文档文本内容
24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧
和
的夹角为120°，
长为
，贴纸部分的
长为
，则贴纸部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
贴纸部分的面积实际是扇形OAB 和扇形OCD 的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，
进而可求出贴纸部分的面积．
【详解】
解：S=S 扇形OAB-S 扇形OCD=
=25π（cm2），
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
2．如图，
中，
，
，
，点
从
点出发，沿
运动到点
停止，
过点
作射线
的垂线，垂足为
，点
运动的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
取
中点
，连接
、
，根据直角三角形的性质可得
，则可确定
点Q 的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】
解：取
中点
，连接
、
，
∵
和
中，
，
∴
在以
为圆心，
为直径的圆上，运动路径为
，
，
∴
，
∴点
运动路径长为
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长的计算问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，并确定点
运动的路径．
3．如图，在
中，
，
，
，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交
AB 于点D，交AC 于点C，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E，交BC 于点F，则图中阴影
部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用勾股定理可求出AC 的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S 阴影=S△ABC-S 扇形
BEF-S 扇形ACD即可得答案．
【详解】
∵
，
∴∠A+∠B=90°，
∵
，
，
∴
=1，
∴S 阴影=S△ABC-S 扇形BEF-S 扇形ACD
=
BC·AC-
=
×1×2-
=1-
，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
4．如图，正六边形
的边长为2，以
为圆心，
的长为半径画弧，得
，连接
，
，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC 的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B 点作AC 垂线，垂直为G，
根据正六边形性质可知，
，
∴
，
∴S 扇形=
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A 位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚
到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm
B．
cm
C．
cm
D．
cm
【答案】C
【分析】
根据旋转的定义得到点A 以B 为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C 为旋
转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝
3cm，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：点A 以B 为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1，A2是由A1以C 为旋转中心，以
∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝
cm，CA1＝3cm，
∴点A 翻滚到A2位置时共走过的路径长＝
（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧长公式以及旋转的性质，准确得到点A 的运动轨迹是两段弧，是解题的关键．
6．如图，
是
的直径，
为半圆
的中点，
为弧
上一动点，连接
并延长，作
于点
，若点
从点
运动到点
，则点
运动的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】
首先根据点
的轨迹，来确定点
的轨迹，确定轨迹为圆后，再利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：由题意知点
的轨迹是圆，则点
的轨迹是以
为直径的圆上，以
为直径作圆，如下图：
要求点
运动的路径长，结合临界点法，当点
与
重合时，点
到点
处，当点
与
重合时，点
到点
处，
运动的路径长为
的长，
由已知：点
为半圆
的中点，
，
点
转过的圆心角为
，
点
转过的圆心角也为
，
即
对应的圆心角为
，
根据弧长公式：
，
点
运动的路径长为：
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点的轨迹问题，解题的关键是：根据点
的轨迹，来确定点
的轨迹，确定为圆后，利用弧
长公式求解时，要去找到所求弧长所对应的圆心角即可．
7．如图，
是等腰直角三角形，
，
，把
绕点
按顺时针方向旋
转45°后得到
，则线段
在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=
AC=2
，再根据旋转的性质得
∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A 共线，利用线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面
积=S 扇形BAB′-S 扇形CAC′进行计算即可．
【详解】
解：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=
AC=2
，
∵△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A 共线，
∴线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
=S 扇形BAB′+S△AB′C′-S 扇形CAC′-S△ABC
=S 扇形BAB′-S 扇形CAC′
=
π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了
等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
8．如图，
内切于边长为2 的正方形
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
正方形的面积减去圆的面积除以4 即可求得答案．
【详解】
解：∵正方形的边长为2，
∴圆的半径为1，
∴阴影部分的面积：
=
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算，解题的关键是了解阴影部分的面积的计算方法．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O，B 的对应点分别为
，
，连接
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出
△OO′B 是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O 上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B 是等边三角形，
∴∠AO′B=120°
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S 扇形O′OB-S△OO′B）
=
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图，等边
的三个顶点都在
上，
是
的直径．若
，则劣弧
的长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到
∠BOD，再利用弧长公式计算．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD 的长为
=π，
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD 的度数．
11．如图，AB 是半圆O 的直径，AB＝10，以OB 为边作平行四边形OBCE，若CE 与半圆O 相切于点C，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题目已知条件OB 是⊙O 的切线，利用切线的性质，连接OC，构造
,又因为EC=CO,可得
是等腰直角三角形，用等腰
面积减去45°扇形面积即可求出答案．
