文档内容
24．3 正多边形和圆
1．了解正多边形和圆的有关概念．
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想
办法知道吗？
二、合作探究
探究点一：正多边形的有关概念和性质
【类型一】求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正
多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.
【类型二】正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾
股定理可得：r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2.
方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．
【类型三】圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方
形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； (3)试探究
∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)解：图①中，连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，
∠BOC＝120°.又∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；
(2)90° 72°；
(3)∠MON＝.
探究点二：作圆的内接正多边形
如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是 120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然
后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；
(2)在⊙O上用圆规截取AC＝AB；
(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．
方法三：(1)作直径AD；
(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；
(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法四：(1)作直径AE；
(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；
(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规
作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，
如边数是3、4的整数倍的正多边形．
三、板书设计教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正
多边形的问题.
