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22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度
与水流时间
之间的解
析式为
，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火
升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s
B．4s
C．5s
D．10s
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停
产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润
（万元）和月份
之间满足函数关系式
，
则企业停产的月份为（ ）
A．2 月和12 月
B．2 月至12 月
C．1 月
D．1 月、2 月和12 月
4．向空中发射一枚炮弹，经过
秒后的高度为
米，且时间与高度的关系为
（
），
若此炮弹在第7 秒与第13 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8 秒
B．第10 秒
C．第12 秒
D．第15 秒
5．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是
（ ）．
A．12
B．18
C．20
D．24
6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G 同时从点A 出发，分别以每秒
个单位的速度在射线AB，AC 上运动，设运动时间为x 秒，以点A 为顶点的正方形AEFG 与等腰直角三角
形ABC 重叠部分的面积为y，则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时
引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s
B．4s
C．5s
D．6s
8．如图，点
为平行四边形
的边
上一动点，过点
作直线垂直于
，且直线与平行四
边形
的另一边交于点
．当点
从
匀速运动时，设点
的运动时间为，
的面
积为
，能大致反映
与函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y
(x﹣
25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12
B．25
C．13
D．14
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m，宽OC 是4m．按照图中所
示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣
x2+bx+c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离
地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m
B．4m
C．
m
D．
m
11．如图，抛物线
交x 轴的负半轴于点A，点B 是y 轴的正半轴上一点，点A 关于点B 的对称
点Aʹ 恰好落在抛物线上．过点Aʹ 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ 的纵坐标为（）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
12．如图（1）所示，
为矩形
的边
上一点，动点
,
同时从点
出发，点
沿折线
运动到点
时停止，点
沿
运动到点
时停止，它们运动的速度都是
秒，设
、
同时出发秒时，
的面积为
.已知
与的函数关系图象如图（2）（曲线
为抛物线的一
部分）则下列结论正确的是（ ）
图（1） 图（2）
A．
B．当
是等边三角形时，
秒
C．当
时，
秒
D．当
的面积为
时，的值是
或秒
13．某城市2006 年底已有绿化面积300 公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均
每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）
2下列说法正确的是（ ）
A．2007 年已有的绿化面积
B．2008 年增加的绿化面积
C．2008 年已有的绿化面积
D．2007、2008 年共增加的绿化面积
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣
t2．在飞
机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是（ ）s．
A．10
B．20
C．30
D．10 或30
15．已知正方形ABCD 的边长为4cm，动点P 从A 出发，沿AD 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从B 出发，
沿BC，CD 边以2cm/s 的速度运动，点P，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x（秒），
△BPQ 的面积为y（cm2），则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度
（米）与旋转时间
（分）之间的关系可以近似地用二次
函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
/分
…
2. 66
3. 23
3. 46
…
/米
…
69. 16
69. 62
68. 46
…
A．8 分
B．7 分
C．6 分
D．5 分
17．二次函数
图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2)
B．(-2，0)
C．(0，2)
D．(2，0)
18．如图，用绳子围成周长为
的矩形，记矩形的一边长为
，它的邻边长为
，矩形的面积为
．当
在一定范围内变化时，
和
都随
的变化而变化，则
与
与
满足的函数关系分别是（
）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
19．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料
玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n 之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈
利的月份为（ ）
A．2 月和12 月
B．2 月至12 月
C．1 月
D．1 月、2 月和12 月
20．某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价800 元．旅行社对超过30 人的团给予优惠，每人
的单价就降低10 元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56
B．55
C．54
D．53
21．如图，在矩形
中，
，点E，F 分别是
，
上的点，且满足
．分别以
，
为边向矩形内部构造正方形
和正方形
，记阴
影部分的面积为S，则S 的最小值为（ ）
A．9
B．10.5
C．12
D．15
22．如图，矩形
中，
，
，抛物线
的顶点
在矩形
内部或其边上，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与
水平距离x（米）之间的关系式为
，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．
米
B．8 米
C．10 米
D．2 米
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8
B．15
C．16
D．64
25．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为
，若
此炮弹在第6 秒与第15 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8 秒
B．第10 秒
C．第12 秒
D．第15 秒
26．某新型礼炮的升空高度
与飞行时间
的关系式是
．若这种礼炮在点火升空到
最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3 秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的
高度h＝20 时，t＝1s 或5s．④小球抛出2 秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②③
28．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000 枚，二、
三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x 的函数关系式
是（ ）
A．y＝5000（1+x）
B．y＝5000（1+x）
2
C．y＝5000（1+x2）
D．y＝5000（1+2x）
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时
间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min
B．3.75min
C．5min
D．7.5min
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放
辆单车，计划第三个月投放单车
辆，
若第二个月的增长率是
，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么
与
的函数关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高
度
（单位：
）与它距离喷头的水平距离
（单位：
）之间满足函数关系式
，喷出
水珠的最大高度是______
．
32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20 元．调查发现：当销售单价是30 元时，月销售量为
280 件．而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少10 件，当月销售利润最大时，销售单价为___________
元．
33．飞机着陆后滑行的距离（单位：
）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是
，
飞机着陆后滑行______米才能停下来．
34．某幢建筑物，从5 米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M 离墙1 米，离地面
米，则水流下落点B 离墙距离
是_____米．
35．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，
则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元，每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价
多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16 元，当销售单价定为20 元
时，每天可售出80 瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5 元，则每天可多售出20 瓶
（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为
（瓶）．
（1）求每天的销售量
（瓶）与销售单价
（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
38．某商店销售一种成本价为10 元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不
高于16 元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量
（件）与销售价
（元/件）之间的函数关系如图
所示.