【详解】
解：设OE 与⊙O 的交点为F；
如图，连接OC，
∵CE 是⊙O 的切线，
∴
，
∵四边形OBCE 为平行四边形，
∴
,
∴∠COB=∠ECO=90°，∠EOC=∠OCB，
∵CO=OB,
∴∠OCB=45°，
∴∠EOC=45°，
∵
,
∵S 阴影=S△ECO-S 扇形COF
=
,
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，利用切线的性质作辅助线，证明△ECO
是等腰直角三角形是解题的关键．
12．如图，在扇形
中，
，半径
交弦
于点
，且
．若
，则
阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过O 作OE⊥AB 于E，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE 和OE，根
据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．
【详解】
解：过
作
于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
在
中，由勾股定理得：
，
即
，
解得：
，
即
，
阴影部分的面积
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，扇形面积的计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则
图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=
．
13．在
中，已知
，
，
．如图所示，将
绕点
按逆时针方
向旋转
后得到
．则图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出
，在根据
求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC 中，∵
，
∴AC=2BC=2，
∴
，
∵
绕点
按逆时针方向旋转
后得到
，
∴
∴
∴
．
故选：B
【点睛】
本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据
求解是解
题关键．
14．如图，边长为
的等边三角形
内接于
，过点
作
的切线交
的延长线于点
，交
于点
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设
的半径为R，作
，根据
求解即可．
【详解】
【点睛】
此题主要考查了与圆有关的阴影部分的面积，正确作出辅助线是解答此题的关键．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
【答案】C
【分析】
根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母
线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为2
，
∴圆锥的底面周长为4
π，
∵圆锥的高是8，
∴圆锥的母线长为
，
设扇形的圆心角为n°，
∴
，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等
于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
16．如图所示，矩形纸片
中，
，把它分割成正方形纸片
和矩形纸片
后，
分别裁出扇形
和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长得到
2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得
2 πr，
解得r＝1，
侧面积=
，
底面积=
所以圆锥的表面积=
，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关
系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
17．如图，直线
与坐标轴交于A、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平
行线交直线
于点Q，
绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意得
，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到
，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：如图，
根据旋转的性质，
，
∴
，
则
，
∵点P 在直线
上，点Q 在直线
上，且PQ∥
轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2=
，
OQ2=
，
，
设
，
∵
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
，
∴
的最大值为
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件．
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径
，圆心角
，则此圆锥高
的长度
是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定
理求出CA 即可．
【详解】
解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴
，即：r=OA=2
在R△AOC 中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，
．
故填：
．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA 是解答本题
的关键．
19．如图，
中，
，
，以
为直径的
交
于点
，则
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接OE，由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝2，得出OA＝OD＝1，由圆周角与圆心角
定理求出∠AOE＝140°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】
连接OE，如图所示：
∵四边形
是平行四边形，
，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠AOE＝2 D
∠＝140°，
∴
的长=
.
故选:C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质、弧长计算，根据平行四边形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长．
20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
的三条边，若
，
，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
阴影部分面积可以看成是以AC、BC 为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC 的面积减去一个以
AB 为直径的半圆的面积．
【详解】
解：在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，BC=12，∠ACB=30°，
∴AB=
BC=6，AC=
，
S 阴影=直径为AC 的半圆的面积+直径为AB 的半圆的面积+S△ABC-直径为BC 的半圆的面积=
π(
)2+
π(
)2+
AC×AB-
π(
)2
=
π(
)2+
π×62-
π×122+
×
×6
=
π+
π-
π+
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
21．如图，在半径1 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值，即可．
【详解】
解：连接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC 为⊙O 的直径，
∴BC＝2，
在Rt△ABC 中，由勾股定理可得：AB＝AC＝
，
∴S 扇形ABC=
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论、扇形的面积计算方法．关键是利用所学的勾股定理以及扇形面积公式求值．
22．如图，在半径为
的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º 的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面
积为 （ ）
A．π
B．
C．2π
D．
【答案】A
【分析】
如图，根据∠BAC=90°，可确定BC 是⊙O 的直径，故OA=OB=OC=
，计算AB=AC=2，根据扇形面积
公式计算即可．
【详解】
