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16.1 二次根式
知识点1：二次根式的定义
一般地，我们把形如
（1）√3−2x；（2）
3
√x+1；（3）√x+1
|x|−2
；的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算
数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a 必须是非负数
。二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a﹤0 时，
没有意义。
知识点2：二次根式的性质
（1）二次根式的非负性，√( x−1)2
的最小值是0；也就是说
（
）是一个非负数，即
√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a≥0(a≥0)表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0。
（2）
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若
，则
，如：
（3）
知识点3：
与
的异同点
（1）不同点：
与
表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的
平方，而
表示一个实数a 的平方的算术平方根；在
中
，而
中a 可以
是正实数，0，负实数。但
与
都是非负数，即
，
。因而它的
运算的结果是有差别的，
，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即
时，
=
；
时，
无意义，而
.
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【例题1】（2019•山东省济宁市 ）下列计算正确的是（ ）
A．
＝﹣3
B．
＝
C．
＝±6
D．﹣
＝﹣0.6
【例题2】（2020•常德）若代数式
2
√2 x−6
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
一、选择题
1．（2020•绥化）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）
A．√2−3
B．−√2−3
C．√2+3
D．3−√2
2.（2019 湖南益阳）下列运算正确的是（ ）
A．
＝﹣2
B．（2
）2＝6
C．
+
＝
D．
×
＝
3.若代数式
+
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≥0
C．x≠0
D．x≥0 且x≠1
4.当1＜a＜2 时，代数式
+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．
1
C．
2a﹣3
D．
3﹣2a
5.把
根号外的因式移到根号内，得( )
A．
B．
C．
D．
6．要使代数式
有意义，则x 的（ ）
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A．最大值是
B．最小值是
C．最大值是
D．最小值是
7．要使式子
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
8．若二次根式
有意义，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
9．式子
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
10．实数a，b 在数轴上对应点的位置如图，化简|a|+
的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
11．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x 2•x 3=x 6B．
=|x|
C．（x 2﹣
）÷x=x﹣1 D．x 2 ﹣x+1=（x﹣
）2+
12．下列结论正确的是（ ）
A．3a3b﹣a2b=2
B．单项式﹣x2的系数是﹣1
C．使式子
有意义的x 的取值范围是x＞﹣1
D．若分式
的值等于0，则a=±1X k B 1 . c o m
13．若代数式
+
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≥0
C．x≠0
D．x≥0 且x≠1
14．下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A．
=34 B．
=（﹣5）3
C．
=32×55
D．
=（﹣3）2×（﹣5）4
二、填空题
15．（2020•苏州）使√x−1
3
在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．
16．若y=
+
+2，则xy=
．
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17．若y=
﹣2，则（x+y）y= ．
18.若
=3﹣x，则x 的取值范围是
．
三、解答题
19.计算
20.已知a、b、c 为△ABC 的三边长，化简
21.实数
在数轴上对应的点如图：
化简
.
22.x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
； (2)
