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16.1 二次根式
知识点1：二次根式的定义
一般地，我们把形如
（1）√3−2x；（2）
3
√x+1；（3）√x+1
|x|−2
；的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算
数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a 必须是非负数
。二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a﹤0 时，
没有意义。
知识点2：二次根式的性质
（1）二次根式的非负性，√( x−1)2
的最小值是0；也就是说
（
）是一个非负数，即
√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a≥0(a≥0)表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0。
（2）
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若
，则
，如：
（3）
知识点3：
与
的异同点
（1）不同点：
与
表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的
平方，而
表示一个实数a 的平方的算术平方根；在
中
，而
中a 可以
是正实数，0，负实数。但
与
都是非负数，即
，
。因而它的
运算的结果是有差别的，
，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即
时，
=
；
时，
无意义，而
.
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【例题1】（2019•山东省济宁市 ）下列计算正确的是（ ）
A．
＝﹣3
B．
＝
C．
＝±6
D．﹣
＝﹣0.6
【答案】D．
【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
A.
＝3，故此选项错误；
B.
＝﹣
，故此选项错误；
C.
＝6，故此选项错误；
D.﹣
＝﹣0.6，正确．
【例题2】（2020•常德）若代数式
2
√2 x−6
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
【答案】x＞3．
【解析】由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．
一、选择题
1．（2020•绥化）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）
A．√2−3
B．−√2−3
C．√2+3
D．3−√2
【答案】D
【解析】∵√2−3＜0，
∴|√2−3|=−(√2−3)=3−√2．
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【点拨】根据绝对值的定义解答即可．
2.（2019 湖南益阳）下列运算正确的是（ ）
A．
＝﹣2
B．（2
）2＝6
C．
+
＝
D．
×
＝
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
A.
＝2，故本选项错误；
B.
＝12，故本选项错误；
C.
与
不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D.根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
3.若代数式
+
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A．x≠1
B．x≥0
C．x≠0
D．x≥0 且x≠1
【答案】D．
【解析】根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．
∵代数式
+
有意义，
∴
，
解得x≥0 且x≠1．
4.当1＜a＜2 时，代数式
+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．
1
C．
2a﹣3
D．
3﹣2a
【答案】B
【解析】首先判断出a﹣2＜0，1﹣a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
∵当1＜a＜2 时，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，
∴
+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
5.把
根号外的因式移到根号内，得( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C.
【解析】由二次根式的意义知x＜0，则
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.
6．要使代数式
有意义，则x 的（ ）
A．最大值是
B．最小值是
C．最大值是
D．最小值是
【答案】A
【解析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
∵代数式
有意义，
∴2﹣3x≥0，解得x≤．
7．要使式子
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
【答案】C
【解析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x﹣1≥0，求出答案．
要使式子
有意义，
故x﹣1≥0，
解得：x≥1．
则x 的取值范围是：x≥1．
8．若二次根式
有意义，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【答案】A
【解析】根据负数没有平方根列出关于a 的不等式，求出不等式的解集确定出a 的范围即可．
∵二次根式
有意义
∴a﹣2≥0，即a≥2
则a 的范围是a≥2
9．式子
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【答案】C
【解析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x 的取值范围．
依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
10．实数a，b 在数轴上对应点的位置如图，化简|a|+
的结果是（ ）
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A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【解析】直接利用数轴上a，b 的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的
性质化简得出答案．
如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
11．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x 2•x 3=x 6B．
=|x|
C．（x 2﹣
）÷x=x﹣1 D．x 2 ﹣x+1=（x﹣
）2+
【答案】B
【解析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简
求出答案．
A．x 2•x 3=x 5，故此选项错误；
B．
=|x|，正确；
C．（x 2﹣
）÷x=x﹣
，故此选项错误；
D．x 2﹣x+1=（x﹣
）2+
，故此选项错误。
12．下列结论正确的是（ ）
A．3a3b﹣a2b=2
B．单项式﹣x2的系数是﹣1
C．使式子
有意义的x 的取值范围是x＞﹣1
D．若分式
的值等于0，则a=±1X k B 1 . c o m
【答案】B
【解析】根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根式的被开方数
是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D．
A．合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误；
B．单项式﹣x2的系数是﹣1，故B 正确；
C．式子
有意义的x 的取值范围是x＞﹣2，故C 错误；
D．分式
的值等于0，则a=1，故D 错误.
13．若代数式
+
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
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A．x≠1
B．x≥0
C．x≠0
D．x≥0 且x≠1
【答案】D
【解析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．
∵代数式
+
有意义，
∴
，
解得x≥0 且x≠1．
14．下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A．
=34 B．
=（﹣5）3
C．
=32×55
D．
=（﹣3）2×（﹣5）4
【答案】B
【解析】分别利用二次根式的性质化简求出即可．
A．
=34，正确，不合题意；
B．
=53，故此选项错误；
C．
=32×55，正确，不合题意；
D．
=（﹣3）2×（﹣5）4，正确，不合题意.
二、填空题
15．（2020•苏州）使√x−1
3
在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．
【答案】x≥1．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
16．若y=
+
+2，则xy=
．
【答案】9
【解析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y 即可．
y=
有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴xy=32=9．
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17．若y=
﹣2，则（x+y）y= ．
【答案】1/4
【解析】根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
由题意得，x﹣4≥0 且4﹣x≥0，
解得x≥4 且x≤4，
∴x=4，
y=﹣2，
∴x+y）y=（4﹣2）﹣2= ．
18.若
=3﹣x，则x 的取值范围是
．
【答案】x≤3．
【解析】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0 时，
=a，
当a＜0 时，
=﹣a．
根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．
∵
=3﹣x，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3，
三、解答题
19.计算
【答案】1
【解析】
20.已知a、b、c 为△ABC 的三边长，化简
【答案】2a+4b
【解析】利用三角形任意两边之和大于第三边和
进行化简.
∵a、b、c 为△ABC 的三边长，
∴原式
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21.实数
在数轴上对应的点如图：
化简
.
【答案】
【解析】由数轴可知
并且
=
=
=
22.x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
； (2)
；
【答案】（1）
; （2）
.
【解析】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
时
才是二次根式.
(1) 要使
在实数范围内有意义，
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必有
∴当
时，
在实数范围内有意义；
(2) 要使
在实数范围内有意义，则必有
∴当
时，
在实数范围内有意义.