（1）求
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）如果商店每天获利104 元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利
元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多
少？
39．2021 年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与
“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30 天计）生产一批产品，某网络
销售平台以每台800 元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第
天的生产成本
（元/台）与
（天）之间的关系如图所示．
第
天该产品的生产量
（台）与
（天）满足关系式
．
（1）求第30 天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元?
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10 元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35 元，
市场调查发现，该产品每天的销售量
（件）与销售价
（元/件）满足一次函数关系，如图所示．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550 元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为
（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
41．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠
给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查
发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分
数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2 元，且线上的月销量固定为400 件，试问：当x 为多少时，线上和
线下月利润总和达到最大？
42．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左
侧），与y 轴交于点C．点A 的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C 两点的
直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
（2）若将抛物线L 沿x 轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P 使得SAOP＝
SABC，若存在，
请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
43．如图，
船位于
船正东
处．现在
，
两船同时出发，
船以
的速度朝正北方向行
驶，
船以
的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为（秒）时该足球距离地面的高度
（米）适用公式
．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）若存在两个不相等的实数，能使足球距离地面的高度都为
（米），求
的取值范围．
45．某商店以每件30 元的价格购进一批商品，现以单价50 元销售，每月可售出400 件，经市场调查发现：
每件商品销售单价每上涨1 元，该商品平均每月的销售量就减少10 件．设每件商品销售单价上涨了x 元．
（1）若销售单价上涨了3 元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
46．某公司销售一种商品，成本为每件20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y 与x 的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w 元，求公司销售该商品获得的最大
日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2
倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利
润是1500 元，求a 的值．
47．为深入贯彻落实“四不摘”政策，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安
置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160 元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，
在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w 与x 的函数关系式；
（2）当商店的销售量x 为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021 年1 月开始
生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6 万元/件，设第x（
，且x 为整数）月份该种产品
的售价为y 万元/件，y 与x 之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）第x 月份生产并销售的产品数量为z 件，
（
，且x 为整数）．该公司在第几月份
所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90 万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知
该土特产的生产加工成本为40 元/袋，每月还需支付其它费用共30 万元，该土特产每月的销售量y（万
袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣
x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x 之间的函数关系式（不要求写x 的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
50．某药店购进一批消毒液，进价为20 元/瓶，要求利润率不低于
，且不高于
．该店通过分析
销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
售价x（元/瓶）
…
24
2
5
26
2
7
…
销售量y（瓶）
…
32
3
0
28
2
6
…
（1）若某天这种消毒液的售价为30 元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192 元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20 元，则当消毒液的
售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
51．小明和小丽先后从
地出发沿同一直道去
地．设小丽出发第
时，小丽、小明离
地的距离分
别为
、
．
与
之间的函数表达式是
与
之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离
地的距离为多少
．
（2）小丽出发至小明到达
地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少
？
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．
其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成．已知墙长为18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于
墙的一边的长为x 米．
（1）若苗圃园的面积为72 平方米，求x 的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8 米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这
个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100 平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．
53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A 处)的高度是
，出手后的铅球沿一段抛物线
运行，量得铅球落地点C 与学生的水平距离OC=
．
（1）求抛物线的解析式(注明x 的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
54．如图，正方形
的边长为
，
，
分别是
，
边上一动点，点
，
同时从点
出发，以每秒
的速度分别向点
，
运动，当点
与点
重合时，运动停止，设运动时间为
，
运动过程中
的面积为
，求
关于
的函数表达式，并写出自变量
的取值范围．
55．如图，要利用一面墙（墙长为
）建羊圈，用
的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的
一边
长为
，总面积为
．
（1）在不浪费围栏的情况下，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为
的羊圈，若能，请求出
的长；若不能，请说明理由．
56．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）
的关系．
（1）当t＝3 时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10 米时，求t 的值；
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m 的范围．
57．某公司分别在
，
两城生产同种产品，共100 件．
城生产产品的总成本
（万元）与产品数量
（件）之间具有函数关系
，
城生产产品的每件成本为70 万．当
，
两城生产这批产品
的总成本的和最少时，求：
（1）
，
两城各生产多少件？
（2）从
城把该产品运往
，
两地的费用分别为
万元/件和3 万元/件；从
城把该产品运往
，
两地的费用分别为1 万元/件和2 万元/件，
地需要90 件，
地需要10 件，求
，
两城总运费之和
的最小值（用含有
的式子表示）．
58．如图，从某建筑物2.25 米高的窗口
处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平
面与墙面垂直），如果抛物线的最高点
离墙1 米，离地面3 米．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点
离墙的距离
的长度．
（3）当从
处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离
，当
或
时，篮球距离地
面的高度都为
（米），求
的取值范围．
59．学校打算用16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为
9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB 的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
60．某商品的进价为每台20 元，当售价为每台30 元时，每月可卖出180 台，该商品每台售价x 元与月销
量y 台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
