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2021 年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4 分，共40 分）
1．若a 的倒数为2，则a＝（ ）
A．
B．2
C．﹣
D．﹣2
2．方程
﹣1＝2 的解是（ ）
A．x＝2
B．x＝3
C．x＝5
D．x＝6
3．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在线段BC 的延长线上，若∠DCE＝
132°，则∠A＝（ ）
A．38°
B．48°
C．58°
D．66°
4．某月1 日﹣10 日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错
误的结论是（ ）
A．1 日﹣10 日，甲的步数逐天增加
B．1 日﹣6 日，乙的步数逐天减少
C．第9 日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11 日，甲的步数不一定比乙的步数多
5．计算：
＝（ ）
A．﹣2
B．﹣2
C．﹣
D．2
6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三
十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50 单位的粟，可换得30 单位的
粝米…”．问题：有3 斗的粟（1 斗＝10 升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的
粝米为（ ）
A．1.8 升
B．16 升
C．18 升
D．50 升
7．不等式组
的解集为（ ）
A．x＜1
B．x≤2
C．1＜x≤2
D．无解
8．如图所示，在正六边形ABCDEF 内，以AB 为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝
（ ）
A．10°
B．12°
C．14°
D．15°
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且OP＝1，
设M＝ac（a+b+c），则M 的取值范围为（ ）
A．M＜﹣1
B．﹣1＜M＜0
C．M＜0
D．M＞0
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面l1 于点A，BE 与水平线l2 的夹角为α
（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4 米，BE＝2 米，车辆的高度为h（单位：米），
不考虑闸口与车辆的宽度：
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①当α＝90°时，h 小于3.3 米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h 等于2.9 米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h 等于3.1 米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分）
11．计算：（2a）2•a3＝ ．
12．因式分解：6x2﹣4xy＝ ．
13．据报道，2021 年全国高考报名人数为1078 万，将1078 万用科学记数法表示为
1.078×10n，则n＝ ．
14 ．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“ 正面朝上” 的概率是
．
15．如图所示，线段BC 为等腰△ABC 的底边，矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O，
若OD＝2，则AC＝ ．
16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时
间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
中药
黄芪
焦山楂
当归
销售单价（单位：
元/千克）
80
60
90
销售额（单位：元）
120
120
360
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则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 千克．
17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝
图象上的两点，满足：当x1＞0 时，
均有y1＜y2，则k 的取值范围是 ．
18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“
”为“蜨”，同
“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、
小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．
图②为某蝶几设计图，其中△ABD 和△CBD 为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三
斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P 处，点P 与点A 关于直线
DQ 对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 度．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）
19．（6 分）计算：|﹣2|+
sin60°﹣2﹣1．
20．（8 分）先化简，再求值：
，其中x＝
﹣2．
21．（8 分）如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，
连接EF 交线段BC 于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED 是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝
，求线段BG 的长度．
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22．（10 分）将一物体（视为边长为
米的正方形ABCD）从地面PQ 上挪到货车车厢内．
如图所示，刚开始点B 与斜面EF 上的点E 重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向
旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF 方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时
点B2 与点G 重合），最后将物体移到车厢平台面MG 上．已知MG∥PQ，∠FBP＝
30°，过点F 作FH⊥MG 于点H，FH＝
米，EF＝4 米．
（1）求线段FG 的长度；
（2）求在此过程中点A 运动至点A2所经过的路程．
23．（10 分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，
其计算公式：BMI＝
（G 表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米）．已知某
区域成人的BMI 数值标准为：BMI＜16 为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5 为偏瘦；
18.5≤BMI ＜24 为正常；24≤BMI ＜28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖（不健康）．
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某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55 名成人的体重、身高数据组成一个样本，
计算每名成人的BMI 数值后统计：
（男性身体属性与人数统计表）
身体属性
人数
瘦弱
2
偏瘦
2
正常
1
偏胖
9
肥胖
m
（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2 千克，身高为1.6 米，求该女性的BMI 数值；
（3）当m≥3 且n≥2（m、n 为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男
性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
24．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝2x 的图象l 与函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A 作AB⊥y 轴于点B，且AB＝1，点C
在线段OB 上（不含端点），且OC＝t，过点C 作直线l1∥x 轴，交l 于点D，交图象Г
于点E．
（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE 的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U
的最大值．
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25．（13 分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上不同的两点，直线BD 交线
