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2021 年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3 的相反数是（ ）
A．﹣3
B．0
C．3
D．π
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2021 年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2 月10 日晚，“天问一号”探
测器在距离地球约192000000km 处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数
法将192000000 表示为a×108的形式，则a 的值是（ ）
A．0.192
B．1.92
C．19.2
D．192
4．如图，若数轴上两点M，N 所对应的实数分别为m，n，则m+n 的值可能是（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
5．如图，在△AOB 中，AO＝1，BO＝AB＝
．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得
到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．其社区针对5 月30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000
份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．
接种疫苗针数
0
1
2
3
人数
2100
2280
1320
300
小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制
作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%．
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应
的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）
A．②①③
B．①③②
C．①②③
D．③①②
7．下列数值不是不等式组
的整数解的是（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
8．某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了
一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车
上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
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A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min 到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
9．如图，点A，B，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为
（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m 不经过第一象限，则关于x 的方程mx2+x+1＝
0 的实数根的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 或2 个
二、填空题（本大题有8 个小题，每小题3 分，共24 分）
11．16 的算术平方根是 ．
12．因式分解：xy2﹣x3＝ ．
13．如图，点D，E，F 分别为△ABC 三边的中点．若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周
长为 ．
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14．已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝
图象上的两点，则y1与y2的大小
关系是y1 y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
15．如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O．
则AO 的长为 ．
16．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一
条路径，则它遇到食物的概率是 ．
17．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8 钱，则多了3 钱；如果每人出7 钱，
则少了4 钱．问有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是 钱．
18．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝
，AD＝4，则AB 的
长为 ．
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三、解答题（本大题有8 个小题，第19～25 题每题8 分，第26 题10 分，共66 分.解答应
写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8 分）计算：（2021﹣π）0﹣|
﹣2|﹣tan60°．
20．（8 分）先化简，再从﹣1，0，1，2，
+1 中选择一个合适的x 的值代入求值．（1
﹣
）÷
．
21．（8 分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 是对角线
AC 上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4
，AE＝2，求四边形BEDF 的周长．
22．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答
活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了
做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
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请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔
记本的数量及对应的金额．
23．（8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参
加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如
下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m 的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周
学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少
于3h 的人数．
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24．（8 分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为
1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．
将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF 恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．
（结果保留π）
25．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，
1）和（4，1）．
（1）求抛物线C 的对称轴．
（2）当a＝﹣1 时，将抛物线C 向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到抛物线
C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C，连接
BC．点D 为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E．设点D 的横坐
标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，若存在，
求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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26．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，点P 为斜边BC 上一动点，将△ABP 沿直线AP 折叠，
使得点B 的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC 的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时
的
值；若不存在，请说明理由．
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2021 年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3 的相反数是（ ）
A．﹣3
B．0
C．3
D．π
【分析】根据相反数的概念求解即可．
【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此﹣3 的相反数为3．
故选：C．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋
转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，
这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2021 年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2 月10 日晚，“天问一号”探
测器在距离地球约192000000km 处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数
法将192000000 表示为a×108的形式，则a 的值是（ ）
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A．0.192
B．1.92
C．19.2
D．192
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值大于10 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1 时，n 是负整数．
【解答】解：192000000＝1.92×108，
故a＝1.92，
故选：B．
4．如图，若数轴上两点M，N 所对应的实数分别为m，n，则m+n 的值可能是（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：﹣3＜m＜﹣2＜0＜
n＜1，m+n 的结果即可求得．
【解答】解：∵M，N 所对应的实数分别为m，n，
∴﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1，
∴m+n 的值可能是﹣2．
故选：D．
5．如图，在△AOB 中，AO＝1，BO＝AB＝
．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得
