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专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
目 录
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线................................................................................................................2
02 蒙日圆..............................................................................................................................................3
03 阿基米德三角形...............................................................................................................................3
04 仿射变换问题..................................................................................................................................4
05 圆锥曲线第二定义...........................................................................................................................5
06 焦半径问题......................................................................................................................................5
07 圆锥曲线第三定义...........................................................................................................................6
08 定比点差法与点差法.......................................................................................................................6
09 切线问题..........................................................................................................................................7
10 焦点三角形问题...............................................................................................................................8
11 焦点弦问题......................................................................................................................................8
12 圆锥曲线与张角问题.......................................................................................................................9
13 圆锥曲线与角平分线问题................................................................................................................9
14 圆锥曲线与通径问题.....................................................................................................................10
15 圆锥曲线的光学性质问题..............................................................................................................10
16 圆锥曲线与四心问题.....................................................................................................................11
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历
山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点M 与两定点A，B 的距离之比为
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
已知在平面直角坐标系中，圆
、点
和点
，M 为圆O 上的动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点
，
及动点
，若
（
且
），则点
的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知
，
，直线
，直线
，若
为，
的交点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山
大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值
，且
的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系
中，
，点
满足
.
设点
的轨迹为曲线
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的方程为
B．当
三点不共线时，则
C．在C 上存在点M，使得
D．若
，则
的最小值为
02 蒙日圆
4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发
现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙
日圆．若椭圆：
（
）的蒙日圆为
，则椭圆Γ 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上
两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为
，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线
的两条相互垂直的切线的交点
的轨迹是以
坐标原点为圆心，
为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆
的方程为
，
是直线
上的一点，过点
作椭圆
的两条切线与椭圆相切于
、
两点，
是坐标原点，连接
，当
为直角时，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
03 阿基米德三角形
7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆
的长半轴长和短半轴长乘积的
倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆
的面积为
，离心率
为
，
，
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆
的标准方程可以为
②若
，则
③存在点
，使得
④
的最小值为
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数
学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛
物线
，过焦点的弦
的两个端点的切线相交于点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
点必在直线
上，且以
为直径的圆过
点
B．
点必在直线
上，但以
为直径的圆不过
点
C．
点必在直线
上，但以
为直径的圆不过
点
D．
点必在直线
上，且以
为直径的圆过
点
9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．
阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定
值．设抛物线
，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
04 仿射变换问题
10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
，
分别为椭圆左右焦点，过
作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于
四点，若当两条弦垂直于
轴时，点
所
形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆
左顶点为
，
为椭圆
上两动点，直线
交
于
，直线
交
于
，直线
的斜率分别为
且
，
（
是非零实数），求
.
12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，且
在直线的上方，则△
内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
05 圆锥曲线第二定义
13．（2024·四川眉山·校考模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，过
且斜率为
的直线交
于
、
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知以F 为焦点的抛物线
上的两点
A，B，满足
，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．4
15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
=1 内有一点P（1，-1），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上
有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M 坐标为（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
16．（2024·山东济宁·统考）过抛物线
焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依
次为A，B，C.若
，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
06 焦半径问题
17．（2024·安徽·高二统考期末）过抛物线
(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段
PF 与FQ 的长分别为p、q，则
等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
18．（2024·全国·高三专题练习）长为11 的线段AB 的两端点都在双曲线
的右支上，则AB 中点
M 的横坐标的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·全国·高三专题练习）抛物线
的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关
系是（ ）
A．m＋n＝mn
B．m＋n＝4
C．mn＝4
D．无法确定
20．已知
为抛物线
的焦点，
是该抛物线上的两点，
，则线段
的中点到
轴的
距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
07 圆锥曲线第三定义
21．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）过抛物线
的焦点的直线与抛物线交于A，B 两点，若
的中
点的纵坐标为2，则
等于（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
22．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）过椭圆
上一点
作圆
的切线，且切线的斜率小于，切点为
，交椭圆另一点
，若
是线段
的中点，
则直线
的斜率（ ）
A．为定值
B．为定值
C．为定值
D．随
变化而变化
23．（2024·陕西咸阳·统考）已知双曲线
上存在两点
，
关于直线
对称，
且线段
的中点坐标为
，则双曲线
的离心率为（ ）．
A．
B．
C．2
D．
08 定比点差法与点差法
24．（2024·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）如图，P 为椭圆
上的一动点，
过点P 作椭圆
的两条切线PA，PB，斜率分别为
，
.若
为定值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中点为
（
），那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，或
26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆
内有一定点
，
过点P 的两条直线，
分别与椭圆
交于A、C 和B、D 两点，且满足
，
，若
变化
时，直线CD 的斜率总为
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
27．（2024·全国·高三专题练习）设
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点A、
在椭圆上，若
，则点A 的坐标是 ．
09 切线问题
28．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O 为坐标原点，点P 在标准单位圆上，过点P 作
圆C：
的切线，切点为Q，则
的最小值为 ．
29．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，直线
为：
，设点
为上的一个动点，过点
作抛物线
的两条切线
，其中
为切点，则
的最小值为 ．
30．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，抛物线
：
的焦点为
，
过
上一点
（异于原点
）作
的切线，与
轴交于点
．若
，
，则
．
31．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆
上一动点
分别向圆
：
和圆
：
作切线，切点分别为
，
，则
的取值范围为 .