如图，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC 是⊙O 的直径，∠ABC=∠ACB =45°，
∴OA=OB=OC=
，AO⊥BC，
∴AB=AC=
=2，
∴扇形面积为：
=π．
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，90°的圆周角所对的弦是直径，等腰直角三角形的判定，灵活运用90°的圆周角所
对的弦是直径，计算出扇形的半径是解题的关键．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕
为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据阴影部分的面积等于
即可得出结果；
【详解】
连接AD、DO，由折叠可知，
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴阴影部分的面积
；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了翻转变换和扇形的面积计算，准确计算是解题的关键．
24．如图，从一块半径为
的圆形铁皮上剪出一个圆心角是
的扇形
，则此扇形围成的圆锥底
面圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接
，并作
于点D．由圆周角定理可求出
，从而求出
，且
．再根据含
角的直角三角形的性质，可求出
，从而求出
．由
题意易证
是等边三角形，即
，最后由弧长公式即可求出
的长，最后根据圆锥
的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小．
【详解】
如图，连接
，并作
于点D．
∵
，
∴
，
∵OB=OC，
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵AB=AC，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r，
∴
，
∴
．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含
角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底
面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．如图，在
中，点
在优弧
上，将弧
沿
折叠后刚好经过
的中点
．若
的半径
为5，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
连接AC、OB、OD、CD，作
于点F，作
于点E，由垂径定理可知
于点D，
由勾股定理可知OD 的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出
，再证明四边形ODFE 为正方形，得到△CFB 为等腰三角形，计算出弧AC 所对圆
周角度数，进而得弧AC 所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【详解】
解：连接AC、OB、OD、CD，作
于点F，作
于点E，
由垂径定理可知
于点D，
又
CA、CD 所对的圆周角为
、
，且
，△CAD 为等腰三角形
又
四边形ODFE 为矩形且OD=DF=
四边形ODFE 为正方形
故△CFB 为等腰三角形，
所对的圆心角为
故选A．
【点睛】
本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题
的关键．
26．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A 为圆心、AC 的长为半径作
交AB 于点E，
以点B 为圆心、BC 的长为半径作
交AB 于点D，则阴影部分的面积为（ ）
A．π 一2
B．2π﹣4
C．4π﹣8
D．2π﹣2
【答案】C
【分析】
空白处的面积等于△ABC 的面积减去扇形BCD 的面积的2 倍，阴影部分的面积等于△ABC 的面积减去空
白处的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴S△ABC=
×4×4=8，
S 扇形BCD
，
S 空白=2×(8-2π)=16-4π，
S 阴影=S△ABC-S 空白=8-16+4π=4π-8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，明确空白处的面积等于△ABC 的面积减去扇形BCD
的面积的2 倍是解题的关键．
27．如图，等边△ABC 边长为3，将△ABC 绕AC 上的三等分点O 逆时针旋转60°得到△
，其中点
B 的运动轨迹为
，图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别连接OB、
，过O 作OD⊥BC 于点D，设
与BC 交于点E，则有关系式：
，利用等边三角形的性质可分别求得
的面积，及
四边形
的面积，易得
，故有
，利用直角三角形的
性质及勾股定理可求得OB 的长，进而可求得扇形
的面积，最后可求得结果．
【详解】
如图，分别连接OB、
，过O 作OD⊥BC 于点D，设
与BC 交于点E
由题意得：
为等边三角形，且边长为3，易得其面积为
；
为等边三角形，且边长为
1，易得其面积为
；
为等边三角形，且边长为2，易得其面积为
，所以四边形
的面
积为
由旋转的性质得：
为等边三角形，
，
∴
∴
∴
∴
在Rt△OCD 中，∠COD=90°-∠ACB=30°
∴
∴
，
在Rt△ODB 中，由勾股定理得
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，求图形的面积等知识，难点在于
将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来解决，本题的解答有一定的难度．
28．如图，在矩形
中，
为对角线，
，
，以
为圆心，
长为半径画弧，
交
于点
，交
于点
，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
如图，连接
，过
作
于点
,此时根据直角三角形的性质求得
，
，再
根据等边三角形判定得出
为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得
，最终求阴影部分的面积转化为
求解即可．
【详解】
如下图，连接
，过
作
于点
,
在矩形
中，
∵
，
，
，
∴
，
,
又∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知
识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键．
29．如图，在
中，
，以
的中点D 为圆心，作圆心角为
的扇形
，点C 恰好在
上，设
，当
由小到大变化时，图中两个阴影部分的
周长和（ ）
A．由小变大
B．由大变小
C．不变
D．先由小变大，后由大变小
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出
，
，
，
，根据全等三角形的判定推出
，再用弧长公式，即可得出结论．
【详解】
解：如图．
，
，
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
图中两个阴影部分的周长和
的长
，
与
均为定值，而
，
，
当
由小到达大变化时，
的长度由小变大，当
垂直
时达到最大，然后
长度变小，所以
图中两个阴影的周长和是由小变大再变小，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧长公式等知识点，注意：①一条弧
所对的圆周角等于圆心角的一半，②一条弧所对的圆心角是
，半径为
，那么这条弧的长度是
．
30．如图，在正方形纸片
中，点M，N 在
上，将纸片沿
折叠，折叠后使点A 和点D
重合于点I，
的外接圆分别交
于点P，Q．若
，则
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先证明
是等边三角形，得到
，再根据折叠的性质推出
，根据
内心的性质得到
，
，过点
作
，则OH 平分BC，利用勾股定理求出
OB，再利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：∵
，
，
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
由折叠知：
，
，
∴
，
，
∴
，
∵圆
是
的外接圆，
∴点
是
的内心，
∴OB 平分
，OC 平分
，
∴
，
，
过点
作
，则OH 平分BC．
则：
，
在
中：
，
由勾股定理得：
，即
，
解得：
，
（舍），
∴
．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一
元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．
二、填空题
31．如图，已知在扇形
中，
，半径
．P 为弧
上的动点，过点P 作
于点M，
于点N，点M，N 分别在半径
上，连接
