文档内容
专题22.2 二次函数与一元二次方程（5个考点）
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
【考点3已知函数值y求X的取值范围】
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
【考点5二次函数综合】
【考点1 二次函数与x轴交点问题】
1．在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象与 轴的一个交点的
横坐标为 ，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与 轴交点的对称性
等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次
函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解： 二次函数 （ ）的对称轴为 ，且图
象与 轴的一个交点的横坐标为 ，
由抛物线上点的对称性可知，图象与 轴的另一个交点的横坐标为 ，
故选：A．
2．已知二次函数 （ 为常数）的图象与 轴的一个交点为 ，则关于
的一元二次方程 的两个实数根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】A
【详解】本题主要考查了根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得
另一交点的坐标是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出二次函数与x轴的另一
个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程之间的关系进行即可解答．
【分析】解：∵二次函数解析式为 ,
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点是 ，
∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点是 ，
∴方程 的两个实数根为 ， ．
故选：A．
3．抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】令y=0，根据根的判断式即可判断出抛物线与x轴的交点个数，令x=0，可得出抛
物线与y轴的交点坐标，进而即可得出答案.
【详解】令y=0，则-x2+x+7＝0，
∵ ，
∴抛物线y=-x2+x+7与x轴有两个交点，
令x=0，则y=7，
∴抛物线y=-x2+x+7与y轴交点坐标为（0，7），
即抛物线y=-x2+x+7与y轴有一个交点，
∴抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为3个.
故选A.
【点睛】本题考查了抛物线与两坐标轴的交点坐标.分别令y=0，x=0是解题的关键.
4．抛物线 与x轴的交点坐标是（ ）
A．（1，0）（-3，0） B．（-1，0）（3，0）
C．（1，0）（3，0） D．（-1，0）（-3，0）【答案】B
【详解】试题分析：在 中，令 ，得 ，解得： ， ，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）（3，0），故选B．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
5．规定：对于二次函数 ，我们把它的图象与 轴交点的横坐标称为二次函
数 的零点．已知二次函数 只有一个零点且图象开口向下，
则该零点是（ ）
A． B． C．3 D． 或3
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程的判别式是解题的关键．根据题意求出 代入解方程即可．
【详解】解： 二次函数 只有一个零点且图象开口向下，
，
解得 ，
故 ，
将 代入二次函数 ，
得 ，
令 ，
解得 ．
故选A．
6．已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ，则（ ）A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】D
【分析】二次函数的开口向上，当 取任意实数时，都有 ，则关于 的一元二次方程
的根的判别式小于0，据此即可列不等式求解．熟练掌握二次函数的性质是
解题关键．
【详解】解：由题意可知， ，且关于 的一元二次方程 的根的判别式小
于0，
即 ，
解得 ，
综上， ，且 ，
故选：D．
7．已知抛物线 经过点 ，则抛物线与 轴的另一个交点坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点坐标的求解等，解题的关键在于根据a≠0
求出b的值．根据点 和 得到 的值，再根据抛物线与 轴有交点，进而求解．
【详解】将 代入抛物线中，
得到：
化简得：即抛物线为：
抛物线与 轴有交点
解得： 或
抛物线与 轴交于一点
抛物线与 轴另一个交点为：
故选：C．
【考点2 图象法确定一元二次方程的根】
8．根据下列表格对应值：
判断关于 的方程 的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图
象和性质，根据上表可知当 时， 的取值范围为： ，即可．
【详解】由上表可知当 ，关于 的方程的一个解的范围为： ，
故选：B．
9．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
【答案】B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x＜1.7．
【详解】解：因为x=1.6时，x2-x=0.96，
x=1.7时，x2-x=1.19，
所以一元二次方程x2﹣x=1.1的一个解的范围为1.6＜x＜1.7．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，
具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知
数的值愈接近方程的根．
10．下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项
中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越
近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．
【详解】观察图表的，得 与零的距离最小，
方程 的近似根的是：
故选B．
11．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐
标系中作出二次函数 的图象．由图象可知，方程 有两个根，
一个在 和 之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个
近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程
的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．
【详解】解：由表格可知，当 时， ，当 时， ，
则方程的一个根在 和 之间， 时的y值比 时更接近0，
方程的一个近似根为： ．
故选：C．
12．根据下列表格，判断出方程 的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）
x
3.5 2.08 0.82
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程 的一个根是
函数 的图象与 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中 的值最接
近0的数即可，掌握二次函数的图象与 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．
【详解】解：方程 的一个根是函数 的图象与 轴的一个交点的
横坐标，
即关于函数 ， 时， 的取值，
由表格可知：当 时，函数 的值最接近0，
方程的近似解是 ，
故选：C．
13．下列表格是二次函数 的自变量 与函数值 的对应值，判断方程
（ 为常数）的一个解 的范围是（ ）
0A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y由负变为正时，
自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由表格中的数据可知，当 时， ，
当 时， ，
∴方程 （ 为常数）的一个解 的范围是 ，
故选D．
【考点3已知函数值y求X的取值范围】
14．已知函数 的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得 时， 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】令y=1，求解出x的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x均符合题意要求.
