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第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程2x2－5x＋3＝0 的根的情况是
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．两根异号
【答案】B
【解析】∵
=（﹣5）2
4×2×3=1
﹣
＞0，∴方程
有两个不相等的实数根．故选B．
2．方程(x－5)(x＋2)＝1 的解为
A．5
B．－2
C．5 和－2
D．以上结论都不对
【答案】D
【名师点睛】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，注意只有当
≥0
时，
.
3．用公式法解方程4y2=12y+3，得到
A．y=
B．y=
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
C．y=
D．y=
【答案】D
【解析】4y2=12y+3，
4y2−12y−3=0，
a=4，b=−12，c=−3，
b2−4ac=(−12)2−4×4×(−3)=192>0，
y=
，
故选D．
4．已知关于x 的一元二次方程
有两个相等的实根，则k 的值为
A．
B．
C．2 或3
D．
或
【答案】A
【解析】∵方程
有两个相等的实根，
∴
=k2−4×2×3=k2−24=0，
解得：k=
．
故选A．
【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当
=0 时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的
关键．
5．关于的一元二次方程
有两个实数根，则的取值范围是
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】D
[来源:学。
科。网Z。X。X。K]
【名师点睛】考查一元二次方程
根的判别式
，
当
时，方程有两个不相等的实数根. 学科~网
当
时，方程有两个相等的实数根.
当
时，方程没有实数根.
6．关于的一元二次方程
的根的情况是
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
【答案】A
【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式
=b2−4ac．当
＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当
=0 时，方程有两个相等的实数根；当
＜0 时，方程没有实数
根．[来源:Zxxk.Com]
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．方程x2
4
﹣x
3=0
﹣
的解为__________．
【答案】
【解析】
故答案为：
【名师点睛】考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.根据题
目选择合适的方法.
8．关于x 的一元二次方程（m
5
﹣）x2+2x+2=0 有实根，则m 的最大整数解是__________．
【答案】m=4．
【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式
的关系：（1）＞0，方程有两个
不相等的实数根；（2）
=0，方程有两个相等的实数根；（3）
＜0 方程没有实数根．[来源:学科网]
9．若关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，则a 的值是__________．
【答案】4
【解析】∵关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，∴
=42
4
﹣a=16
4
﹣a=0，解得：
a=4．故答案为4．
10．已知关于x 的一元二次方程
有两个相等实数根，则m 的值为______．
【答案】0
【解析】∵关于x 的一元二次方程（m−1）x2−（2m−2）x−1=0 有两个相等的实数根，
∴
=（2m−2）2+4（m−1）=0，且m−1≠0，
∴
，m≠1.
解得，m=0．
故答案是0．学科#网
【名师点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式
的关系：
（1）
＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）
=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）
＜0⇔方程没有实数根．
11．已知方程组
有两组不相等的实数解，则的取值范围是_________．
【答案】
且
【解析】
, 把②代入①得
，整理得
,当
且
时,方程有两个不相等的根,解得k<1 且
k≠0,所以当k<1 且k≠0 时,方程组有两组不相等的实数解.
故答案为：
且
.
【名师点睛】本题考查了高次方程:通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方
程一般要降次,即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．解方程：
（1）x2−16=0；（2）x2−4=−2x.
【答案】(1)x1=4，x2=−4;(2)x1=
,x2=−
.
13．4x2﹣5=12x（用公式法解）．
[来源:学|科|网]
【答案】
，
．
【解析】原方程整理为：4x2
12
﹣
x﹣5=0，
∵a=4，b=
12
﹣
，c=﹣5，
∴
=144
4×4×
﹣
（﹣5）=224＞0，
则
，
∴
，
．
14．若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】
【名师点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当
＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2
4
﹣ac＞0 的情况，她是这
样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0 变形为：
x2+ x=﹣，…第一步
x2+ x+（
）2=﹣+（
）2，…第二步
（x+
）2=
，…第三步
x+
=
（b2
4
﹣ac＞0），…第四步
x=
，…第五步
嘉淇的解法从第________________步开始出现错误；事实上，当b2
4
﹣ac＞0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的求根公式是________________．
用配方法解方程：x2
2
﹣x
24=0
﹣
．
【答案】见解析
【解析】（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2
4
﹣ac＞0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
x=
；
故答案为：四；x=
；
（2）x2
2
﹣x=24，配方得：x2
2
﹣x+1=24+1，即（x
1
﹣）2=25，开方得：x
1=±5
﹣
，解得：x1=6，x2=
4
﹣．
【名师点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.