段OC 于点E、交过点C 的直线CF 于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF 是⊙O 的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E 作EG∥AB，交线段AC 于点G，点M 为线段AC 的中点，若AD＝4，求线段
MG 的长度．
26．（13 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝
，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x 轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜
x2，与y 轴的负半轴交于点C，点D 在线段OC 上，连接AC、BD，满足∠ACO＝
∠ABD，﹣
+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
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②连接BC，过点D 作DE⊥BC 于点E，点F（0，x1﹣x2）在y 轴的负半轴上，连接
AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求
的值．
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2021 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4 分，共40 分）
1．若a 的倒数为2，则a＝（ ）
A．
B．2
C．﹣
D．﹣2
【分析】根据倒数的定义：乘积是1 的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵a 的倒数为2，
∴a＝
．
故选：A．
2．方程
﹣1＝2 的解是（ ）
A．x＝2
B．x＝3
C．x＝5
D．x＝6
【分析】移项，合并同类项，系数化成1 即可．
【解答】解：
﹣1＝2，
移项，得
＝2+1，
合并同类项，得
＝3，
系数化成1，得x＝6，
故选：D．
3．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在线段BC 的延长线上，若∠DCE＝
132°，则∠A＝（ ）
A．38°
B．48°
C．58°
D．66°
【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度
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数即可．
【解答】解：∵∠DCE＝132°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝48°，
故选：B．
4．某月1 日﹣10 日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错
误的结论是（ ）
A．1 日﹣10 日，甲的步数逐天增加
B．1 日﹣6 日，乙的步数逐天减少
C．第9 日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11 日，甲的步数不一定比乙的步数多
【分析】根据图中给出的甲乙两人这10 天的数据，依次判断A，B，C，D 选项即可．
【解答】解：A．1 日﹣10 日，甲的步数逐天增加；故A 正确，不符合题意；B．1 日﹣
5 日，乙的步数逐天减少；6 日步数的比5 日的步数多，故B 错误，符合题意；
C．第9 日，甲、乙两人的步数正好相等；故C 正确，不符合题意；
D．第11 日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D 正确，不符合题意；
故选：B．
5．计算：
＝（ ）
A．﹣2
B．﹣2
C．﹣
D．2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
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【解答】解：﹣4×
＝﹣4×
＝﹣2
．
故选：A．
6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三
十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50 单位的粟，可换得30 单位的
粝米…”．问题：有3 斗的粟（1 斗＝10 升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的
粝米为（ ）
A．1.8 升
B．16 升
C．18 升
D．50 升
【分析】先将单位换成升，根据：“50 单位的粟，可换得30 单位的粝米…”列式可得
结论．
【解答】解：根据题意得：3 斗＝30 升，
设可以换得的粝米为x 升，
则
＝
，
解得：x＝
＝18（升），
答：有3 斗的粟（1 斗＝10 升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18 升．
故选：C．
7．不等式组
的解集为（ ）
A．x＜1
B．x≤2
C．1＜x≤2
D．无解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式﹣x+1＞0，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
故选：A．
8．如图所示，在正六边形ABCDEF 内，以AB 为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝
（ ）
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A．10°
B．12°
C．14°
D．15°
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF 内，正五边形ABGHI 中，∠FAB＝120°,∠IAB＝108°,
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°,
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且OP＝1，
设M＝ac（a+b+c），则M 的取值范围为（ ）
A．M＜﹣1
B．﹣1＜M＜0
C．M＜0
D．M＞0
【分析】由图象得x＝1 时，y＜0 即a+b+c＜0，当y＝0 时，得与x 轴两个交点，x1x2＝
＜0，即可判断M 的范围．
【解答】解：∵OP＝1，P 不在抛物线上，
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
x＝1 时，y＝a+b+c＜0，
当抛物线y＝0 时，得ax2+bx+c＝0，
由图象知x1x2＝
＜0，
∴ac＜0，
∴ac（a+b+c）＞0，
即M＞0，
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故选：D．
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面l1 于点A，BE 与水平线l2 的夹角为α
（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4 米，BE＝2 米，车辆的高度为h（单位：米），
不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h 小于3.3 米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h 等于2.9 米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h 等于3.1 米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【分析】根据题意列出h 和角度之间的关系式即可判断．
【解答】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4 米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×
）米，即h＜2.814 米即可通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×
）米，即h＜3.132 米即可通过该闸口，
故③不正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分）
11．计算：（2a）2•a3＝
4 a 5
．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，
其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．
故答案为4a5．
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12．因式分解：6x2﹣4xy＝
2 x (3
x ﹣
2 y )
．
【分析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．
【解答】解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．
故答案为：2x(3x﹣2y)．
