文档内容
24.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。
3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。
知识点一 正多边形和圆的关系
1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
【例题】如图所示，六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形ABCDEF为
正六边形。
【变式2】正八边形的中心角是（ ）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
知识点二 正多边形的有关概念与计算
正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【例题】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）
【变式】已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
知识点三 正多边形的画法
要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。
正三角形的画法
第一步：用圆规画一个圆，
第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交
于两点A、B，
第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于
两点P、Q(P是第二步中的P)，
第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。正四边形的画法
取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依
次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆
交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、
D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是
等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片
正五边形的画法
① 以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。
② 平分半径ON，得OK=KN。
③ 以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边
形
的边长。
④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，
正七变形的画法
① 以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP.② 过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平
行线，把MN七等分.
③以 M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数
点（图中是 1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以 AB、BC、CM为边长，在圆周上
从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.
正八边形的画
正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。
得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意
一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。
拓展点一 圆内接正多边形的判断
【例题】如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是
正六边形．
【变式】如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=360，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求
证：五边形AEBCD是正五边形拓展点二 圆内接正多边形的有关计算
【例题】已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ ，面
6
积S．
6
【变式】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大
小．
拓展点三 与圆内接正多边形有关的证明
【例题】已知⊙O和⊙O上的一点A．
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．【变式】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5 cm，求⊙O的半径
R．
拓展点四 实际应用题
【例题】如图①有一个宝塔，他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．
（下列各题结果精确到0.1m）
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通
道，问塑像底座的半径最大是多少？