．点D 是
的外
心，则点D 运动的路径长为________．
【答案】
【分析】
依题意,点D 运动的路径为绕点
旋转
的一段弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】
如图：连接
点D 是
的外心
四点共圆
为圆的直径
,
设点D 运动的路径长为，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键．
32．如图，已知半圆O 的直径
，将半圆O 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点
处，
与半圆O
交于点C，若弧BC 的长为
，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】
【分析】
连接OB，根据BC 的弧长可求得∠BOC=90°，进而可得∠BAC=45°，利用
求解即可．
【详解】
解：连接OC，设∠BOC=n°，
∵弧BC 的长为
，半圆O 的直径
，
∴
，解得：n=90，即∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴根据旋转的性质得
=
=
=
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式，熟记公式，掌握圆周角定理是解答的关键．
33．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O 半径为5，则
的长度是
______．
【答案】4π
【分析】
连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，利用弧长
公式计算即可．
【详解】
解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A：∠C=2：3，
∴∠A+
∠A=180°，
∴∠A=72°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，
∴
的长：
=4π，
故答案为4π．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式
是解题的关键．
34．如图，在正方形ABCD 中，扇形BAD 的半径AB＝4，以AB 为直径的圆与正方形的对角线BD 相交于
O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）
【答案】
【分析】
根据圆周角定理得∠AOB=90°，再根据正方形的性质可证得AO=BO，进而可有
求解．
【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠AOB=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AO=BO，
∴S1=S2，
∴
=
=4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、正方形的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、扇形的面积、三角形的面积，
熟练掌握相关知识的性质和运用是解答的关键．
35．如图，从一块边长为
，
的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以
为圆心的圆上（阴
影部分），且圆弧与
，
分别相切于点
，
，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半
径是__________．
【答案】
【分析】
先利用菱形的性质得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出AE，最后利用弧长公式求出弧长，弧
长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径．
【详解】
解：如图，连接AE，由切线性质可知：AE⊥BC，即∠AEB=90°；
∵菱形铁片上∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1，
∵
，
∴
，
∴扇形的弧长为：
，
所以圆锥底面圆半径为：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的关键是
牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到了数形
结合等思想方法．
三、解答题
36．如图，在
中，
，点
在
边上，
为
的半径，
是
的切线，
切点为点
，
，
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【分析】
（1）如图，连接OD，根据切线性质可得∠ODB=90°，利用SSS 可证明△OBC≌△OBD，可得
∠OCB=∠ODB=90°，即可得结论；
（2）由（1）的结论及AC=BC 可得△ABC 是等腰直角三角形，可得∠AOD=45°，根据平角的定义可得
∠COD=135°，根据S 阴影=2S△OBC-S 扇形COD即可得答案．
【详解】
如图，连接OD，
∵
是
的切线，切点为点
，
∴∠ODB=90°，
在△OBC 和△OBD 中
，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠OCB=∠ODB=90°，
∵
为
的半径，
∴
是
的切线．
（2）∵∠OCB=90°，
，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°，
∴∠COD=135°，
∵△OBC≌△OBD，
∴S△OBC=S△OBD，
∵
，
，
∴
，
∴S 阴影=2S△OBC-S 扇形COD=2×
OC·BC-
=
．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、等腰直角三角形的性质及扇形面积，圆的切线垂直于经过切点的半径；经过
半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；熟练掌握相关性质及判定定理并熟记扇形面积公式是
解题关键．
37．如图，已知
是底角为30°的等腰三角形，B 为AD 上一点，以AB 为直径的
恰好过点C．
（1）判断直线CD 与
的位置关系，并说明理由；
（2）M 为
下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足
，已知半径等于2，求弧AM 的
长．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，结合题意，根据等腰三角形性质，得
；再根据三角形外角、三角形内
角和性质、切线的性质计算，即可完成证明；
（2）根据圆直径所对圆周角为直角性质，得
；通过角度计算，得
，根据圆周
角和圆心角性质，得
；再根据弧长公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）连接OC，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵OC 为半径，
∴CD 与圆O 相切；
（2）连接OM
∵AB 为直径，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴弧
长
．
【点睛】
本题考查了圆、三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握切线、等腰三角形、三角形外角、三角形内
角和、圆周角、圆心角、弧长计算的性质，从而完成求解．
38．如图1，四边形
内接于
，
为直径，过点
作
于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
是
的切线，
，连接
，如图2．
①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；
②当AB=2 时，求AD， AC 与
围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO 是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为
．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=
，即可证明
∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可
证明四边形ABCO 是菱形；②先计算
，再利用扇形的面积公式计算
，
即可求得阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=
，
∵∠EBC+∠ABC=
，
∴∠D=∠EBC，
∵AD 为⊙O 直径，
∴∠ACD=
，
∴∠D+∠CAD=
，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=
，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO 是菱形，理由如下：
