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2021 年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答。
1．下列各数中最大的是（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．0
D．1
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a3＝a6
B．a3•a3＝a6
C．（a3）3＝a6
D．（ab3）2＝ab6
3．如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°，则∠1 等于（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
4．若二次根式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3
B．x≥3
C．x≤﹣3
D．x＞﹣3
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000
元，现在生产一吨药的成本是4050 元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程
正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝4050
B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050
D．4050（1﹣x）2＝5000
7．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
8．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2 个红球和1 个白球，从袋子中随机摸出2 个球，
下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2 个球中至少有1 个红球
B．摸出的2 个球都是白球
C．摸出的2 个球中1 个红球、1 个白球
D．摸出的2 个球都是红球
9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺）
其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，
它高出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．
水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10 尺
B．11 尺
C．12 尺
D．13 尺
10．一次函数y＝ax+b 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分。把答案填在答题卡的相应位置上。
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
11．据统计，2021 年“五•一”劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客2270000 人次．数
字2270000 用科学记数法表示为 ．
12．不等式组
的解集是 ．
13．中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图
中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机
移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是 ．
14．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上
水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关
系式y＝﹣2x2+4x+1 喷出水珠的最大高度是 m．
15．点O 是△ABC 的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC 为 °．
16．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点E 在边BC 上，点F 在CB 的延长线上，
∠EAF＝45°，AE 交BD 于点G，tan∠BAE＝
，BF＝2，则FG＝ ．
三、解答题：本大题共9 个小题，共72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
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3
17．（6 分）先化简，再求值：
，其中x＝
+1．
18．（6 分）如图，建筑物BC 上有一旗杆AB，从与BC 相距20m 的D 处观测旗杆顶部A
的仰角为52°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆AB 的高度（结果保留小数点后一
位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，
≈1.41）．
19．（6 分）为庆祝中国共产党建党100 周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史
知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20 名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x＜
85
85≤x＜
90
90≤x＜
95
95≤x≤1
00
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
（3）分析数据．
两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
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4
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90 分， 同学的分数在本
年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是 年级（填“七”或“八”）；
④如果七年级共有400 人参赛，则该年级约有 人的分数不低于95 分．
20．（6 分）如图，BD 为▱ABCD 的对角线．
（1）作对角线BD 的垂直平分线，分别交AD，BC，BD 于点E，F，O（尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF 为菱形．
21．（7 分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝
的图象
与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x 与y 的几组对应值，其中m＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m
…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
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5
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y 随x 的增大而减小： ．
②函数图象关于原点对称： ．
③函数图象与直线x＝﹣1 没有交点： ．
22．（8 分）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，直线BO 与⊙O 交于点F 和点D，OA 与
⊙O 交于点E，与DC 交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
23．（10 分）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔
后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼
进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价
（元/斤
）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200 斤的部分
销量超过200 斤的部分
