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1
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题10 解三角形
解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1 小1 大或者是2 小1 大模式。
考点01 正弦余弦定理应用
考点02 三角形中面积周长应用
考点03 结构不良结构
考点01 正弦余弦定理应用
1．(2023 年北京卷·第7 题)在
中，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
．
故选：B．
2．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第7 题)在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
中，
，
，
根据余弦定理：
2
可得
，即
由
故
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第9 题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量
标杆的高度，称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称
为“表目距的差”则海岛的高
( )
( )
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，
，而
，所以
，而
，
即
＝
．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
3
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第8 题)2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
现有A．B．C 三点，且A．B．C 在同一水平面上的投影
满足
，
．由C 点测得B 点的仰角为
，
与
的差为100；由B 点测得A 点的仰角为
，则A．C 两点到水平面
的高度差
约为(
)
( )
A．346
B．373
C．446
D．473
【答案】B
【解析】
过
作
，过
作
，
故
，
由题，易知
为等腰直角三角形，所以
．
所以
．
因为
，所以
在
中，由正弦定理得：
，
4
而
，
所以
，
所以
．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将
的长度通过作辅助线的方式转化为
．
二 填空题
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第15 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
，
，
，则
________．
【答案】
【解析】由题意，
，
所以
，
所以
，解得
(负值舍去)．
故答案为：
．
2．(2021 年高考浙江卷·第14 题)在
中，
，M 是
中点，
，则
___________，
___________．
【答案】(1)．
(2)．
解析:由题意作出图形，如图，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
(负值舍去)，
所以
，
5
在
中，由余弦定理得
，
所以
；
在
中，由余弦定理得
．
故答案为
；
．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第16 题)如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】
，
，
，
由勾股定理得
，
同理得
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
．
故答案为：
．
6
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．
4 ．(2019· 浙江· 第14 题) 在
中，
，
，
，点
在线段
上．若
，则
，
．
【答案】
，
【解析】由题可得
，
，由正弦定理得
，解得
，所
以
．
3
4
45°
D
C
A
B
5．(2019·全国Ⅱ·理·第15 题)
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
.若
，
，
，则
的面积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得
，所以
，即
，
解得
(舍去)，所以
，
【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于
的方程，应用
的关系、三角形面积公式计算求解，
本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键
是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
6．(2023 年全国甲卷理科·第16 题)在
中，
，
的角平分线
交BC 于D，则
_________．
【答案】
【解析】
7
如图所示：记
，
方法一：由余弦定理可得，
，
因为
，解得：
，
由
可得，
，
解得：
．
故答案为：
．
方法二：由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
由正弦定理可得，
，解得：
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
，即
．
故答案为：
．
三 解答题
1 ．(2023 年天津卷· 第16 题) 在
中，角
所对
边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
8
【解析】(1)由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
(2)由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
(舍去)．
(3)由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第17 题)已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【解析】(1)
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
．
(2)由(1)知，
，
由
，
9
由正弦定理，
，可得
，
，
．
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】(1)
方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
．
10
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
．
(2)
方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
．
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第19 题)记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，点
在边
上，
．
(1)证明：
；
11
(2)若
，求
．
【答案】【解析】
(1)由题设，
，由正弦定理知：
，即
，
∴
，又
，∴
，得证．
(2)由题意知：
，
∴
，同理
，
∵
，
∴
，整理得
，又
，
∴
，整理得
，解得
或
，
由余弦定理知：
，
当
时，
不合题意；当
时，
；
综上，
．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·第18 题)在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
12
【答案】(I)
；(II)
【解析】(I)由
结合正弦定理可得：
△ABC 为锐角三角形，故
．
(II)结合(1)的结论有：
．
由
可得：
，
，
则
，
．
即
的取值范围是
5．(2022 新高考全国I 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】(1)因为
，即
13
，
而
，所以
；
(2)由(1)知，
，所以
，
而
， 所以
，即有
．
所以
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
6．(2020 天津高考·第16 题)在
中，角
所对的边分别为
．已知
．
(Ⅰ)求角
的大小；
(Ⅱ)求
的值；
(Ⅲ)求
的值．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
；(Ⅲ)
．
【解析】(Ⅰ)在
中，由
及余弦定理得
，又因为
，所以
；
(Ⅱ)在
中，由
，
及正弦定理，可得
；
(Ⅲ)由
知角
为锐角，由
，可得
，
进而
，
所以
．
7．(2020 江苏高考·第16 题)在
中，角
的对边分别为
，已知
．
14
(1)求
的值；
(2)在边
上取一点
，使得
，求
的值．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)由余弦定理得
，所以
．
由正弦定理得
．
(2)由于
，
，所以
．
由于
，所以
，所以
所以
．
由于
，所以
．
所以
．
8 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第17 题)
的内角
的对边分别为
．设
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
【答案】【解析】(1) 由已知得
，故由正弦定理得
．
15
由余弦定理得
．因为
，所以
．
(2)由(1)知
，由题设及正弦定理得
，
即
，可得
．
由于
，所以
，故
．
9．(2019·江苏·第15 题)在
中，角
的对边分别为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理
，得
，即
.