∵CE 是⊙O 的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=
，
∴∠OCE+∠E=18
，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO 是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO 是菱形；
②∵四边形ABCO 是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=
AD=2，AC=2
，
过点C 作CF⊥AD 于点F，
∴CF=
，
∴
，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴
，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形
面积的求法是解答此题的关键．
39．如图，在平行四边形
中，点A、B、D 三个点在⊙
上，
与⊙
交于点F，连结
并延
长交边
于点E，点E 恰好是
的中点．
（1）求证：
是⊙
的切线．
（2）若
，
①求
的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①
，②
【分析】
（1）根据垂径定理可得
，再结合平行四边形的性质推出
，即可得证；
（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出
，
，然后在
中分别求出
，
，从而得出结论；②连接
，
，
，然后根据
求解即可．
【详解】
（1）由题意，根据垂径定理
，
∵四边形
平行四边形，
∴
，
∴
，
∵
为半径，
∴
是⊙
的切线；
（2）如图，连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
②如图，连接
，
，
，
由题意，
，
由①可知，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
,
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
由①可知，
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴阴影部分的面积
．
【点睛】
本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟
记扇形的面积计算是解题关键．
40．如图，在
中，
，
与
，
分别相切于点E，F，
平分
，
连接
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【分析】
（1）过点
作
于点
，连接
，先根据圆的切线的性质可得
，再根据角平分线的
定义可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，最后根据圆的切线
的判定即可得证；
（2）设
分别交
于点
，连接
，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得
，从而可得
，再利用勾股定理可得
，然后根据直角三角形全等的判定定理与
性质可得
，从而可得
，最后根据图中阴影部分的面积等于
即可得．
【详解】
证明：（1）如图，过点
作
于点
，连接
，
与
相切于点
，
，
平分
，
，
在
和
中，
，
，
，
是
的半径，
又
，
是
的切线；
（2）如图，设
分别交
于点
，连接
，
的半径是1，
，
与
相切于点
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为
．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握
圆的切线的判定与性质是解题关键．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径
与母线
长之比为
．制作这种外包装
需要用如图所示的等腰三角形材料，其中
，
．将扇形
围成圆锥时，
，
恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角
的大小
（2）若圆锥底面圆的直径
为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留
）
【答案】（1）
=90°；（2）S 阴影=（100-
）cm2．
【分析】
（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求
弧长，利用弧长公式求
即可；
（2）由
，
=90°，可得△ABC 为等腰直角三角形，由
可求BD=CD=AD=10cm，
利用三角形面积公式求S△BAC=
，利用扇形面积公式求
，利用面积差求S 阴影即可．
【详解】
解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴
弧长
，
∴
，
∴
=90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵
，
=90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵
，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=
cm2，
∴
，
∴S 阴影= S△BAC-
=（100-
）cm2．
【点睛】
本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握
圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
42．如图，
是
的直径，
为
上一点（
不与点
，
重合）连接
，
，过点
作
，垂足为点
．将
沿
翻折，点
落在点
处得
，
交
于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OC
AE，从而求出
∠ECO=90°，问题得证；
（2）连接
，过点
作
于点
，证明四边形OCEG 为矩形，求出
，
，
，进而求出
，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF 面积，即可求出
阴影部分面积．
【详解】
解：（1）如图，连接OC，
∵
，
∴∠CDA=90°，
∵
翻折得到
，
∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，
∴∠EAD=2∠DAC，
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA
∴∠COD=2∠OAC，
∴∠COD=∠EAD，
∴OC
AE，
∴∠ECO=180°-∠E=90°，
∴OC⊥EC，
∴
是
的切线；
（2）如图，连接
，过点
作
于点
，
∵∠E=∠ECO=90°，
∴四边形OCEG 为矩形．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
于点
，OA=OF=2，
∴
，∠FAO=∠AFO=30°，
∵OC
AE，
∴∠COF=∠AFO=30°，
∴矩形OCEG 面积为
，
△OGF 面积为
，
扇形COF 面积为
∴阴影部分面积=矩形OCEG 面积-△OGF 面积-扇形COF 面积=
．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理
并根据题意添加辅助线是解题的关键．
43．将一物体（视为边长为
米的正方形
）从地面
上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点
与斜面
上的点
重合，先将该物体绕点
按逆时针方向旋转至正方形
的位置，再将其
沿
方向平移至正方形
的位置（此时点
与点
重合），最后将物体移到车厢平台面
上．已知
，
，过点
作
于点
，
米，
米．
（1）求线段
的长度；
（2）求在此过程中点
运动至点
所经过的路程．
【答案】（1）
米；（2）4 米．
【分析】
（1）利用直角三角形FGH 即可求解；
（2）连接A1A2，则必过点D1，分别求出A1A2和
的长，即可求出点A 经过的路程．
【详解】
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在
中，
（米）．
（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．
∴A1A2=BG=BF-GF=
（米）．
∵四边形ABCD 和四边形A1BC1D1都是正方形，
∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．
∴
（米）．
∴在整个运动过程中，点A 运动至A2的路程为：
（米）．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性
质是解题的关键．
44．如图，在
中，
，
，以点
为圆心，
为半径的圆交
的延
长线于点
，过点
作
的平行线，交
于点
，连接
．
（1）求证：
为
的切线；
（2）若
，求弧
的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得
，再证明
可得