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6
8
7
已知老李购进10 斤鲢鱼和20 斤草鱼需要155 元，购进20 斤鲢鱼和10 斤草鱼需要130
元．
（1）求a，b 的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300 斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80 斤且
不超过120 斤，设每天销售鲢鱼x 斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x 的函数关系式，并
写出x 的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m 元，草鱼售价全部定为7 元/斤，
为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320 元，求m 的最大值．
24．（11 分）在△ABC 中，∠ACB＝90°，
＝m，D 是边BC 上一点，将△ABD 沿AD 折
叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE 落在直线AC 上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：
的值为 ；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG 交
AE 于点H．探究
的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝
，D 是BC 的中点时，若EB•EH＝6，求CG 的长．
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7
25．（12 分）如图，直线y＝
x+1 与x，y 轴分别交于点B，A，顶点为P 的抛物线y＝ax2
﹣2ax+c 过点A．
（1）求出点A，B 的坐标及c 的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c 在3≤x≤4 时有最大值为a+2，求a 的值；
（3）连接AP，过点A 作AP 的垂线交x 轴于点M．设△BMP 的面积为S．
①直接写出S 关于a 的函数关系式及a 的取值范围；
②结合S 与a 的函数图象，直接写出S＞
时a 的取值范围．
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8
2021 年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答。
1．下列各数中最大的是（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．0
D．1
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其
值反而小，依此比较大小即可求解．
【解答】解：因为﹣3＜﹣2＜0＜1，
所以其中最大的数为1．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a3＝a6
B．a3•a3＝a6
C．（a3）3＝a6
D．（ab3）2＝ab6
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方和积的乘方的运算
法则，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂相除，底数不变指数相减：a3÷a3＝1，原计算错误，故此选
项不符合题意；
B、同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3•a3＝a6，原计算正确，故此选项符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘：（a3）3＝a9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、积的乘方等于乘方的积：（ab3）2＝a2b6，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°，则∠1 等于（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【分析】根据互余得出∠ABC＝50°，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°，
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9
∴∠ABC＝50°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝50°，
故选：C．
4．若二次根式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3
B．x≥3
C．x≤﹣3
D．x＞﹣3
【分析】根据二次根式的概念，形如
（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：若二次根式
在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故选：A．
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形为：
故选：B．
6．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000
元，现在生产一吨药的成本是4050 元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程
正确的是（ ）
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10
A．5000（1+x）2＝4050
B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050
D．4050（1﹣x）2＝5000
【分析】等量关系为：2 年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数
值代入计算即可．
【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
故选：C．
7．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【分析】由正多边形的外角和为360°，及正多边形的一个外角等于60°，可得结论．
【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边长为：360°÷60°＝6．
故选：B．
8．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2 个红球和1 个白球，从袋子中随机摸出2 个球，
下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2 个球中至少有1 个红球
B．摸出的2 个球都是白球
C．摸出的2 个球中1 个红球、1 个白球
D．摸出的2 个球都是红球
【分析】正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即
事件发生的可能性为100%．
【解答】解：A、袋子中装有2 个红球和1 个黑球，摸出的2 个球中至少有1 个红球，所
以A 是必然事件，符合题意；
B、袋子中有2 个红球1 个白球，摸出的2 个球都是白球是不可能事件，不符合题意
C、袋子中有2 个红球和1 个白球，所以摸出的2 个球中1 个红球，1 个白球是随机事件，
不符合题意；
D．袋子中有2 个红球和1 个白球，摸出的2 个球都是红球是随机事件，不符合题意．
故选：A．
9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺）
其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，
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它高出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．
水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10 尺
B．11 尺
C．12 尺
D．13 尺
【分析】设水深为h 尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h 即可．
【解答】解：设水深为h 尺，则芦苇长为（h+1）尺，