所以
.
(2)因为
，由正弦定理
，得
，所以
.
从而
，即
，故
.
因为
，所以
，从而
.因此
.
10．(2019·北京·理·第15 题)在△ABC 中，
，
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
【答案】(Ⅰ)由题可知
，
，
，由余弦定理得：
，
解得：
．
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：
，
16
结合正弦定理
可得：
，
很明显角C 为锐角，故
，故
．
考点02 三角形中面积周长问题
1．(2023 年全国乙卷理科·第18 题)在
中，已知
，
，
．
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
．【解析】(1)由余弦定理可得：
，
则
，
，
．
(2)由三角形面积公式可得
，
则
．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第18 题)在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、
，
，
．．
(1)若
，求
的面积；
(2)是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】解析:(1)因为
，则
，则
，故
，
，
，所以，
锐角，则
，
17
因此，
；
(2)显然
，若
为钝角三角形，则
为钝角，由余弦定理可得
，解得
，则
，
由三角形三边关系可得
，可得
，
，故
．
3．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第17 题)
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求
周长的最大值．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)由正弦定理可得：
，
，
，
(2)由余弦定理得：
，
即
．
(当且仅当
时取等号)，
，
解得：
(当且仅当
时取等号)，
周长
，
周长的最大值为
．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周
长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造
不等关系求得最值．
4．(2022 高考北京卷·第16 题)在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
【答案】解析:因为
，则
，由已知可得
，
18
可得
，因此，
．
解：由三角形的面积公式可得
，解得
．
由余弦定理可得
，
，
所以，
的周长为
．
5．(2022 年浙江省高考数学试题·第18 题)在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
【答案】解析:(1)由于
，
，则
．因为
，
由正弦定理知
，则
．
(2)因为
，由余弦定理，得
，
即
，解得
，而
，
，
所以
的面积
．
6．(2022 新高考全国II 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为
边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
．
(1)求
面积；(2)若
，求b．
【答案】(1)
(2)
【
解
析
】
(1)
由
题
意
得
，
则
19
，
即
，由余弦定理得
，整理得
，则
，又
，则
，
，则
；
(2)由正弦定理得：
，则
，则
，
．
7．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
【解析】【小问1 详解】
证明：因为
，
所以
，
所以
，
即
，所以
；
【小问2 详解】
解：因为
，
由(1)得
由余弦定理可得
，
则
，所以
，
故
，所以
，所以
的周长为
．
20
考点03 机构不良试题
1．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由
可得：
，
不妨设
，
则：
，即
．
选择条件①的【解析】
据此可得：
，
，此时
．
选择条件②的【解析】
据此可得：
，
则：
，此时：
，则：
．
选择条件③的【解析】
可得
，
，
与条件
矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵
,
∴
,
，
∴
,∴
,∴
,∴
,
若选①，
,∵
,∴
,∴c=1;
若选②，
,则
,
;若选③,与条件
矛盾．
21
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中
三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】【解析】解法一：
由
可得：
，不妨设
，
则：
，即
．
选择条件①的【解析】
据此可得：
，
，此时
．
选择条件②的【解析】
据此可得：
，
则：
，此时：
，则：
．
选择条件③的【解析】
可得
，
，与条件
矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵
,
∴
,
，
∴
,∴
,∴
,∴
,
若选①，
,∵
,∴
,∴c=1;
若选②，
,则
,
;
若选③,与条件
矛盾．
22
3．(2021 高考北京·第16 题)在
中，
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
边上中线的长．
条件①：
；
条件②：
周长为
；条件③：
的面积为
；
【答案】(1)
；(2)答案不唯一，具体见解析．
【解析】(1)
，则由正弦定理可得
，
，
，
，
，
，解得
；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得
，
与
矛盾，故这样的
不存在；
若选择②：由(1)可得
，设
的外接圆半径为
，
则由正弦定理可得
，
，
则周长
，
解得
，则
，由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
；若选择③：由(1)可得
，即
，
则
，解得
，则由余弦定理可得
边上的中线的长度
为：
．
4．(2020 北京高考·第17 题)在
中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
己知，求：
23
(Ⅰ)
的值：
(Ⅱ)
和
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
24
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