即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】
（1）证明：连接
∵
，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点
在
上
∴
是
的切线；
（2）∵
∴
∴
．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
45．如图，
是
的直径，
是
的切线，切点为
，点
为直径
右侧
上一点，连接
并延长
，交直线
于点
，连接
．
（1）尺规作图：作出
的角平分线，交
于点
，连接
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：
．
②若
半径为2，当
的长为______时，四边形
是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π
【分析】
（1）利用尺规作图，作出∠COD 的角平分线，交CA 于点E；
（2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，
则可得出结论；
②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，
（2）①证明：连接DE，
由（1）可知∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE=AE；
②解：当
的长为π 时，四边形OCED 是正方形．
∵
的长为π，
∴
＝π，
∴∠BOD=90°，
∵∠OCE=90°，
∴OD∥CE，
∵OE 平分∠DOC，
∴∠DOE=∠COE=45°，
∴OC=CE，
又∵OD=OC，
∴OD=CE，
∴四边形OCED 是正方形．
故答案为π．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正
方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的的性质．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段
为直径作
，与
轴相交于
两点，在第一
象限内的圆上存在一点
，使得
为等边三角形．
（1）求
过点
的切线的函数关系式；
（2）求由线段
、劣弧
围成的图形面积．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）分别求出点E 和点D 的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）用
即可求出由线段
、劣弧
围成的图形面积．
【详解】
解：（1）∵
∵AB 是
的直径
∴
是等边三角形，
，
∵直线l 是
的切线，
，
又
∴
∵OA=2，AC=3
∴
∴
作
于点
，
是等边三角形，
∴
在
中，
∴
又
∴
设直线l 的解析式为
把E（-1，0），
代入得，
解得，
∴函数关系式：
；
（2）∵
∴
∴
又
∴由线段
、劣弧
围成的图形面积
．
【点睛】
此题主要考查了图形与坐标，圆的切线的性质，待定系数法求函数关系式，不规则图形面积的计算等知识，
求出DH 的长是解答此题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，点
，
，
的
坐标分别为
，
，
．
（1）将
向上平移4 个单位长度，再向右平移6 个单位长度，画出平移后得到的
，并直接
写出点
的坐标；
（2）将
绕着原点
逆时针旋转90°后得到
．
①画出旋转后的
；
②点
旋转到点
所经过的路径长为______个单位长度．
【答案】（1）作图见解析；点
的坐标为
；（2）①作图见解析；②
．
【分析】
（1）根据平移的性质作出图形，然后根据图像求解即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②连接
，
，利用网格求出
，然后根据旋转角是90°，
求出弧长即可．
【详解】
解：（1）如图示，
即为所求的三角形，由图像可知，点
的坐标为
（2）①如图示，
即为所求的三角形．
②如图示，连接
，
，则点
旋转到点
所经过的路径长是
，且旋转角是90°
∴
则，
【点睛】
本题考查了平移作图和旋转作图，求弧长等知识点，能准确做出旋转后得图形是解题的关键．
48．如图，在⊙O 中，直径AB＝24，点C、D 在⊙O 上，AB 与CD 交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为
点H，DF 交BA 延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，易证∠CDF＝∠FOD，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即可得∠CDO+∠FOD=90°，所
以∠CDF+∠COD=90°，由此即可证得DF 是⊙O 的切线；
（2）已知FD＝BD，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠F，再由∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，即可求得
∠B=∠F=30°，∠FOD=60°；在Rt△ODH 中，∠ODH=30°，OD=12，可得OH=6，DH=
，根据
即可求得图中阴影部分的面积．
【详解】
（1）连接OD，
∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B，
∴∠CDF＝∠FOD，，
∵CE＝ED，AB 为直径，
∴AB⊥CD，
∴∠CDO+∠FOD=90°，
∴∠CDF+∠CDO=90°，
即∠ODF=90°，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）∵FD＝BD，
∴∠B＝∠F，
∵AB 为直径，AB=24，
∴OD=12，
∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，
∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°，
∵DO=BO，
∴∠B＝∠ODH=30°，
在Rt△ODH 中，∠ODH=30°，OD=12，
∴OH=6，DH=
，
∴
．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键．
49．如图，
是⊙O 的直径，
是⊙O 上一点，
平分
，过点
作
交
延长线于
点
．
（1）求证：
是⊙O 的切线；
（2）若
，
，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD
OC，根据平行线的性质得到
∠OCD=90°，于是得到CD 是⊙O 的切线；
（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】
（1）连接
，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵AC 是∠BAD 的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD
OC，
∴∠OCD+∠D=180°，
∵
∴∠CDA=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）连接CE，OE，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
和
为等边三角形
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知
的三个顶点分别是A(−1，4)，B(−3，2)，C(−2，1)．
（1）请画出
关于原点
的中心对称图形
；
（2）请画出将
绕点
逆时针旋转90°后得到的
；
（3）在（2）的条件下，求点
旋转到点
所经过的路线长（结果保留
）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B 的对应点A2、B2即可得到△A2B2C；
（3）利用（2）的结论，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）如图所示，
为所求；
（2）如图所示，
为所求；
（3）∵A(−1，4)， C(−2，1)，
∴
，
∵
，
∴点A 旋转到点
所经过的路线长为
．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的
关键．
51．如图，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线DE，与过点A 的直线垂直于E，弦BD 的延长
线与直线AE 交于C 点．
（1）求证：点D 为BC 的中点；
（2）设直线EA 与⊙O 的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE•EA；
（3）若
＝
，⊙O 的半径为r．求由线段DE，AE 和弧AD 所围成的阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
．
【分析】