到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
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【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝
＝
＝
．
故选：B．
6．其社区针对5 月30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000
份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．
接种疫苗针数
0
1
2
3
人数
2100
2280
1320
300
小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制
作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%．
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应
的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）
A．②①③
B．①③②
C．①②③
D．③①②
【分析】根据制作扇形图的步骤即可求解．
【解答】解：由题意可知，小杰同学制作扇形统计图的步骤为：
先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%；
再计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°；
然后在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应
的百分比．
故选：A．
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7．下列数值不是不等式组
的整数解的是（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【分析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后
再确定其整数解．
【解答】解：
，
解不等式①，得：x＞﹣
，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式组的解集为：﹣
＜x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，
故选：A．
8．某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了
一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车
上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min 到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．
【解答】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15(分钟)，故本选项符合题意；
B．由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2100 米，故本选项不合题意；
C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10(min)到达学校，故本选项不合题意；
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D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1100）÷10＝100（米/分钟）＝
（m/s），故本选项不合题意；
故选：A．
9．如图，点A，B，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为
（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°
﹣60°＝30°．
【解答】解：∵∠BAC 与∠BOC 所对弧为
，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
10．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m 不经过第一象限，则关于x 的方程mx2+x+1＝
0 的实数根的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 或2 个
【分析】由直线解析式求得m≤0,然后确定△的符号即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m 不经过第一象限，
∴m≤0,
当m＝0 时，方程mx2+x+1＝0 是一次方程，有一个根，
当m＜0 时，
∵关于x 的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x 的方程mx2+x+1＝0 有两个不相等的实数根，
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13
故选：D．
二、填空题（本大题有8 个小题，每小题3 分，共24 分）
11．16 的算术平方根是
4
．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴
＝4．
故答案为：4．
12．因式分解：xy2﹣x3＝
x ( y + x )( y ﹣
x )
．
【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：xy2﹣x3＝x(y2﹣x2)
＝x(y+x)(y﹣x)．
故答案为：x(y+x)(y﹣x)．
13．如图，点D，E，F 分别为△ABC 三边的中点．若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周
长为
5
．
【分析】根据D、E、F 分别是AB、AC、BC 的中点，可以判断DF、FE、DE 为三角形
中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE 与AB、BC、CA 的长度关系即可解答．
【解答】解：∵D、E、F 分别是AB、AC、BC 的中点，
∴FD、FE、DE 为△ABC 中位线，
∴DF＝
AC，FE＝
AB，DE＝
BC；
∴DF+FE+DE＝
AC+
AB+
BC＝
（AB+AC+CB）＝
×10＝5，
故答案为：5．
14．已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝
图象上的两点，则y1与y2的大小
关系是y1 ＞ y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各
点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
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【解答】解：∵反比例函数y＝
中，k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．
∵A（1，y1），B（2，y2），
∴点A、B 都在第一象限，
又1＜2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
15．如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O．
则AO 的长为
2
．
【分析】直接利用基本作图方法得出EF 垂直平分AB,即可得出答案．
【解答】解：由基本作图方法可得：EF 垂直平分AB,
∵AB＝4,
∴AO＝
AB＝2．
故答案为：2．
16．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一
条路径，则它遇到食物的概率是
．
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15
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的
选择一条路径，观察图可得：它有6 种路径，且获得食物的有2 种路径，然后利用概率
公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随
机的选择一条路径，
∴它有6 种路径，
∵获得食物的有2 种路径，
∴它遇到食物的概率是：
＝
．
故答案为：
．
17．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8 钱，则多了3 钱；如果每人出7 钱，
则少了4 钱．问有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是
53
钱．
【分析】设有x 人，物品的价值为y 钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人
出8 钱，则多了3 钱；如果每人出7 钱，则少了4 钱．列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有x 人，物品的价值为y 钱，
依题意，得：
，
解得：
，
即该问题中物品的价值是53 钱，
故答案为：53．
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18．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝
，AD＝4，则AB 的
长为
3
．
【分析】易证∠ACD＝∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC＝∠ACD，则
＝
，由此
得到AC＝
＝
＝5，最后由勾股定理得出结果．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE，
∵矩形ABCD 的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵sin∠ADE＝
，
∴
＝
，
∴AC＝
＝
＝5，
由勾股定理得，AB＝
＝
＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题有8 个小题，第19～25 题每题8 分，第26 题10 分，共66 分.解答应
写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8 分）计算：（2021﹣π）0﹣|
﹣2|﹣tan60°．
【分析】结合零指数幂，绝对值的化简和60°角的正切值可以求出结果．
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17
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣
）﹣
＝1﹣2+
﹣
＝﹣1．
20．（8 分）先化简，再从﹣1，0，1，2，
+1 中选择一个合适的x 的值代入求值．（1
﹣
）÷
．
【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最
后根据分式成立的条件确定x 的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
，
又∵x≠±1，
∴x 可以取0，此时原式＝﹣1；
x 可以取2，此时原式＝1；
x 可以取
，此时原式＝
．
21．（8 分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 是对角线
AC 上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4
，AE＝2，求四边形BEDF 的周长．
【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE ＝∠BCF＝45°，再由SAS 可证
△ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再证明四边形BEDF
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18
为菱形，因为AE＝CF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△DOE 中用勾股定理求得DE＝2
，进而四边形BEDF 的周长为4DE，即可求得答案．
【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝
45°，
在△ADE 和△CBF 中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵AB＝AD＝
，
∴BD＝
＝
＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF 为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝
＝
＝2
．
∴4DE＝
故四边形BEDF 的周长为8
．
22．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答
活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了
做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
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19
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔
记本的数量及对应的金额．
【分析】设钢笔购买了x 支，笔记本购买了y 本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝
56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，
解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价．
【解答】解：设钢笔购买了x 支，笔记本购买了y 本．
由题意得：
，
解得：
，
∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），
答：钢笔购买了15 支共225 元，笔记本购买了35 本共175 元．
23．（8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参
加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如
下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m 的值．
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20
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周
学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少
于3h 的人数．
【分析】（1）由周学习时间在0≤t＜1 的频数及频率求出样本容量，再由频率＝频数÷
样本容量求解即可得出答案；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）用总人数乘以样本中3≤t＜4、4≤t≤5 的频率和．
【解答】解：（1）∵样本容量为5÷0.05＝100，
∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；
（2）∵一共有100 个数据，其中位数是第50、51 个数据的平均数，而这2 个数据均落
在2≤t＜3 范围内，
∴甲同学的周学习时间在2≤t＜3 范围内；
（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h 的人数为2000×
（0.25+0.15）＝800（人）．
24．（8 分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为
1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．
将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF 恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．
（结果保留π）
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21
【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF 的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S 阴＝
•BC•AD﹣S 扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝
,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S 阴＝
•BC•AD﹣S 扇形AEF＝
×10×20﹣
＝(100﹣25π)cm2．
25．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，
1）和（4，1）．
（1）求抛物线C 的对称轴．
（2）当a＝﹣1 时，将抛物线C 向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到抛物线
C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C，连接
BC．点D 为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E．设点D 的横坐
标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，若存在，
求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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22
【分析】（1）点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对
称，即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；
②当以点O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似时，则tan∠DOE＝2 或
，即
tan∠DOE＝
＝
＝2 或
，即可求解．
【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝
（1+4）＝
；
（2）①由题意得：
，解得
，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣
x2+x+2；
②存在，理由：
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1 或2，令x＝0，则y＝2，
故点B、A 的坐标分别为（﹣1,0）、（2,0），点C（0,2）；
∵tan∠BCO＝
，
同理可得：tan∠CBO＝2，
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23
当以点O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似时，
则tan∠DOE＝2 或
，
设点D 的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则tan∠DOE＝
＝
＝2 或
，
解得：m＝﹣2（舍去）或1 或
（舍去）或
，
故m＝1 或
．
26．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，点P 为斜边BC 上一动点，将△ABP 沿直线AP 折叠，
使得点B 的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC 的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时
的
值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所
以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC 为等腰直角三角形．再证明
△CDP~△B'DA，可得
＝
＝
．设B'D＝b，则CD＝
b．则
AD＝a﹣
b，PD＝
﹣b，由
＝
解得b＝
．再过点D 作DE⊥AB'于
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24
点E，则△B'DE 为等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝
，AE＝AB﹣B'E＝
，AD＝
．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝
即可求；
（3）分①点P 在BC 外的圆弧上；②点P 在BC 上两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，
则△ABC 为等腰直角三角形，
∴BC＝
，PC＝
，PB＝
，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP~△B'DA．
∴
＝
＝
．①
设B'D＝b，则CD＝
b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣
b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝
﹣b，
由①
＝
得：
＝
．
解得：b＝
．
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过点D 作DE⊥AB'于点E，则△B'DE 为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝
＝
＝
，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣
＝
．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣
b＝a﹣
＝
．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝
＝
＝
．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2 所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A 为圆心、AB 为半径的半圆A．
当P 为BC 中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB 为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC 为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，
＝
＝
．
②当点B'落在BC 上时，如答图3 所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝
＝
，
∴PC＝CB'+PB'＝a+
＝
，
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26
∴
＝
＝
．
综上所述，
的值为
或
．
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