【详解】解：令y=1，则 ，解得x=-1或3，则由图象可知当 时，可使
得 ，故选择C.
【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.
15．已知一次函数 和二次函数 部分自变量和相应的函数值如表，当 时，自变量 的取值范围是( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1y ,从而得到当
1 2
y >y 时，自变量x的取值范围.
2 1
【详解】∵当x=0时,y =y =0;当x=4时,y =y =5；
1 2 1 2
∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，
而−1y ，
1 2
∴当y >y 时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4.
2 1
故选D.
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.
16．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， （
），则二次函数 中，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b（a＜b），
1 2
∴二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线
的开口方向向上，
∴该二次函数的图象如图所示：
根据图示知，符合条件的x的取值范围是：a＜x＜b；故选C．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．
17．已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先求出当 时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当 时，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴图象开口向上，
∵ ，
∴ 或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求
解的方法是关键．
18．如图，对于抛物线 ，若当x 3时，y随x的增大而减小；当x 3时，y的
值随x的增大而增大，则使y 0的x的取值范围为 ．【答案】
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】解：由题意对称轴x=3，抛物线经过（0，0）和（6，0），
观察图象可知：使y＜0的x的取值范围为0＜x＜6．
故答案为：0＜x＜6．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，已知点 在抛物线 上，当 时，x的取值范围是
．
【答案】 或
【分析】先将 代入 求出m的值，再令 ，解一元二次方程，结合二
次函数图象即可得出x的取值范围．
【详解】解： 点 在抛物线 上，
，
令 ，
则 ，即 ，
解得 ， ，抛物线开口向上，
当 即 时，x的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题
的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c分别交坐标轴于A（-2，0）、B（6，0）、C（0，4），则
0≤ax2+bx+c<4的解是 ．
【答案】-2≤x＜0或4＜x≤6
【分析】根据点A、B的坐标确定出对称轴，再求出点C的对称点的坐标，然后写出即可．
【详解】解：∵A（-2，0）、B（6，0），
∴对称轴为直线x= =2，
∴点C的对称点的坐标为（4，4），
∴0≤ax2+bx+c＜4的解集为-2≤x＜0或4＜x≤6．
故答案为：-2≤x＜0或4＜x≤6．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C点的对称点的坐标．
21．函数y=-x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．【答案】x＜-1或0＜x＜1
【分析】根据y=0时，对应x的值，再求函数值y＞0时，对应x的取值范围．
【详解】解：y=0时，即-x3+x=0，
∴-x(x2-1)=0，
∴-x(x+1) (x-1)=0，
解得x=0或x=-1或x=1，
∴函数y=-x3+x的部分图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），
故当函数值y＞0时，对应x的取值范围上是：x＜-1，0＜x＜1．
故答案为：x＜-1或0＜x＜1．
【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．
【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】
22．如图是二次函数 和一次函数 的图象，当
时， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得 的自变量 的
取值范围就是直线 落在二次函数 的图象上方的部
分对应的自变量 的取值范围．
【详解】根据图象可得出：当 时， 的取值范围是： ．故答案为： ．
23．如图，抛物线 与直线 交于 、 两点，则当
时， 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐
标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．
【详解】解：抛物线 与直线 交点为 ， ， ，
由图象知，当 时， 的取值范围 ，
故答案为： ．
24．直线 与抛物线 的图象如图，当 时， 的取值范围为
【答案】 或 / 或
【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的 的取值范围即可．
【详解】解：∵直线 与抛物线 的图象交点的横坐标分别为 ，
∴当 时， 的取值范围为： 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
25．如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则
， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接观察图象，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当 时， ，
∴ 时， 的取值范围是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图
象的交点的横坐标是解题的关键．
26．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点．则关
于 的不等式 的解集是 ．
【答案】 或 / 或【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 、 ，
∴不等式 的解集是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在
于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自
变量x的取值范围．
27．二次函数 的图象与一次函数 的图象如图所示，当 时，
根据图象写出 的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出 时， 的取值
范围．
【详解】解：当 时，即一次函数 的图象在二次函数 的图象
的上面，
可得 的取值范围是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确
信息．
28．如图，直线y＝px+q（p≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于A（﹣2，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≤px+q的解集是 ．
【答案】x≤﹣2或x≥1/x≥1或x≤﹣2
【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q的解集．
【详解】解：由图象可得点A左侧与点B右侧抛物线在直线下方，
∴x≤﹣2或x≥1时，ax2+bx+c≤px+q，
故答案为：x≤﹣2或x≥1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．
29．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（−1，p），B（5，q）两点，则关于x
的不等式mx+n