（1）连接OD、ED 为⊙O 切线，由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：
OD∥AC；由于O 为AB 中点，则点D 为BC 中点．
（2）连接BF，AB 为⊙O 直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线
的两条直线平行知ED∥BF 由平行线的性质知，由于点D 为BC 中点，则点E 为CF 中点，所以CA2-AF2=
（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF，将CF=2CE 代入即可得出所求的结论．
（3）由于
＝
则弧AD 是半圆ADB 的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三
角形△OAD 为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA 中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得
EA=
r，ED=
r，则有S 阴影=S 梯形AODE-S 扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
∵ED 为⊙O 切线，
∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵O 为AB 中点，
∴D 为BC 中点；
（2）证明：连接BF，
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D 为BC 中点，
∴E 为CF 中点；
∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA2-AF2=4CE•AE；
（3）解：∵
＝
，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知△OAD 为等边三角形，
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA 中，∠EDA=30°，
∴EA=
r，ED=
r，
∴S 阴影=S 梯形AODE-S 扇形AOD=
．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、直角三角形的性质、平方差公式、圆周角定理、等边三角
形的判定和性质以及梯形和扇形的面积计算方法等知识．
52．已知：点D 是△ABC 的边AC 上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝
，⊙O 经过B，C，D 三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB 为⊙O 的切线．
【答案】（1）
；（2）见解析
【分析】
（1）连接
，
，由圆周角定理得出
，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答
案；
（2）过点
作
于点
，设
，则
，求出
，得出
，
证明
，得出
，证出
，则可得出结论．
【详解】
解：（1）连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点
作
于点
，设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
即
，
，
，
，
又
，
，
，
是半径，
为
的切线．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点，熟
练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
53．如图AB 是⊙O 的直径，AC⊥AB，E 为⊙O 上的一点，AC＝EC，延长CE 交AB 的延长线于点D．
（1）求证：CE 为⊙O 的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4
，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠CEA，∠FAO=∠FEO，根据余角的性质得到
∠CEA=90°，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）设OF=x，由直角三角形的性质得出OA=2OF=2x，由勾股定理的(2
)2+x2＝2x2，解得x=2，得出
OA=4，求出S△EAO和S 扇形EAO，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE 为⊙O 的切线；
（2）解：设OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF 中，由勾股定理得：
，
解得x＝2，
∴OA＝4，
∴
，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，正确的识别
图形是解题的关键．
54．如图，
为
的直径，
，点A 为
的中点，
，连结
，
．
（1）求证：
．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠COA，根据弧、弦、圆心角的关系得到
，结合
OA=OD 证明
，可得OC∥AD；
（2）连接AC，证明
与
均为等边三角形，推出
，求出△ABC 的面积，再
根据
即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）连接AC，
∵
，
，
∴
与
均为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基础
知识，将弓形AD 的面积和弓形AC 的面积进行转化．
55．如图，
是半圆的直径，弦
，过
点作圆
的切线
，与
延长线相交于点
，连
接
、
，
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）当
时，求围成阴影部分图形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接
，根据切线的性质得到
，根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定定理证
明结论；
（2）根据弧长公式求出
的长，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：（1）证明：连接
，
是圆
的切线，
，
由圆周角定理得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形；
（2）
，
，
，
，
的长
，
围成阴影部分图形的周长
．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
56．如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上不同于
、
两点的任意一点，
是半圆
上一动点，
与
相交于点
，
是半圆
所在圆的切线，与
的延长线相交于点
．
（1）若
，求证：
；
（2）若
，
，
．求
；（答案保留
）
（3）若
，
为
的中点，点
从
移动到
时，请直接写出点
移动的长度．（答案保留
）
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得
，再根据
证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得
，得
，由
是半圆
所在圆的切线得
，可求
，连接
，得
，再根据扇形面积计算公式求解即可；
（3）根据“点
移动的长度是以
为直径的圆的周长一半”求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵
是半圆
的直径
∴
在
和
中
∴
，
∴
；
（2）连接
．
∵
，由（1）知
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
是半圆
所在圆的切线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
．
（3）连接OH,
∵H 是AC 中点，则OH⊥AC,
故H 在以AO 为直径的圆上运动，
当点
在
点时，点H 与点O 重合，
当点C 在A 点时，点H 与点A 重合，
所以，点
移动的长度是以
为直径的圆的周长一半，
即L=
．
【点睛】
此题主要考查了与圆有关的计算，熟练掌握扇形面积计算公式和弧长公式是解答此题的关键．
57．如图，已知
是
的直径，点D，C 是圆上的两个点，且
，直线
于点E．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理可知
，根据平行线的判定可知
，根据根据垂直的判定和
切线的判定定理即可求证结论；
（2）连结
，
，根据外角定理和等边三角形的判定可得
是等边三角形，含30°角的直角三角
形的性质可得：
，根据切线的性质和角的和差可得
，进而可得：
，
，根据切割法可得：
，代入数据即可求解．
【详解】
（1）证明∵
，
∴
，
∵
，
∵
，
∴
，且
是直径，
∴
是
的切线．
（2）解 连结