10 焦点三角形问题
32．（2024·河北张家口·高二张家口市第四中学校考阶段练习）已知
是双曲线
的一个焦点，
点
在
上，
为坐标原点，若
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2024·全国·高三专题练习）已知
在双曲线
上，其左、右焦点分别为
、
，
三角形
的内切圆切x 轴于点M，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2024·江西宜春·上高二中校考模拟预测）已知双曲线
(
)的左､右焦点分别为
为双曲线上的一点，
为
的内心，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11 焦点弦问题
35．（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆
的左、右焦点分别为
，过点
的直线交椭圆于
两点，交
轴于点
，若
，
是线段
的三等分点，
的周长
为
，则椭圆
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2024·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
点P 在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若
为直角三角形，则
的周长是
B．若
为直角三角形，则
的面积是6
C．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
D．若
为钝角三角形，则
的取值范围是
12 圆锥曲线与张角问题
37．（2024·山东枣庄·统考）设
、
是椭圆
：
的两个焦点，若
上存在点
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
38．（2024·辽宁朝阳·高二统考期末）设
分别为椭圆
的左､右焦点，点
是椭圆
上异
于顶点的两点，
，则
，若点
还满足
，则
的面积为
.
39．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）已知O 为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别是
，过点
且斜率为k 的直线与圆
交于A，B 两
点（点B 在x 轴上方），线段
与椭圆交于点M，
延长线与椭圆交于点N，且
，则椭圆的离心率为 ，直线
的斜率为 ．
13 圆锥曲线与角平分线问题
40．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知抛物线
上横坐标为4 的点到抛物
线焦点
的距离为，点
是抛物线
上的点，
为坐标原点，
的平分线交抛物线
于点
，且
，
都在
轴的上方，则直线
的斜率为 .
41．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，
P 是C 在第一象限上的一点，且直线
的斜率为
，
的平分线交x 轴于点A，点B 满足
，
，则双曲线C 的渐近线方程为 ．
42．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，离心率为，点
是双曲线上的任意一点，满足
，
的平分线与
相交于点
，则
分
所得的两个三角形的面积之比
.
43．（2024·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，离心率为
，点
是椭圆上的任意一点，满足
的平分线与
相交于点
，则
分
所得的两个三角形的面积之比
.
44．（2024·全国·高三专题练习）已知点
是椭圆
：
上异于顶点的动点，
，
分别为椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，
为
的中点，
的平分线与直线
交于点
，则四边形
的面积的最大值为 .
14 圆锥曲线与通径问题
45．已知直线过抛物线
的焦点，且与
的对称轴垂直，与
交于
两点，
为
的准线上
一点，则
的面积为（ ）
A．18
B．24
C．36
D．48
46．以
轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
47．（2024·贵州黔东南·统考）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双
曲线的通径，其长等于
(
、
分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线
（
）的左、右焦点分别为
、
，若点
是双曲线
上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第
二、四象限的渐近线，
于点
，且
的最小值为3，则双曲线
的通径为 .
15 圆锥曲线的光学性质问题
48．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的
光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线
的焦点为
，一条平行于
轴的光线从点
射出，经过抛物线上的点
反射后，再
经抛物线上的另一点
射出，则
．
49．（2024·山东青岛·统考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线
与
交于点
、
，直线为
在点
处的切线，点
关于的对称点为
.由椭圆的光学性质知，
、
、
三点共线.若
，
，则
.
50．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦
点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆
的左、右
焦点为
,
，P 为椭圆上不与顶点重合的任一点，I 为
的内心，记直线OP，PI（O 为坐标原点）
的斜率分别为
，
，若
，则椭圆的离心率为 ．
16 圆锥曲线与四心问题
51．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为
上
一动点，且
，若
为
的内心，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，
为椭圆上异于长轴
端点的动点，
，
分别为
的重心和内心，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知
的三个顶点
均在抛物线
上，则下列命
题正确的有（ ）
A．若直线BC 过点
，则存在点A 使
为直角三角形；
B．若直线BC 过点
，则存在
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
轴，
，则
的面积为
54．（多选题）（2024·福建三明·统考）瑞士著名数学家欧拉在1765 年证明了定理“三角形的外心、重心、
垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉
线”.直线与
轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合
，且
恰为
某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
55．（多选题）（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，
右顶点为
，过
的直线交双曲线
的右支于
，
两点（其中点
在第一象限内），设
，
分别为
，
的内心，则（ ）
A．点
的横坐标为2
B．当
时，
C．当
时，
内切圆的半径为
D．