根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，
解得h＝12，
∴水深为12 尺，
故选：C．
10．一次函数y＝ax+b 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b 的符号，进而结合二次函数图象
的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b 的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx 的图象：开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，
故选：D．
二、填空题本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分。把答案填在答题卡的相应位置上。
11．据统计，2021 年“五•一”劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客2270000 人次．数
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12
字2270000 用科学记数法表示为
2.27×10
6
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将2270000 用科学记数法表示为2.27×106．
故答案是：2.27×106．
12．不等式组
的解集是
x ≤
1
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞
，
所以不等式组的解集是
≤1，
故答案为：
．
13．中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图
中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机
移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是
．
【分析】用“﹣﹣﹣”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答
案．
【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8 处，
位于“﹣﹣﹣”（图中虚线）的上方的有2 处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是
＝
，
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13
故答案为：
．
14．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上
水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关
系式y＝﹣2x2+4x+1 喷出水珠的最大高度是
3
m．
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1 时，y 有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
15．点O 是△ABC 的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC 为
55°
或
125
°．
【分析】由题意可知，需要分两种情况：①△ABC 是锐角三角形；②△ABC 是钝角三
角形，再分别求解即可．
【解答】解：①△ABC 是锐角三角形，如图，
∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC 是钝角三角形，如图，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
故答案为：55°或125．
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14
16．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点E 在边BC 上，点F 在CB 的延长线上，
∠EAF＝45°，AE 交BD 于点G，tan∠BAE＝
，BF＝2，则FG＝
2
．
【分析】过点E 作EH⊥AC 于点H，则△EHC 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的
三边关系及tan∠BAE＝
，可求得tan∠EAH＝
＝
；又tan∠BAF＝tan∠EAH＝
，可得出各个边的长度；由EF：GE＝AE：BE＝
：1，及∠GEF＝∠BEA，可得
△GEF∽△BEA，则∠EGF＝∠ABE＝90°，所以△AGF 是等腰直角三角形，所以FG＝
AF＝2
．
【解答】解：如图，过点E 作EH⊥AC 于点H，
则△EHC 是等腰直角三角形，
设EH＝a，则CH＝a，CE＝
a，
在Rt△ABE 中，∠ABE＝90°，
∴tan∠BAE＝
＝
，
∴BE＝
AB，
∴BE＝CE＝
a，
∴AB＝BC＝2
a，
∴AC＝4a，AH＝3a，
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15
∴tan∠EAH＝
＝
，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠EAH，
∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝
，
∵BF＝2，
∴AB＝6，BE＝CE＝3，
∴AE＝3
，AF＝2
，
∴EF＝5，
∵AD∥BC，
∴AD：BE＝AG：GE＝2：1，
∴GE＝
，
∵EF：GE＝5：
＝
：1，
AE：BE＝3
：3＝
：1，
∠GEF＝∠BEA，
∴EF：GE＝AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴△AGF 是等腰直角三角形，
∴FG＝
AF＝2
．
故答案为：2
．
三、解答题：本大题共9 个小题，共72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
17．（6 分）先化简，再求值：
，其中x＝
+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：
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16
＝
＝
＝
，
当x＝
+1 时，原式＝
＝1+
．
18．（6 分）如图，建筑物BC 上有一旗杆AB，从与BC 相距20m 的D 处观测旗杆顶部A
的仰角为52°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆AB 的高度（结果保留小数点后一
位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，
≈1.41）．
【分析】在Rt△BCD 中，利用正切函数求得BC，在Rt△ACD 中，利用正切函数求得
AC，即可根据AB＝AC﹣BC 求得旗杆AB 的高度．
【解答】解：在Rt△BCD 中，∵tan∠BDC＝
，
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20（m），
在Rt△ACD 中，∵tan∠ADC＝
，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6（m），
∴AB＝AC﹣BC＝56（m）．
答：旗杆AB 的度约为56m．
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19．（6 分）为庆祝中国共产党建党100 周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史
知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20 名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x＜
85
85≤x＜
90
90≤x＜
95
95≤x≤1
00
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
（3）分析数据．
两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a＝
6
，b＝
91
，c＝
95
；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90 分， 甲 同学的分数在
