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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知二次函数y=x2+bx-2 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则它与x 轴的另一个交点坐标是
A．（1，0）
B．
（2，0）
C．（-2，0）
D．（-1，0）
【答案】C
2．小兰画了一个函数y=x2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x2+ax+b=0 的解是
A．无解
B．x=1
C．x=-4
D．x=-1 或x=4
【答案】D
【解析】如图，∵函数y=x2+ax+b 的图象与x 轴的交点坐标分别是（-1，0），（4，0），∴关于x 的方程
x2+ax+b=0 的解是x=-1 或x=4．故选D．
3．已知函数
的图象如图所示，那么关于x 的方程
的根的情况是
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数
D．有两个同号不等实数根
【答案】D
【解析】∵
的图象与x 轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是-3 ，∵方程
，∴
时，即是y=-2 求x 的值，由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选D．
4．根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解x 的取值范围是
A．3<x<3.23
B．3．23<x<3.24
C．3.24<x<3.25
D．3.25<x<3.26
【答案】C
5．在二次函数y=ax2+bx+c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为
A．2
B．1
C．0
D．不能确定
【答案】A
【解析】∵a 与c 异号，∴ac<0，∴Δ=
>0，∴二次函数图象与x 轴的交点个数为2．故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
6．若二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是__________．
【答案】m>1
【解析】∵二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x 2+2x+m=0 没有实数根，∴判别式
Δ=22−4×1×m<0，解得m>1．故答案为：m>1．学科~网
[来源:学科网]
7．若抛物线y=x2-2x-3 与x 轴分别交于A，B 两点，则AB 的长为__________．
【答案】4
【解析】二次函数y=x2-2x-3 与x 轴交点A、B 的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0 的两个根，求得x1=-1，
x2=3，则AB=|x2-x1|=4．故答案为：4．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
[来源:Zxxk.Com]
…
-1
0
1
[来源:学科网ZXXK]
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y<5 时，x 的取值范围是__________．
【答案】0<x<4
【解析】根据函数的对称性可得：当x=4 时，y=5，则根据表格可得：当y<5 时，0<x<4．故答案为：4．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c=0 的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c>0 的解集；
（3）写出y 随x的增大而减小的自变量x 的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（4）∵抛物线y=ax2+bx+ c 经过（1，0），（2，2），（3，0），
∴
，解得：a=−2，b=8，c=−6，
∴−2x2+8x−6=k，移项得−2x2+8x−6−k=0，
Δ=64−4×（−2）（−6−k）>0，
整理得：16−8k>0，
∴k<2 时，方程ax2+bx+c=k 有两个相等的实数根．
10．已知抛物线y=-x2+mx+（7-2m）（m 为常数）．
（1）证明：不论m 为何值，抛物线与x 轴恒有两个不同的交点；
[来源:学科网ZXXK]
（2）若抛物线与x 轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A 在B 的左边），且抛物线交y 轴的正半
轴于C，求抛物线的解析式．
即（x 1+x2）
2-4x1x2=16，
由根与系数关系得x1+x2=m，x1x2=2m-7，
∴m2-4（2m-7）=16，
即m2-8m+12=0，
解得m=2 或m=6，
∵抛物线交y 轴的正半轴于点C，
∴7-2m>0，
∴m<3.5，
∴m=6 舍去，即m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