13．据报道，2021 年全国高考报名人数为1078 万，将1078 万用科学记数法表示为
1.078×10n，则n＝
7
．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，
据此判断即可．
【解答】解：1078 万＝10780000＝1.078×107，
则n＝7．
故答案为：7．
14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是
．
【分析】画树状图展示所有4 种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
共有4 种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1 种，
∴两次都是“正面朝上”的概率＝
．
故答案为：
．
15．如图所示，线段BC 为等腰△ABC 的底边，矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O，
若OD＝2，则AC＝
4
．
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14
【分析】由矩形的性质可得AB＝2OD＝4，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ADBE 是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时
间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
中药
黄芪
焦山楂
当归
销售单价（单位：
元/千克）
80
60
90
销售额（单位：元）
120
120
360
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为
2.5
千克．
【分析】利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药
的销售数量，再求出三者的算术平均数即可得出结论．
【解答】解：黄芪的销售量为120÷80＝1.5（千克），
焦山楂的销售量为120÷60＝2（千克），
当归的销售量为360÷90＝4（千克）．
该中药房的这三种中药的平均销售量为
＝2.5（千克）．
故答案为：2.5．
17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝
图象上的两点，满足：当x1＞0 时，
均有y1＜y2，则k 的取值范围是
k ＜
0
．
【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题．
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【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝
图象上的两点，
又∵0＜x1＜x1+1 时，y1＜y2，
∴函数图象在二四象限，
∴k＜0，
故答案为k＜0．
18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“
”为“蜨”，同
“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、
小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．
图②为某蝶几设计图，其中△ABD 和△CBD 为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三
斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P 处，点P 与点A 关于直线
DQ 对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝
21
度．
【分析】由点P 与点A 关于直线DQ 对称求出∠PDQ，再由△ABD 和△CBD 求出
∠DDB 和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵点P 与点A 关于直线DQ 对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD 和△CBD 为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠DDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠DDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP 是等腰三角形，
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16
∴∠DCP＝
（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案为：21．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）
19．（6 分）计算：|﹣2|+
sin60°﹣2﹣1．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化
简得出答案．
【解答】解：原式＝2+
×
﹣
＝2+
﹣
＝3．
20．（8 分）先化简，再求值：
，其中x＝
﹣2．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝
•
﹣
＝
﹣
＝﹣
,
当x＝
﹣2 时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣
．
21．（8 分）如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，
连接EF 交线段BC 于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED 是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝
，求线段BG 的长度．
【分析】（1）由矩形的性质可得DC∥AB，可得结论；
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（2）由平行四边形的性质可得DB∥EF，可证∠ABD＝∠F，由锐角三角函数可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴DC∥AB，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEFB 是平行四边形；
（2）∵四边形DEFB 是平行四边形，
∴DB∥EF，
∴∠ABD＝∠F，
∴tan∠ABD＝tanF＝
，
∴
，
又∵BF＝2，
∴BG＝
．
22．（10 分）将一物体（视为边长为
米的正方形ABCD）从地面PQ 上挪到货车车厢内．
如图所示，刚开始点B 与斜面EF 上的点E 重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向
旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF 方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时
点B2 与点G 重合），最后将物体移到车厢平台面MG 上．已知MG∥PQ，∠FBP＝
30°，过点F 作FH⊥MG 于点H，FH＝
米，EF＝4 米．
（1）求线段FG 的长度；
（2）求在此过程中点A 运动至点A2所经过的路程．
【分析】（1）在Rt△FGH 中，由FG＝2FH，可得结论．
（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）∵GM∥PA，
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∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝
（米）．
（2）∵EF＝4 米，FG＝
米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣
＝
（米），
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝
米，
∴点A 运动至点A2所经过的路程＝
+
＝4（米）．
23．（10 分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，
其计算公式：BMI＝
（G 表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米）．已知某
区域成人的BMI 数值标准为：BMI＜16 为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5 为偏瘦；
18.5≤BMI ＜24 为正常；24≤BMI ＜28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖（不健康）．
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55 名成人的体重、身高数据组成一个样本，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
计算每名成人的BMI 数值后统计：
（男性身体属性与人数统计表）
身体属性
人数
瘦弱
2
偏瘦
2
正常
1
偏胖
9
