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第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
[来源:Zxxk.Com]
1．半径为r 的圆的内接正三角形的边长是
A．2r
B．
C．
D．
【答案】B
2．一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R 与r 的关系是
A．r=
R
B．r=
R [来源:学科网ZXXK]
C．r= R
D．r= R
【答案】A
【解析】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r=
R，
故选：A．[来源:学科网]
3．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】A
4．正n 边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】∵正n 边形的一个外角为60°，∴n=360°÷60°=6，
∵正六边形的外接圆半径与边长相等，∴正六边形的边长为4．[来源:学科网ZXXK]
故选A．学科~网
5．以半径为2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=
；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=
，
则该三角形的三边分别为：1，
，
∵12+（
）2=（
）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：
．
故选：A.
6．正六边形ABCDEF 内接于
，正六边形的周长是12，则
的半径是
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．同一个正方形的内切圆与外接圆的面积比为________．
【答案】1:2
【解析】如图，根据题意可知OA 和OB 分别是正方形的内切圆、外接圆的半径，因此设OA=x，则根据正方
形的性质求出OB 的长为
x，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为1:2.故答案为
1:2. 学科！网
8．如图，正五边形
内接于
，若直线
与
相切于点
，则
__________．
【答案】
[来源:Z&xx&k.Com]
9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐
步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的
面积，则S=_____．（结果保留根号）
【答案】
【解析】依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴△ABO 为等边三角形，
∵⊙O 的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=
，
∴AB=
，
∴S=6S △ABO=6× ×
×1=2
．
故答案为：2
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的内接正三角形ACE 的面积为48
，试求正六边形的周长．
而
ACE 的面积是
OAH 面积的6 倍，即6× ×
R× R＝48
，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