本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是 八 年级（填“七”或“八”）；
④如果七年级共有400 人参赛，则该年级约有
160
人的分数不低于95 分．
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18
【分析】（1）根据七、八年级学生中各随机抽取20 名学生的分数可得a＝6，第10，
11 名学生的成绩为90 分，92 分，即可求出b 的值，95 分出现了3 次，次数最多，可得
c 的值；
（2）根据八年级的中位数是91 分，七年级的中位数是89 分，可得90 分大于七年级成
绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
（3）根据方差进行评价即可作出判断；
（4）用七年级不低于95 分的比例乘以总人数即可．
【解答】解：（1）∵七、八年级学生中各随机抽取20 名学生的分数，
∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11 名学生的成绩为90 分，92 分，
∴b＝
＝91（分），
八年级成绩的95 分出现了3 次，次数最多，
∴c＝95，
故答案为：6，91，95；
（2）甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91 分，七年级的中位数是89 分，
∴90 分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
（3）∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
（4）因为七年级不低于95 分的有8 人，
所以400×
＝160（人），
故答案为：160．
20．（6 分）如图，BD 为▱ABCD 的对角线．
（1）作对角线BD 的垂直平分线，分别交AD，BC，BD 于点E，F，O（尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF 为菱形．
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【分析】（1）利用基本作图作BD 的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，再证明
△ODE≌△OB 得到DE＝BF，则BE＝DE＝BF＝DF，然后根据菱形的判定方法得到结
论．
【解答】（1）解：如图，EF 为所作；
（2）证明：∵EF 垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE 和△OBF 中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF 为菱形．
21．（7 分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝
的图象
与性质．其研究过程如下：
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（1）绘制函数图象
①列表：如表是x 与y 的几组对应值，其中m＝
1
；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m
…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y 随x 的增大而减小：
×
．
②函数图象关于原点对称：
×
．
③函数图象与直线x＝﹣1 没有交点： √ ．
【分析】（1）①将x＝0 代入即得m 的值；
②描出（0，1）即可；
③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；
（2）根据图象，数形结合即可判断．
【解答】解：（1）①x＝0 时，y＝
＝1，
故答案为：1；
②如图：
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∵m＝1，
∴A 即为（0，m）的点；
③补充图象如图：
（2）根据函数图象可得：
①每一个分支上，函数值y 随x 的增大而减小，故①错误，应为×，
②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误，应为×，
③x＝﹣1 时，
无意义，函数图象与直线x＝﹣1 没有交点，应为√．
故答案为：×，×，√．
22．（8 分）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，直线BO 与⊙O 交于点F 和点D，OA 与
⊙O 交于点E，与DC 交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
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22
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质证得OC⊥AB，根据切线的判定得到AB
是⊙O 的切线；
（2）由圆周角定理结合平行线的性质得到∠DGO＝90°，由垂径定理求得DG＝3，根据
等腰三角形的性质结合平角的定义求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG 中，根据三角函数的
定义求得OG＝2
，OG＝
，根据S 阴影＝S 扇形ODE﹣S△DOG即可求出阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵OF 是⊙O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥CD，
∴DG＝
CD＝
×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝
×180°＝60°，
在Rt△ODG 中，
∵sin∠DOG＝
，cos∠ODG＝
，
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∴OD＝
＝
＝2
，
OG＝OD•cos∠DOG＝2
×
＝
，
∴S 阴影＝S 扇形ODE﹣S△DOG＝
﹣
×
×3＝2π﹣
．
23．（10 分）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔
后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼
进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价
（元/斤
）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200 斤的部分
销量超过200 斤的部分
8
7
已知老李购进10 斤鲢鱼和20 斤草鱼需要155 元，购进20 斤鲢鱼和10 斤草鱼需要130
元．
（1）求a，b 的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300 斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80 斤且
不超过120 斤，设每天销售鲢鱼x 斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x 的函数关系式，并
写出x 的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m 元，草鱼售价全部定为7 元/斤，
为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320 元，求m 的最大值．
【分析】（1）根据“购进10 斤鲢鱼和20 斤草鱼需要155 元，购进20 斤鲢鱼和10 斤草
鱼需要130 元”方程组解答即可；
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（2）根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x 的函数关
系式；
（3）由题意得出W 与m 的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得
；
（2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120），
当300﹣x≤200 时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600；
当300﹣x＞200 时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣
x+500；
∴
；
②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中
80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0 时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W 随x 的增大而增大，
∴当x＝80 时，W 的值最小，
由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，
解得m≤0.25，
∴m 的最大值为0.25．
24．（11 分）在△ABC 中，∠ACB＝90°，
＝m，D 是边BC 上一点，将△ABD 沿AD 折
叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE 落在直线AC 上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：
的值为
1
；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG 交
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AE 于点H．探究
的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝
，D 是BC 的中点时，若EB•EH＝6，求CG 的长．
【分析】（1）①由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，再由等角的余角相等，即可得出结
论；
②由①知，∠DAC ＝∠EBC ，再判断出AC ＝BC ，进而用ASA 判断出，
△ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）同（1）①的方法，即可得出结论；
（3）先判断出DF 是△BCE 的中位线，得出DF∥CE，进而得出∠BEC＝∠BFD＝
90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，再判断出AG＝CE，设CG＝x，则AG＝
x，BE＝2x，得出AG＝CE 进而用AAS 判断出△AGH≌△ECH，得出GH＝
x，再用勾
股定理求出AH＝
x，即可得出结论．
【解答】解（1）①如图1，延长AD 交BE 于F，
由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC；
②由①知，∠DAC＝∠EBC，
∵m＝1，
∴AC＝BC，
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26
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴CD＝CE，
∴
＝1，
故答案为1．
（2）如图2，延长AD 交BE 于F，
由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴
＝m；
（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
∴DF 是△BCE 的中位线，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由（2）知，△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，
＝
＝2m＝
，
∴
＝tan∠GAC＝
＝
，
设CG＝x，则AG＝
x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∴△AGH≌△ECH（AAS），
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝
x，
在Rt△AGH 中，根据勾股定理得，AH＝
＝
x，
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∵EB•EH＝6，
∴2x•
x＝6，
∴x＝
或x＝﹣
（舍），
即CG＝
．
25．（12 分）如图，直线y＝
x+1 与x，y 轴分别交于点B，A，顶点为P 的抛物线y＝ax2
﹣2ax+c 过点A．
（1）求出点A，B 的坐标及c 的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c 在3≤x≤4 时有最大值为a+2，求a 的值；
（3）连接AP，过点A 作AP 的垂线交x 轴于点M．设△BMP 的面积为S．
①直接写出S 关于a 的函数关系式及a 的取值范围；
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②结合S 与a 的函数图象，直接写出S＞
时a 的取值范围．
【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A 坐标代入解析式可求c 的
值；
（2）分a＞0，a＜0 两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形
的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝
x+1 与x，y 轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c 过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4 时，y 随x 的增大而增大，
∴当x＝4 时，y 有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝
；
当a＜0，3≤x≤4 时，y 随x 的增大而减小，
∴当x＝3 时，y 有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝
（不合题意舍去），
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综上所述：a＝
；
（3）①当a＜0 时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P 作PN⊥y 轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P 坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y 轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝
×（2﹣a）（1﹣a）＝
a2﹣
a+1；
当a＞0，1﹣a＞0 时，即0＜a＜1，
如图2，过点P 作PN⊥y 轴于N，
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∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝
×（2﹣a）（1﹣a）＝
a2﹣
a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0 时，即1＜a＜2，
如图3，过点P 作PN⊥y 轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝
×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣
a2+
a﹣1；
当a＝2 时，点B 与点M 重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1 时，即a＞2，
如图4，过点P 作PN⊥y 轴于N，
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∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝
×（a﹣2）（a﹣1）＝
a2﹣
a+1；
综上所述：S＝
．
②当1＜a＜2 时，S＝﹣
a2+
a﹣1＝﹣
（a﹣
）2+
≤
，
∴当1＜a＜2 时，不存在a 的值使S＞
；
当a＜1 且a≠0 时，S＝
a2﹣
a+1＞
，
∴
（a﹣
）（a﹣
）＞0，
∴a＜
或a＞
（不合题意舍去）；
当a＞2 时，S＝
a2﹣
a+1＞
，
∴
（a﹣
）（a﹣
）＞0，
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∴a＜
（不合题意舍去）或a＞
，
综上所述：a＜
或a＞
．
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