2 x +π
3 )，
所以f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π.
（2）因为x∈[0,π
2 ]，则2 x +π
3 ∈[
π
3 , 4π
3 ]，
当2 x +π
3 =π，即x =π
3 时，f (x)取到最小值−2；
当2 x +π
3 =π
3 ，即x =0时，f (x)取到最大值1；
所以f (x)的最大值与最小值的和为−1.
【变式8-1】（2023 上·吉林·高一校联考期末）已知函数f (x)=2sin
2 x +2√3sin(2π + x)cos(π −x)．
(1)求f (x)在[0, π
2]上的最大值；
(2)若tanα =2，求f (α )的值；
(3)若f (β)=−1
5 , β ∈(
π
6 , 5 π
12)，求cos2 β的值．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；
（2）利用齐次式化简求值；
（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.
【解题思路】（1）f (x)=2sin
2 x +2√3sin(2π + x)cos(π −x)
资料来源：微信公众号 智慧学库
=1−cos2 x−2√3sin x cos x
=1−cos2 x−√3sin 2 x =1−2sin(2 x + π
6)，
∵x∈[0, π
2]∴2 x + π
6 ∈[
π
6 , 7
6 π],sin(2 x + π
6)∈[−1
2 ,1]，
则1−2sin(2 x + π
6)∈[−1,2]，故f (x)在[0, π
2]上的最大值为2；
（2）f (α )=2sin
2α −2√3sin α cosα = 2sinα −2√3sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= 2tan
2α −2√3 tan α
tan
2α +1
= 8−4√3
5
；
（3）由（1）当f (β)=−1
5 ,则1−2sin(2 β + π
6)=−1
5 ,sin(2 β + π
6)= 3
5，
∵β ∈(
π
6 , 5 π
12),∴2 β + π
6 ∈(
π
2 ,π),cos(2 β + π
6)=−4
5 ，
故cos2 β =cos[(2 β + π
6)−π
6]= √3
2 cos(2 β + π
6)+ 1
2 sin(2 β + π
6)= −4√3+3
10
.
【变式8-2】（2023 上·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）已知函数
f ( x)=cos x sin( x +π
3 )−√3cos
2 x + √3
4 ，x∈R．
(1)求f ( x)的最小正周期及单调减区间；
(2)求f ( x)在闭区间[−π
4 ,π
4 ]上的最大值和最小值．
【解题思路】（1）利用两角和差的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；
（2）根据已知条件求出2 x−π
3 的范围，结合三角函数的性质即可求解.
【解题思路】（1）函数
f ( x)=cos x sin( x +π
3 )−√3cos
2 x + √3
4 = 1
2 sin x cos x + √3
2 cos
2 x−√3cos
2 x + √3
4
= 1
4 sin 2 x−√3
4 cos2 x = 1
2 sin(2 x−π
3 )，
∴f ( x)的最小正周期T = 2π
2 =π；
令2k π+π
2 ≤2 x−π
3 ≤2k π+ 3π
2 ，k ∈Z，得k π+ 5π
12 ≤x ≤k π+ 11π
12 ，k ∈Z，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以f ( x)的减区间为[ 5
12 π+k π, 11
12 π+k π]，k ∈Z．
（2）由（1）知，f (x)= 1
2 sin(2 x−π
3 )，
∵x∈[−π
4 ,π
4 ]，
∴2 x−π
3 ∈[−5π
6 ,π
6 ]，
当2 x−π
3 =π
6 ，即x =π
4 时，函数f ( x)取得最大值为1
2 sinπ
6 = 1
4 ，
当2 x−π
3 =−π
2 ，即x =−π
12时，函数f ( x)取得最小值为1
2 sin(−π
2 )=−1
2．
【变式8-3】（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
f (x)=√3sin
2 x−sin(2023π+ x)sin(x +π
2 )−√3
2 ．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若α ∈(
3π
4 ,π)，且f(α −π
6 )= 7
25，求sin(2α −5π
12 )的值．
【解题思路】（1）首先化简函数的解析式，再根据三角函数的的性质，代入公式，即可求解；
（2）由（1）的结果可得f(α −π
6 )=sin(2α −2π
3 )= 7
25，再根据角的变换
sin(2α −5π
12 )=sin(2α −2π
3 +π
4 )，利用两角和的正弦公式，即可求解.