肥胖
m
（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2 千克，身高为1.6 米，求该女性的BMI 数值；
（3）当m≥3 且n≥2（m、n 为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男
性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”
的男性人数即可；
（2）根据计算公式求出该女性的BMI 数值即可；
（3）当m≥3 且n≥2（m、n 为正整数）时，根据抽取人数为55 计算出m 的值，即可
求解．
【解答】解：（1）9+1＝10（人），
答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10；
（2）BMI＝
＝
＝20,
答：该女性的BMI 数值为20；
（3）当m≥3 且n≥2（m、n 为正整数）时，
这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：≥17，
这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：n+4+9+8+4≥27，
∵2+2+1+9+m+n+4+9+8+4＝55，
∴m+n＝16，
由条形统计图得n＜4，
,m＝13 时，n＝3，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健
康”的女性人数的比值为
＝
；
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m＝14 时，n＝2，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健
康”的女性人数的比值为
＝
．
答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数
的比值为
或
．
24．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝2x 的图象l 与函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A 作AB⊥y 轴于点B，且AB＝1，点C
在线段OB 上（不含端点），且OC＝t，过点C 作直线l1∥x 轴，交l 于点D，交图象Г
于点E．
（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE 的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U
的最大值．
【分析】（1）先求出点A 的横坐标，再代入直线y＝2x 中求出点A 的坐标，再将点A
坐标代入反比例函数解析式中求出k；先求出点C 的纵坐标，代入直线y＝2x 中求出点
D 的横坐标，即可得出结论；
（2）根据点C 的纵坐标求出点E 的坐标，进而求出CE＝
，进而得出S1＝
，由
（1）知，A（1，2），D（
t，t），求出DE＝
﹣
t，进而得出S2＝S△ADE＝
t2﹣
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t+
﹣1，进而得出U＝S1﹣S2＝﹣
（t﹣1）2+
，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥y 轴，且AB＝1，
∴点A 的横坐标为1，
∵点A 在直线y＝2x 上，
∴y＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
∴B（0，2），
∵点A 在函数y＝
上，
∴k＝1×2＝2，
∵OC＝t，
∴C（0，t），
∵CE∥x 轴，
∴点D 的纵坐标为t，
∵点D 在直线y＝2x 上，t＝2x，
∴x＝
t，
∴点D 的横坐标为
t；
（2）由（1）知，k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝
，
由（1）知，CE∥x 轴，
∴C（0，t），
∴点E 的纵坐标为t，
∵点E 在反比例函数y＝
的图象上，
∴x＝
，
∴E（
，t），
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∴CE＝
，
∵B（0，2），
∴OB＝2．
∴S1＝S△OBE＝
OB•CE＝
×2×
＝
由（1）知，A（1，2），D（
t，t），
∴DE＝
﹣
t，
∵CE∥x 轴，
∴S2＝S△ADE＝
DE（yA﹣yD）＝
（
﹣
t）（2﹣t）＝
t2﹣
t+
﹣1，
∴U＝S1﹣S2＝
﹣（
t2﹣
t+
﹣1）＝﹣
t2+
t+1＝﹣
（t﹣1）2+
，
∵点C 在线段OB 上（不含端点），
∴0＜t＜2，
∴当t＝1 时，U 最大＝
．
25．（13 分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上不同的两点，直线BD 交线
段OC 于点E、交过点C 的直线CF 于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF 是⊙O 的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E 作EG∥AB，交线段AC 于点G，点M 为线段AC 的中点，若AD＝4，求线段
MG 的长度．
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【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ECF＝90°，可得结论．
（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，可得结论．
②利用相似三角形的性质求出AC，再求出CM，CG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，
∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF 是⊙O 的切线．
（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．
②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：2，
∵△ACD∽△OBE，
∴
＝
，
∴
＝
＝
，
∵AD＝4，
∴AC＝6，
∵M 是AC 的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴
＝
＝
，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．
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26．（13 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝
，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x 轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜
x2，与y 轴的负半轴交于点C，点D 在线段OC 上，连接AC、BD，满足∠ACO＝
∠ABD，﹣
+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D 作DE⊥BC 于点E，点F（0，x1﹣x2）在y 轴的负半轴上，连接
AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求
的值．
【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×
×（﹣2）＝8；
（2）①由x1+x2＝﹣
得到x2＝﹣c＝OC，进而求解；
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②证明∠CBD＝∠AFO，而tan∠CBD＝
＝
＝
，tan∠AFO＝
＝
＝
＝tan∠CBD＝
，即可求解．
【解答】解：（1）当若a＝
，b＝c＝﹣2 时，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×
×（﹣2）
＝8；
（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
则
+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝
÷x2＝﹣
，
∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△DOB（AAS）；
②∵∠OCA＝∠CAF+∠CFA，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，
∴∠CBD＝∠AFO，
∵OB＝OC，故∠OCD＝45°，
∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣
，
则DE＝
CD＝﹣
（c+
）＝CE，
则BE＝BC﹣CE＝
OB﹣CE＝﹣
c+
（﹣c+
），
则tan∠CBD＝
＝
＝
，
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而tan∠AFO＝
＝
＝
＝tan∠CBD＝
，
解得ca＝﹣2，
而
＝
＝﹣ac＝2，
故
的值为2．
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