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
是切线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
【点睛】
本题考查切线的判定及其性质、含30°角的直角三角形判定及其性质、等边三角形的判定及性质、扇形面
积的计算公式，解题的关键是熟练掌握所学知识．
58．在
中，
．将边
绕点C 顺时针旋转到
，记
，连结
，取
的中点F，射线
，
交于点A．
（1）填表：如图1，当
时，根据下表中
的值，分别计算
的度数．
（2）猜想
与
的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当
时，请求出
从
逐渐增加到
的过程中，点A 所经过的路径长．
【答案】（1）填表见解析；（2）当
时，
；当
时，
；答案见解析；（3）
．
【分析】
（1）当
时，根据等腰三角形的性质，得
和
是等腰三角形，则可求得
，
，利用
，最后根据三角形内角和求得：
；当
时，
，
，
，利用三角形外角性质得
；
（2）当
时，同（1）可求得：
，
，得
，则
；当
时，
，
，
，利用三角形外角性质得
；
（3）由（2）可得：
则
，可知点A 所经过的路径是一条
弧
，以
为边画等边三角形
，则点O 是弧
的圆心，根据同弧所对圆心角等于圆周角的2
倍，求得：
再证
是等边三角形，则可以得到
，则可得
，
即可得：
．
【详解】
解：（1）如图:
当
，
时，
∵边
绕点C 顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F 是
的中点
∴
∴
∴
综上所述，当
，
时，
同理，当
，
时，
当
，
时，
∵边
绕点C 顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F 是
的中点
∴
∴
∴
故：
（2）当
时，如图：
∵边
绕点C 顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F 是
的中点
∴
∴
∴
即：当
时，
，
当
时，如图所示：
∵边
绕点C 顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F 是
的中点
∴
∴
∴
即：当
时，
综上所述：当
时，
；当
时，
（3）由（2）可得：∵
∴
∴点A 所经过的路径是一条弧
如图，以
为边画等边三角形
，
则点O 是弧
的圆心
当
时，
，则
∵
∴
是等边三角形
∴
∴
∵
∴
．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形、圆的性质、弧长、内角和和外角性质的综合应用，解答此题的关键利用性
质找到角与角之间关系，此题综合性较强，属于较难的题型．
59．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA 边与直线l1重合，然后将三
角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O1处，点B 运动到了点B1处；小慧又
将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶
点O 经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧
O1O2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形
AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1 的正方形纸片OABC 放在直线l2上，OA 边与直线l2重合，然后
将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O1处（即点B 处），点C 运动到了
点C1处，点B 运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上
述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC 按上述方法经过3 次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中
所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5 次旋转，求顶点O 经过的路程；
（2）正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
？
【答案】（1）
；
；
；（2）41 次
【分析】
（1）根据正方形旋转3 次和5 次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC 经过4 次旋转得出旋转路径，进而得出
π=10×
π+
π，即
可得出旋转次数．
【详解】
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC 经过3 次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、
弧O1O2以及弧O2O3，
∴顶点O 运动过程中经过的路程为：
，
顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC 经过5 次旋转，顶点O 经过的路程为：
．
（2）
∵正方形OABC 经过3 次旋转，顶点O 经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O 点不动，也就是此时也是正方形OABC 经过4 次旋转的路程，
∴
π=10×
π+
π，
∴正方形纸片OABC 经过了：10×4+1=41 次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5 次旋转的路径是解
决问题的关键．
60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）
是边长为3 的等边三角形，E 是边
上的一点，且
，小亮以
为边作等边三角形
，如图1，求
的长；
（2）
是边长为3 的等边三角形，E 是边
上的一个动点，小亮以
为边作等边三角形
，
如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
（3）
是边长为3 的等边三角形，M 是高
上的一个动点，小亮以
为边作等边三角形
，
如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；
（4）正方形
的边长为3，E 是边
上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形
，其中点F、G 都在直线
上，如图4，当点E 到达点B 时，点F、G、H 与点B
重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3）
；（4）
；
【分析】
（1）由
、
是等边三角形，
，
，
，可证
即可；
（2）连接
，
、
是等边三角形，可证
，可得
，又点
在
处时，
，点
在A 处时，点
与
重合．可得点
运动的路径的长
；
（3）取
中点
，连接
，由
、
是等边三角形，可证
，可得
．又点
在
处时，
，点
在
处时，点
与
重合．可求点
所经
过的路径的长
；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的
上运动，由四边形
ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC=x，由勾股定理
即，可求
，点G 所经过
的路径长为
长=
，点H 所经过的路径长为
的长
．
【详解】
解:（1）∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）连接
，
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又点
在
处时，
，点
在A 处时，点
与
重合．
∴点
运动的路径的长
；
（3）取
中点
，连接
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又点
在
处时，
，点
在
处时，点
与
重合，
∴点
所经过的路径的长
；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的
上运动，
∵四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理
即
，
∴
，
点G 所经过的路径长为
长=
，
点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧
上运动，
点H 所经过的路径长为
的长度，
∵点G 运动圆周的四分之一，
∴点H 也运动圆周的四分一，
点H 所经过的路径长为
的长=
，
故答案为
；
．
【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，
掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解
题关键．