【解题思路】（1）由题意知
f (x)=√3sin
2 x−sin(2023π+ x)sin(x +π
2 )−√3
2 =√3sin
2 x +sin xcos x−√3
2
=√3× 1−cos2 x
2
+ 1
2 sin 2 x−√3
2 = 1
2 sin 2 x−√3cos2 x
2
=sin(2 x−π
3 )．
故函数f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π．
令−π
2 +2k π≤2 x−π
3 ≤π
2 +2k π,k ∈Z．解得−π
12 +k π≤x ≤5π
12 +k π,k ∈Z．
所以f (x)的单调递增区间为[−π
12 +kπ , 5 π
12 +kπ],k ∈Z，
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）因为f(α −π
6 )=sin[2(α −π
6 )−π
3 ]=sin(2α −2π
3 )= 7
25．
又α ∈(
3π
4 ,π)．所以2α −2π
3 ∈(
5π
6 , 4π
3 )，
所以cos(2α −2π
3 )=−√
1−sin
2(2α −2π
3 )=−24
25 ，
所以
sin(2α −5π
12 )=sin(2α −2π
3 +π
4 )=sin(2α −2π
3 )cosπ
4 +cos(2α −2π
3 )sinπ
4 =−17√2
50
．
1．（2022·浙江·统考高考真题）设x∈R，则“sin x =1”是“cos x =0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【解题思路】因为sin
2 x +cos
2 x =1可得：
当sin x =1时，cos x =0，充分性成立；
当cos x =0时，sin x =±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sin x =1是cos x =0的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3−√5
8
B．−1+√5
8
C．3−√5
4
D．−1+√5
4
【解题思路】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解题思路】因为cosα =1−2sin
2 α
2 = 1+√5
4
，而α为锐角，
解得：sin α
2 = √
3−√5
8
=√
(√5−1)
2
16
= √5−1
4
．
故选：D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
资料来源：微信公众号 智慧学库
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解题思路】当sin
2α +sin
2 β =1时，例如α =π
2 , β =0但sin α +cos β ≠0，
即sin
2α +sin
2 β =1推不出sin α +cos β =0；
当sin α +cos β =0时，sin
2α +sin
2 β =(−cos β)
2+sin
2 β =1，
即sin α +cos β =0能推出sin
2α +sin
2 β =1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
【解题思路】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α + β)，再利用二倍角的余弦公式计算
作答.
【解题思路】因为sin(α −β)=sin α cos β −cosα sin β = 1
3，而cosα sin β = 1
6 ，因此sin α cos β = 1
2，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 2
3，
所以cos(2α +2 β)=cos2(α + β)=1−2sin
2(α + β)=1−2×( 2
3 )
2
= 1
9.
故选：B.
5．（2022·全国·统考高考真题）若sin(α + β)+cos(α + β)=2√2cos(α + π
4)sin β，则（ ）
A．tan(α −β)=1
B．tan(α + β)=1
C．tan(α −β)=−1
D．tan(α + β)=−1
【解题思路】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【解题思路】[方法一]：直接法
由已知得：sin α cos β +cosα sin β +cosα cos β −sin α sin β =2(cosα −sin α )sin β,
即：sin α cos β −cosα sin β +cosα cos β +sin α sin β =0，
即：sin (α −β)+cos(α −β)=0
所以tan (α −β)=−1
故选：C
资料来源：微信公众号 智慧学库
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0 则sinα +cosα =0，取α = π
2 ，排除A, B；
再取α=0 则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β= π
4 ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
sin(α + β)+cos(α + β)=√2sin（α + β + π
4 ）=√2sin[（α + π
4 ）+ β ]
=√2sin（α + π
4 ）cos β +√2cos（α + π
4 ）sin β =2√2cos（α + π
4 ）sin β
所以√2sin（α + π
4 ）cos β =√2cos（α + π
4 ）sin β
sin（α + π
4 ）cos β −cos（α + π
4 ）sin β =0即sin（α + π
4 −β ）=0
∴sin（α −β + π
4 ）=sin（α −β ）cos π
4 +cos（α −β ）sin π
4 = √2
2 sin（α −β ）+ √2
2 cos（α −β ）=0
∴sin（α −β ）=−cos（α −β ）即tan(α −β ）=−1,
故选：C.
6．（2021·全国·统考高考真题）若tanθ =−2，则sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
=（ ）
A．−6
5
B．−2
5
C．2
5
D．6
5
【解题思路】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1=sin
2θ+cos
2θ)，进行齐次
化处理，化为正切的表达式，代入tanθ =−2即可得到结果．
【解题思路】将式子进行齐次化处理得：
sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
= sinθ(sin
2θ+cos
2θ+2sinθcosθ)
sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
= sinθ(sinθ+cosθ)
sin
2θ+cos
2θ
= tan
2θ+ tanθ
1+ tan
2θ
= 4−2
1+ 4 = 2
5．
故选：C．
7．（2023·全国·统考高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ−cosθ = −√5
5 ．
【解题思路】根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】因为θ∈(0,π
2 )，则sinθ>0,cosθ>0，
又因为tanθ = sinθ
cosθ = 1
2，则cosθ =2sinθ，
且cos
2θ+sin
2θ = 4 sin
2θ+sin
2θ =5sin
2θ =1，解得sinθ = √5
5 或sinθ =−√5
5 （舍去），
所以sinθ−cosθ =sinθ−2sinθ =−sinθ =−√5
5 .
