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2021 年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3 的相反数是（ ）
A．﹣3
B．0
C．3
D．π
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2021 年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2 月10 日晚，“天问一号”探
测器在距离地球约192000000km 处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数
法将192000000 表示为a×108的形式，则a 的值是（ ）
A．0.192
B．1.92
C．19.2
D．192
4．如图，若数轴上两点M，N 所对应的实数分别为m，n，则m+n 的值可能是（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
5．如图，在△AOB 中，AO＝1，BO＝AB＝
．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得
到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．其社区针对5 月30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000
份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．
接种疫苗针数
0
1
2
3
人数
2100
2280
1320
300
小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制
作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%．
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应
的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）
A．②①③
B．①③②
C．①②③
D．③①②
7．下列数值不是不等式组
的整数解的是（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
8．某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了
一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车
上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
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A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min 到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
9．如图，点A，B，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为
（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m 不经过第一象限，则关于x 的方程mx2+x+1＝
0 的实数根的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 或2 个
二、填空题（本大题有8 个小题，每小题3 分，共24 分）
11．16 的算术平方根是 ．
12．因式分解：xy2﹣x3＝ ．
13．如图，点D，E，F 分别为△ABC 三边的中点．若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周
长为 ．
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14．已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝
图象上的两点，则y1与y2的大小
关系是y1 y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
15．如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；
②过E，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O．
则AO 的长为 ．
16．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一
条路径，则它遇到食物的概率是 ．
17．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8 钱，则多了3 钱；如果每人出7 钱，
则少了4 钱．问有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是 钱．
18．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝
，AD＝4，则AB 的
长为 ．
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三、解答题（本大题有8 个小题，第19～25 题每题8 分，第26 题10 分，共66 分.解答应
写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8 分）计算：（2021﹣π）0﹣|
﹣2|﹣tan60°．
20．（8 分）先化简，再从﹣1，0，1，2，
+1 中选择一个合适的x 的值代入求值．（1
﹣
）÷
．
21．（8 分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 是对角线
AC 上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4
，AE＝2，求四边形BEDF 的周长．
22．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答
活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了
做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
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请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔
记本的数量及对应的金额．
23．（8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参
加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如
下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m 的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周
学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少
于3h 的人数．
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24．（8 分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为
1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．
将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF 恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．
（结果保留π）
25．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，
1）和（4，1）．
（1）求抛物线C 的对称轴．
（2）当a＝﹣1 时，将抛物线C 向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到抛物线
C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C，连接
BC．点D 为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E．设点D 的横坐
标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，若存在，
求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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26．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，点P 为斜边BC 上一动点，将△ABP 沿直线AP 折叠，
使得点B 的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC 的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时
的
值；若不存在，请说明理由．
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