故答案为：−√5
5 .
8．（2023·全国·统考高考真题）若f (x)=( x−1)
2+ax +sin(x +π
2 )为偶函数，则a=
2
．
【解题思路】利用偶函数的性质得到f(−π
2 )= f(
π
2 )，从而求得a=2，再检验即可得解.
【解题思路】因为y = f (x)=(x−1)
2+ax +sin(x +π
2 )=(x−1)
2+ax +cos x为偶函数，定义域为R，
所以f(−π
2 )= f(
π
2 )，即(−π
2 −1)
2
−π
2 a+cos(−π
2 )=(
π
2 −1)
2
+π
2 a+cosπ
2 ，
则πa=(
π
2 +1)
2
−(
π
2 −1)
2
=2π，故a=2，
此时f (x)=(x−1)
2+2 x +cos x = x
2+1+cos x，
所以f (−x)=(−x)
2+1+cos(−x)= x
2+1+cos x = f (x)，
又定义域为R，故f (x)为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.
9．（2022·浙江·统考高考真题）若3sin α −sin β =√10,α + β = π
2 ，则sin α = 3√10
10
，cos2 β = 4
5 ．
【解题思路】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，
可求出α，接下来再求β．
【解题思路】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵α + β = π
2 ，∴sin β =cosα，即3sin α −cosα =√10，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即√10(
3√10
10
sin α −√10
10 cosα)=√10，令sinθ = √10
10 ，cosθ = 3√10
10
，
则√10sin (α −θ)=√10，∴α −θ = π
2 +2kπ ，k ∈Z，即α =θ+ π
2 +2kπ，
∴sin α =sin(θ+ π
2 +2kπ)=cosθ = 3√10
10
，
则cos2 β =2cos
2 β −1=2sin
2α −1= 4
5 .
故答案为：3√10
10
；4
5 .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵α + β = π
2 ，∴sin β =cosα，即3sin α −cosα =√10，
又sin
2α +cos
2α =1，将cosα =3sin α −√10代入得10sin
2α −6√10sin α +9=0，解得sin α = 3√10
10
，
则cos2 β =2cos
2 β −1=2sin
2α −1= 4
5 .
故答案为：3√10
10
；4
5 .
10．（2023·北京·统考高考真题）设函数f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )．
(1)若f (0)=−√3
2 ，求φ的值．
(2)已知f ( x)在区间[−π
3 , 2π
3 ]上单调递增，f(
2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数f ( x)存在，求ω,φ的值．
条件①：f(
π
3 )=√2；
条件②：f(−π
3 )=−1；
条件③：f ( x)在区间[−π
2 ,−π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解题思路】（1）把x =0代入f ( x)的解析式求出sin φ，再由|φ|<π
2 即可求出φ的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f ( x)的解析式化简，根据f ( x)在[−π
3 , 2π
3 ]上的单调性
及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f ( x)的解析式，由f(−π
3 )=−1和|φ|<π
2 即可
求出φ的值；若选条件③：由f ( x)的单调性可知f ( x)在x =−π
3 处取得最小值−1，则与条件②所给的条件
一样，解法与条件②相同．
【解题思路】（1）因为f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ,ω>0,|φ|<π
2
所以f (0)=sin (ω⋅0)cosφ+cos(ω⋅0)sin φ =sin φ =−√3
2 ，
因为|φ|<π
2 ，所以φ=−π
3 .
（2）因为f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ,ω>0,|φ|<π
2 ，
所以f ( x)=sin (ωx +φ),ω>0,|φ|<π
2 ，所以f ( x)的最大值为1，最小值为−1.
若选条件①：因为f ( x)=sin (ωx +φ)的最大值为1，最小值为−1，所以f(
π
3 )=√2无解，故条件①不能使
函数f ( x)存在；
若选条件②：因为f ( x)在[−π
3 , 2π
3 ]上单调递增，且f(
2π
3 )=1，f(−π
3 )=−1
所以T
2 = 2π
3 −(−π
3 )=π,所以T =2π,ω= 2π
T
=1,
所以f ( x)=sin (x +φ)，
又因为f(−π
3 )=−1，所以sin(−π
3 +φ)=−1，
所以−π
3 +φ =−π
2 +2k π,k ∈Z，
所以φ =−π
6 +2k π,k ∈Z，因为|φ|< π
2 ，所以φ =−π
6 .
所以ω=1，φ =−π
6 ；
资料来源：微信公众号 智慧学库
若选条件③：因为f ( x)在[−π
3 , 2π
3 ]上单调递增，在[−π
2 ,−π
3 ]上单调递减，
所以f ( x)在x =−π
3 处取得最小值−1，即f(−π
3 )=−1.
以下与条件②相同．
